42. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Теоретическая справка

 

Дифференциальное уравнение

, (2.1)

где - постоянные величины, называется линейным однородным уравнением - го порядка с постоянными коэффициентами.

, (2.2)

где - его линейно независимые частные решения. Последние находятся с помощью характеристического уравнения

. (2.3)

Если характеристическое уравнение имеет действительных различных корней , то каждому из них соответствует частное решение

(2.4)

и общее решение уравнения (2.1) принимает вид

. (2.5)

Если уравнение (2.3) имеет действительных равных корней (т.е. корень имеет кратность ), то в формуле (2.2) им соответствуют решения

. (2.6)

Однократным комплексно сопряженным корням уравнения (2.3) в формуле (2.2) соответствуют решения:

(2.7)

Комплексно сопряженным корням кратности соответствуют частные решения:

(2.8)

k n + a1k n -1 + a2k n -2 + ... + an -1 k + an = 0.

(35)

Уравнение (35) называется характеристическим уравнением уравнения (34). Это уравнение имеет n (возможно, комплексных корней) k₁, k₂, …, k_n, некоторые из которых могут быть равны друг другу. Каждому из этих корней соответствует функция из ФСР. Правило, по которому формируется ФСР, заключается в следующем: Если k_j - простой действительный корень характеристического уравнения (т.е. корень кратности r = 1), то ему соответствует функция в ФСР; если k_j - действительный корень характеристического уравнения кратности r > 1 (т.е. k_j = k_j +1 = k_j +2 = …= k_j + r - 1 ), то этому множеству корней соответствует набор функций в ФСР; если - простой комплексный корень характеристического уравнения (здесь - мнимая единица), то корнем характеристического уравнения будет и сопряженное с k_j число . Паре корней k_j, k_j+1 соответствуют функции , в ФСР; если - комплексный корень характеристического уравнения кратности r > 1, то корнем характеристического уравнения той же кратности будет и число . Паре корней k_j, k_j+1, каждый из которых имеет кратность r > 1, соответствуют набор функций , , , , , , …., , в ФСР. Обоснование этого правила дадим для случая n = 2. Рассмотрим уравнение второго порядка

.

(36)

Его характеристическое уравнение k² + a₁ k + a₂ = 0, в зависимости от значения дискриминанта D = a₁² - 4a ₂, может иметь 1. действительные неравные корни k₁, k₂ (D > 0). Функции , по самому способу их нахождения, являются решениями уравнения (36). Вронскиан этой системы функций , следовательно - это фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае - . 2. действительные равные корни . Функция , как и в предыдущем случае, решение уравнения (36).

для n = 2. Уравнение в этом случае имеет вид

y + a1(x)y + a2(x)y = b(x) ,

где a1(x), a2(x), b(x) - непрерывные на некотором промежутке функции. Частное решение

данного уравнения ищем в виде

y(x) = C1 y1 + C2 y2 ,

где y1(x), y2(x) - фундаментальная система решений однородного уравнения

y + a1(x)y + a2(x)y = 0 ,

a C1 = C1(x) и C2 = C2(x) - подлежащие определению функции. Предположим, что они

удовлетворяют системе:

C

1 y1 + C2 y2 = 0

C

1 y1 + C2 y2 = b(x) .

Тогда

y (x) = C

1 y1 + C2 y2 + C1 y1 + C2 y2 = C1 y1 + C2 y2 ;

y (x) = C

1 y1 + C2 y2 + C1 y1 + C2 y2 = b (x) + C1 y1 + C2 y2 .

Отсюда

y + a1(x)y + a2(x)y = b(x) + C1 y1 + C2 y2 + a1(x)(C1 y1 + C2 y2) + a2(x)(C1 y1 + C2 y2) =

= b(x) + C1 y1 + a2(x)y1 + a2(x)y1 + C2 y2 + a1(x)y2 + a2(x)y2 = b(x) ,

т.е. y + a1(x)y + a2(x)y = b(x), и наше утверждение доказано.

43. Теорема 5.1 (структура общего решения ЛНДУ). Общим решением у уравнения (5.1) является сумма его произвольного частного решения у* и общего решения соответствующего однородного уравнения (5.2), т. е.

Убедимся, что функция (5.3) - решение уравнения (5.1). Так как у* есть решение уравнения (5.1), а - решение уравнения (5.2), то

В таком случае имеем:

Это означает, что функция является решением уравнения (5.1).