Структура общего решения неоднородного линейного уравнения

   Рассмотрим неоднородное линейное уравнение n-го порядка:

            L(y) ≡ y ⁽ⁿ⁾ + p₁ (x) y ^{(n – 1)} + … + p_{n – 1} (x) y ' + p_n (x) y = f (x).       (13.1)

   Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного уравнения (13.1) приводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (13.1).

   Действительно, пусть y = y₁ (x) — частное решение уравнения (13.1), т. е.

            L(y₁ (x)) ≡ f (x)   (a < x < b).       (13.2)

   Положим

            y = y₁ + z,       (13.3)

где z — новая неизвестная функция от x. Тогда уравнение (13.1) примет вид

            L(y₁ + z) = f (x) или L(y₁) + L(z) = f (x),

откуда в силу тождества (13.2) получаем

            L(z) = 0.       (13.4)

   Это есть однородное линейное уравнение, левая часть которого та же, что и у рассматриваемого неоднородного уравнения (13.1). Уравнение (13.4) называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (13.1).

   Пусть

            z₁ (x), z₂ (x), …, z_n (x)   (a < x < b)

есть фундаментальная система решений однородного уравнения (13.4). Тогда все решения этого уравнения содержатся в формуле его общего решения

            z = C_k z_k       (13.5)

   Подставляя это значение z в формулу (13.3), получим

            y = y₁ + C_k z_k       (13.6)

   Эта формула содержит в себе все решения неоднородного линейного уравнения (13.1). Функция (13.6), как нетрудно убедиться, является общим решением уравнения (13.1).

   Таким образом мы доказали следующую теорему о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (13.1).

   Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (13.1) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (13.4).

   Общее решение (13.6) дает возможность решить задачу Коши с любыми начальными данными x₀, y₀, , …, из области (11.5) за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных.

Теорема 14.5.9.2 о наложении решений. Если y_1,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения L_n(y) = f₁(x), y_2,чн(x) - частное решение неоднородного уравнения L_n(y) = f₂(x), то функция является частным решением неоднородного уравнения . Док-во основано на линейности оператора L_n(y): , что и требовалось доказать.