ЧОУ ВПО Институт экономики управления и права (г.Казань)

Экономико-правовой колледж

Курс лекций по дисциплине «Математика»

для студентов заочного отделения на базе среднего полного(основного) образования

.

Разработал преподаватель

Парышева Е.П.

Казань 2011

Тема 1. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность {a_n}:

a₁, a₂,…,a_n… .

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента a_n=f(n).

Числа a₁, a₂,…,a_n называются членами последовательности, а число a_n – общим или n-м членом данной последовательности.

Пример 1: а) 2, 4, 6, …2n, … (монотонная неограниченная);

б) 1, 0, 1, 0, … (немонотонная ограниченная);

в) 0, , , , , …, , … - немонотонная, ограниченная. Изобразим её точками числовой оси. С ростом n последовательность как угодно близко приближается к 1. При этом , , , … , , … Т.е. с ростом n расстояние будет меньше любого, сколь угодно малого числа.

Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа  > 0 найдется такой номер N(), зависящий от , что для всех членов данной последовательности с номерами n > N() верно неравенство a_n - A <  .

Предел числовой последовательности обозначается или . Используя следующие логические символы (кванторы):  (любой),  (существует),  (равносильность или эквивалентность), определение предела можно записать в виде:

(A = a_n)  ( > 0  N() : n > N()  a_n – A  < )

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Смысл определения: для достаточно больших n члены последовательности {a_n} сколь угодно мало отличаются от числа А.

В.2. Предел функции

Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к бесконечности (пределом функции в бесконечности), если для любого  > 0 найдется такое S > 0, что для всех х > S верно неравенство  f(x) – A  < .

Предел функции обозначается f(x) = A, или f(x)  A при х   ( ).

(A = f(x)  ( > 0  S = S() > 0 : x :  x  > S  f(x) – A  < ).

Смысл определения: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа А.

Число А называется пределом функции f(x) при х  х₀, (в точке х₀), если для

 > 0   = () > 0 : x  x_0, х – x₀ <  выполняется неравенство  f(x) – A  < .

Смысл определения: для всех значений х, достаточно близких к х₀, значения f(x) как угодно мало отличаются от числа А.

Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке х₀, поскольку предполагается, что х стремится к х₀, но не достигает значения х₀. Поэтому наличие или отсутствие предела при х  х₀ определяется поведением функции в окрестности точки х₀, но не связано с существованием функции в самой точке х₀.

Замечание 2. Если при х  х₀ х принимает только значения, меньшие х₀, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об одностороннем пределе функции слева: f(x) = A.

Аналогично, если при х  х₀ х > х₀, то говорят об одностороннем пределе функции справа, т.е: f(x) = A

При этом, если f(x) = f(x) = А, то f(x) = A.