- •Тема 1. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В. 6. Производная степенно-показательной функции
- •В.7. Производные высших порядков
- •В.9. Приложения производной
- •9.1. Правило Лопиталя
- •9.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •9.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •9.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.10. Дифференциал функции
- •10.1. Определение дифференциала
- •10.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •10.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 3. Неопределенный интеграл (ни)
- •1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •2. Основные свойства ни:
- •3. Таблица ни
- •4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •Тема 4. Определённый интеграл в.1 Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Тема 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду) в. 1. Основные понятия
- •2.1. Одуi с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные одуi
- •2.3. Линейные одуi
- •3.1. Одуii, допускающие понижение порядка
- •3.2. Линейные одуii с постоянными коэффициентами
4.3. Метод интегрирования по частям
Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции.
По свойству дифференциала или .
Интегрируя обе части равенства, получим:
- формула интегрирования по частям.
Метод заключается в следующем: подынтегральное выражение разбивается на 2 множителя u и dv. Далее, при переходе к правой части формулы, первый множитель дифференцируется, а второй – интегрируется: , .
Этот метод применяется для двух групп интегралов:
I. ; ; (где m=const). В этой группе в качестве u выбирают х, а остальная часть подынтегрального выражения принимается за dv (u = x).
II. ; ; ; ; (где m=const). В этой группе xdx = dv.
Пример 4. .
В нашем случае интеграл относится к I-ой группе интегралов, поэтому в качестве u возьмем 5х – 2 : u = 5х – 2, dv = e3x∙dx.
= =
(по формуле интегрирования по частям) = =
= .
Ответ: = .
Тема 4. Определённый интеграл в.1 Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция непрерывна не отрезке и любая первообразная функция на этом отрезке. Тогда определенный интеграл от функции на отрезке равен приращению первообразной на данном отрезке.
- приращение первообразной на данном отрезке
То есть нахождение определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа:
Используя технику нахождения неопределенного интеграла находим первообразную подынтегральной функции.
Вычисляем приращение первообразной на заданном отрезке.
Пример 1:
В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Метод замены переменной для определенного интеграла.
Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , а также и функция непрерывна в любой точке , где .
Тогда формула для замены переменной выглядит следующим образом:
Замечание: в случае определенного интеграла нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования.
Пример 2: Вычислить
Метод интегрирования по частям для определенного интеграла
Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , тогда формула интегрирования по частям:
где - приращение:
Тема 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду) в. 1. Основные понятия
Опр.: ОДУ называется уравнение вида: F(x, y, y’, y’’, …, y(n)) = 0, которое связывает искомую функцию одной переменной у = у(х), эту переменную и производные различных порядков искомой функции.
Наивысший порядок производной, входящей в запись уравнения, называется порядком уравнения.
ОДУ n-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид: у(n) = f(x, y, y’, …, y(n-1)).
Общим решением ОДУ n-го порядка называется функция у = φ(х, С1, С2, …, Сn) (где Ci – произвольные постоянные), которая обращает данное уравнение в тождество при подстановке в него этой функции и ее производных. Количество постоянных в решении совпадает с порядком уравнения.
Если общее решение уравнения будет получено в виде: Ф(х, у,С1,С2, …,Сn) = 0, то говорят, решение получено в виде общего интеграла уравнения.
Частные решения уравнения получаются из общего при конкретных значениях постоянных.
В.2. ОДУI
ОДУI в общем случае имеет вид: F(x, y, y’) = 0.
Разрешенное относительно производной: y’ = f(x, y)
или Р(х, у)dx + Q(x, y)dy = 0.
Опр.: Задача нахождения решения уравнения y’ = f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши.
Общим решением ОДУI называется функция у = φ(х, С) (С = const), т. что:
она является решением уравнения при любом значении С;
для любого начального условия y(x0) = y0, существует С=С0, т.что у = φ(х, С0) удовлетворяет данному начальному условию.
Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на плоскости Оху, зависящее от С. Эти кривые называются интегральными кривыми данного ОДУI.