- •Тема 1. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В. 6. Производная степенно-показательной функции
- •В.7. Производные высших порядков
- •В.9. Приложения производной
- •9.1. Правило Лопиталя
- •9.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •9.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •9.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.10. Дифференциал функции
- •10.1. Определение дифференциала
- •10.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •10.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 3. Неопределенный интеграл (ни)
- •1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •2. Основные свойства ни:
- •3. Таблица ни
- •4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •Тема 4. Определённый интеграл в.1 Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Тема 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду) в. 1. Основные понятия
- •2.1. Одуi с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные одуi
- •2.3. Линейные одуi
- •3.1. Одуii, допускающие понижение порядка
- •3.2. Линейные одуii с постоянными коэффициентами
2.1. Одуi с разделяющимися переменными
Опр.: ОДУI называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно привести к виду: f1(x)dx = f2(y)dy.
Такими уравнениями являются:
а) ;
б) Р1(х)Р2(у)dx + Q1(x)Q2(y)dy = 0.
Пример 1. а) Найти общее решение уравнения (х0).
Решение: Данное уравнение относится к ОДУI с разделяющимися переменными (вид а). Приведем уравнение его к виду f1(x)dx = f2(y)dy.
Поскольку , то получаем .
Умножим полученное уравнение на dx и разделим на у: .
Затем проинтегрируем обе части уравнения: => . Используя свойства логарифмов, имеем: , откуда получаем решение
у = Сх (х≠0).
Ответ: Общим решением уравнения является функция у = Сх (х≠0).
б) Найти общее решение уравнения .
Решение: Это уравнение также является ОДУI с разделяющимися переменными (вид б). Поэтому разделим переменные, перенеся второе слагаемое в правую часть уравнения и разделив затем обе части уравнения на х и у:
; .
Интегрируем обе части уравнения:
.
Общее решение получили в виде общего интеграла.
Ответ: общее решение уравнения .
в) Найти решение задачи Коши: , у(1) = 2 (х0).
(Или, другими словами, найти частное решение данного уравнения при заданном начальном условии).
Решение: Частные решения получаются из общего при конкретных значениях произвольной постоянной С. Поэтому сначала находим общее решение уравнения: у = Сх (См. пример 1а).
А затем, используя начальное условие, получим: 2 = С1 => С = 2.
Т.о. окончательно имеем: у = 2х.
Ответ: решение задачи Коши у = 2х.
2.2. Однородные одуi
Опр.: ОДУI y’ = f(x, y) называется однородным, если для функции f(х, у) выполняется равенство: f(kx, ky) = f(x, y), где k – постоянная.
Однородное уравнение м.б. записано в виде: . Поэтому заменой оно сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. (Отметим, что если у = x∙u, то y’ = u + xu’ = u + x∙ .)
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение. Данное ОДУ1 является однородным, т.к. f(kx, ky) = = f(x, y).
Поэтому заменим , y’ = u + x∙ . Тогда относительно новой функции получим уравнение с разделяющимися переменными:
u + x∙ = u – 1.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
x∙ = – 1 => du =∙– => u =∙ln .
Заменив ∙u = , окончательно получаем общее решение: у =х∙ln .
Ответ: Общее решение уравнения у =х∙ln .
2.3. Линейные одуi
Опр.: Линейным ОДУI называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:
у’ + p(x)y = q(x) (1),
где p(x), q(x) - заданные непрерывные функции от х или константы.
Решение следует искать в виде у = u∙v (2),
где u(x) – ненулевое частное решение уравнения с разделяющимися переменными
u’ + p(x) ∙u = 0 (3), а v(х) – новая неизвестная функция.
Подставляя (2) в (1) имеем:
u’∙v + v’∙u + p(x) ∙u∙v = q(x) (u’ + p(x) ∙u)∙v + v’∙u = q(x), учитывая (3), находим, что новая неизвестная функция v(x) будет удовлетворять уравнению:
v’∙u = q(x) (4).
Уравнения (3) и (4) являются уравнениями с разделяющимися переменными, из них находим u(x), v(x), причем для u(x) выбирается частное решение ≠ 0.
Затем найденные функции подставляем в (2).
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
Решение. Это линейное ОДУ1, где p(x) = , q(x) = х .
Решение ищем в виде у = uv. Для того, чтобы найти функцию u, решаем уравнение вида (3) с разделяющимися переменными: .
=> => =>
(при интегрировании считаем, что произвольная постоянная С = 0).
Затем подставляем u в уравнение вида (4) и получаем также уравнение с разделяющимися переменными .
Решаем: => dv = dx => => v = x + C.
Т.о. имеем у = uv = х(х + С).
Ответ: Общее решение уравнения у = х(х + С).
В.3. ОДУII
ОДУII в общем виде : F(x, y, y’,y’’) = 0.
Если оно разрешено относительно у’’, то имеет вид: y’’ = f(x, y, y’).
Опр.: Задача нахождения решения уравнения y’’ = f(x, y, y’), удовлетворяющего начальным условиям: (где ), называется задачей Коши.
Опр.: Общим решением ОДУII называется функция у = φ(х, С1, С2), зависящая от двух произвольных постоянных С1, С2 при следующих условиях:
она является решение уравнения при любых значениях С1, С2;
при любых начальных условиях существуют единственные значения С1 = С1 0, С2 = С2 0 такие, что у = φ(х, С1 0, С2 0) удовлетворяет данным начальным условиям.
Начальные условия можно задать и по-другому.
Пусть, например, решение ищется на отрезке [a, b]. Тогда для определения С1 0, С2 0 можно задать условия: , т.е. задачу для ОДУII можно сформулировать следующим образом: на отрезке [a, b] найти решение ОДУII, удовлетворяющее условиям, заданным на концах отрезка.
F(x, y, y’,y’’) = 0, . Такая задача называется краевой задачей для ОДУII.