41. Однородные и неоднородные линейные уравнения n-го порядка

   Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:

            y ⁽ⁿ⁾ + p₁ (x) y ^{(n – 1)} + … + p_{n – 1} (x) y ' + p_n (x) y = f (x).       (10.1)

   Если в рассматриваемом интервале изменения x функция f (x) тождественно равна нулю, то уравнение (10.1) принимает вид

            y ⁽ⁿ⁾ + p₁ (x) y ^{(n – 1)} + … + p_{n – 1} (x) y ' + p_n (x) y = 0.       (10.2)

и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1) приводится к интегрированию однородного уравнения.

Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка

   Для упрощения дальнейшего изложения обозначим левую часть линейного уравнения (10.1) через L(y):

            L(y) ≡ y ⁽ⁿ⁾ + p₁ (x) y ^{(n – 1)} + … + p_{n – 1} (x) y ' + p_n (x) y.       (10.3)

   Таким образом, L(y) есть результат выполнения над функцией y операций, указанных в правой части формулы (10.3), а именно: вычисление производных от функции y вплоть до порядка т включительно, умножение y₀, , …, , на заданные функции p₁, …, p_n, 1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символом L:

   L ≡ + p₁ (x) + p_{n – 1} (x) + p_n (x)

и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

            L ≡ + p₁ (x) + p₂ (x).

   Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

            L(ky)=kL(y);

2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

            L(y₁ + y₂) = L(y₁) + L(y₂).

   Из этих основных свойств оператора L следует, что

            L C_k y_k = C_k L(y_k).

т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

   Используя оператор L, можно записать неоднородное и однородное линейные уравнения (10.1) и (10.2) соответственно в виде

            L(y) = f (x)       (10.4)

и

            L(y) = 0.       (10.5)

   Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4) или (10.5) в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a, b):

            L(y(x)) ≡ f (x) (a < x < b)

или

            L(y(x)) ≡ 0 (a < x < b).

Теорема существования и единственности — утверждение о существовании и единственности решения дифференциального уравнения при определенных дополнительных условиях.

Например, в случае обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной

,

существование и единственность решения в достаточно малой окрестности некоторой точки гарантируется набором начальных условий

,

определяющих задачу Коши, и непрерывной дифференцируемостью правой части ƒ уравнения (при этом для существования решения задачи Коши достаточно уже непрерывности функции ƒ).

Для уравнения в частных производных задача Коши ставится аналогично, с той разницей, что роль начальной точки играет начальная гиперповерхность в области переменных, на которой и задаются значения искомой функции, а также всех ее младших производных по нормали к этой поверхности. Теорема Коши — Ковалевской утверждает, что правильно поставленная задача Коши с аналитическими коэффициентами имеет единственное аналитическое решение.

Кроме задачи Коши, рассматриваются также краевые задачи — например, задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри единичного круга:

.

В случае уравнений в частных производных, изучаются и смешанные задачи, условия которых на части границы напоминают начальные, а на другой части — краевые. Например, задача теплопроводности однородного стержня длины 1 с теплоизолированными концами:

,  u(x, 0) = φ(x),  u' (0, t)=u' (1, t)=0.

К вопросу о существовании и единственности решения тесно примыкает такой качественный вопрос, как непрерывная зависимость решения от начальных значений (или функций). В случае положительного ответа на него, задача называется корректной. Классическим примером некорректной задачи служит начальная задача для обратного (с обращенным вспять временем) уравнения теплопроводности

=0,  u(x, 0) = φ(x).