Матем_лекции_ 1сем_гр.,2621,2721

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

3. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и ее значения на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка (a, b) такая, что f( )=0.

В.8. Вычисление пределов

При вычислении пределов используют то, что предел постоянной равен самой постоянной, а также основные теоремы о пределах. Рассмотрим вычисление пределов на примерах.

Пример 7. Найти lim x 2 x 1 .

Решение. Здесь требуется найти предел отношения двух бесконечно больших величин. О

таком пределе заранее ничего определенного сказать нельзя («неопределенность типа »).

Преобразуем функцию под знаком предела, вынося за скобки х в старшей степени, и используем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Тогда имеем:

Ответ: 0.

Пример 10. Найти lim(х 3 х 2) .

x

Решение. Такого типа примеры решаются переводом иррациональности из числителя в знаменатель и, наоборот, из знаменателя в числитель. Здесь мы имеем предел разности двух положительных бесконечно больших величин («неопределенность типа [ – ]»). От этой неопределенности избавимся, дополнив функцию х 3 х 2 до разности квадратов:

51

Решение. Так как х→ , а не к 0, то применить сразу первый замечательный предел нельзя.

Ответ: 4 . 5

2x 4 x

Пример 13. Найти lim . x 2x 1

Решение. Выделим у дроби целую часть:

Ответ: e5 .

lim(3x2 2x 7)

Пример 14. x 2

Применяя теоремы о пределах, получаем:

lim(3x2 2x 7) 3 lim x lim x 2 lim x lim 7 3 2 2 2 7 15

Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю. В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины х2-2х+1, отличной от нуля на

52

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Пример 17. lim 5x3 2x2 x

x 0 3x

Здесь также нельзя непосредственно применять теорему о пределе частного, т.к. пределы

знаменателя и числителя равны нулю и мы имеем неопределенность вида 0 . В подобных случаях, 0

когда и в числителе и в знаменателе – многочлены, их необходимо разложить на множители, после этого дробь сократить и перейти к пределу:

Если под знаком предела имеется иррациональность, то для раскрытия неопределенности

вида 0 необходимо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя

0

в числитель, а иногда и то и другое, полученную дробь сократить и перейти к пределу:

ограниченную величину – также будет бесконечно малой величиной, поэтому ее предел равен 0.

Теорему о переделе частного здесь применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель

конечного предела не имеют. Имеем неопределенность . В подобных случаях для раскрытия

неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу:

53

Пример 23. lim(x2 1 x)

x

Здесь следует рассмотреть два случая:

Пример 24. lim 2n sin x

n 2n

Неопределенность вида 0 сведем к неопределенности вида 0 : 0

Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной В.1. Задачи, приводящие к производной.

Задача о касательной:

Пусть на плоскости ОХY дана непрерывная кривая у=f(х) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в т. М 0 (х 0 , у0 ).

средняя скорость характеризует движение точки в момент t0. Поэтому под скоростью в момент t0

Задача о производительности труда:

Пусть u = u(t) выражает количество произведённой продукции u за время t . Необходимо найти производительность труда в момент времени t0.

54

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

За время от t0 до (t0 t) количество произведённой продукции изменится от u0 u(t0 ) до

Рассматривая три различные задачи, мы пришли к пределу одного вида. Этот предел играет огромную роль в мат.анализе, являясь основным понятием дифференциального исчисления.

В.2. Определение производной функции

Пусть функция y = ƒ(x) определена на множестве Х. Возьмём т.х Х. Дадим значению х приращение х 0 . Тогда y подучит приращение y f (x x) f (x) .

Определение. Производной функции y = ƒ(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Другие обозначения: f (x), dy , df (x) , yx. dx dx

Дифференцирование функции – это нахождение производной этой функции. Если функция имеет в точке x производную (конечную), то она называется дифференцируемой в этой точке. То же можно сказать о дифференцировании функции на промежутке X.

Геометрический смысл производной: производная – угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной, проведенной к кривой y= f(x) в точке x0 , с осью Ох.

Уравнение касательной к кривой y= f(x) в точке x0: y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) .

Механический смысл: производная пути по времени s (t0 ) - есть скорость точки в момент

t0 , т.е. v(t0 ) s (t0 ) .

Экономический смысл: Производительность труда в момент t0 есть производная объема произведенной продукции по времени z(t0 ) u (t0 ) .

Теорема (зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью): Если функция y= f(x) дифференцируема в точке x0, то она в этой точке непрерывна.

Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. непрерывная функция может быть не дифференцируемой в точке x0 , например, функция y =|x| в точке x=0.

Поэтому непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. В математике известны непрерывные функции, не дифференцируемые ни в одной точке.

Замечание. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на промежутке X , то функция называется гладкой на этом промежутке. Если производная допускает конечное число точек разрыва 1-го рода, то она называется кусочно-гладкой на данном промежутке.

В.3. Основные правила дифференцирования

1)с’ = 0;

2)x’ = 1;

3)(u + v)’ = u’ + v’;

4)(c∙u)’ = c∙u’;

5)(u∙v)’ = u’∙v + u∙v’;

6)(u∙v∙w)’ = u’∙v∙w + u∙v’∙w + u∙v∙w’;

55

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

В.4. Производная сложной и обратной функций

Если у есть функция от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией

дифференцируемые функции своих аргументов, равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной: