- •Тема 1. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В. 6. Производная степенно-показательной функции
- •В.7. Производные высших порядков
- •В.9. Приложения производной
- •9.1. Правило Лопиталя
- •9.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •9.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •9.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.10. Дифференциал функции
- •10.1. Определение дифференциала
- •10.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •10.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 3. Неопределенный интеграл (ни)
- •1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •2. Основные свойства ни:
- •3. Таблица ни
- •4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •Тема 4. Определённый интеграл в.1 Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Тема 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения (оду) в. 1. Основные понятия
- •2.1. Одуi с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные одуi
- •2.3. Линейные одуi
- •3.1. Одуii, допускающие понижение порядка
- •3.2. Линейные одуii с постоянными коэффициентами
3.1. Одуii, допускающие понижение порядка
Опр.: ОДУII, допускающими понижение порядка, называются уравнения, решение которых можно путем замены переменных свести к решению уравнений I-го порядка.
К ним относятся:
1) y’’ = f(x) (не содержит у и у’).
последовательным интегрированием сначала находят у’, затем искомую функцию у.
2) y’’ = f(x, y’) (не содержит х), в этом случае понижают порядок уравнения путем введения новой функции у’ = р(х), при этом у’’ = p’.
3) y’’ = f( y, y’) (не содержит у), понижают порядок уравнения путем введения новой функции у’ = р(у), при этом .
3.2. Линейные одуii с постоянными коэффициентами
Линейное ОДУII с постоянными коэффициентами имеет вид:
(1) , где , а f(x) – некоторая функция.
Если f(x) = 0, то уравнение (2) называется однородным.
В противном случае (т.е. уравнение (1)) – неоднородным.
Можно доказать, что существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям .
Рассмотрим сначала решение однородного уравнения (2).
Метод решения этого уравнения состоит в следующем: по виду уравнения (2) составляется характеристическое уравнение (3).
Описание решений уравнения (2) зависит от того, имеет ли уравнение (3) два действительных корня, один действительный корень или не имеет действительных корней.
Теорема:
1) Пусть характеристическое уравнение (3) имеет два различных действительных корня k1 и k2 (т.е. D>0). Тогда общее решение уравнения (2) имеет вид:
.
2) Если уравнение (3) имеет один действительный корень k (кратности 2) (D=0), то общее решение уравнения (2): .
3) Если уравнение (3) не имеет действительных корней (D<0), то общее решение уравнения (2): ,
где , .
4. Решить краевую задачу для уравнения второго порядка
, , .
Решение. Решив данную задачу мы получим частное решение линейного ОДУII с постоянными коэффициентами при указанных начальных условиях.
Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, необходимо сначала найти его общее решение.
Составим и решим соответствующее характеристическое уравнение .
Данное характеристическое уравнение имеет 1 действительный корень k = 1. Поэтому общее решение уравнения имеет вид: у = С1ех + С2хех (формула (3.5)).
Теперь найдем такие значения постоянных С1 и С2, при которых выполняются заданные начальные условия. Т.к. у(0) = С1, а у(1) = С1е + С2е, то постоянные находим, решая систему
.
Т.о. частное решение уравнения у = 3ех – 3хех.
Ответ: Решение данной краевой задачи имеет вид: у = 3ех – 3хех.
Перейдем к решению линейного неоднородного уравнения (1).
Рассмотрим два метода решения этого уравнения:
1) метод вариации произвольных постоянных.
Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения (2). Затем решение уравнения (1) ищут в виде , т.е. С1, С2 – функции независимой переменной х. Их находят из системы:
2) метод подбора частного решения:
Теорема: Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (2) у* и некоторого частного решения уравнения (1) : .
Одним из способов нахождения является подбор по виду правой части f(x). Приведем в виде таблицы наиболее часто встречающиеся виды правых частей и соответствующие им виды частных решений.
№ |
Вид правой части f(x) |
Корни уравнения (3) |
Вид |
1 |
a |
0 – не корень 0 – корень |
A Ax |
2 |
aх + b |
0 – не корень 0 – корень |
Ax + B x(Ax + B) |
3 |
aх2 + bx + c |
0 – не корень 0 – корень |
Aх2 + Bx + C x(Aх2 + Bx + C) |
4 |
aemx |
m – не корень m–однократный корень m–двукратный корень |
Aemx Axemx Ax2emx |
5 |
(aх + b )emx |
m – не корень m–однократный корень m–двукратный корень |
(Ах + В)emx х(Ах + В)emx х2(Ах + В)emx |
6 |
a∙cosnx + b∙sinnx |
in – не корни in – корни |
A∙cosmx + B∙sinmx x(A∙cosnx + B∙sin\nx) |
В таблице А, В, С – неизвестные коэффициенты, которые находят путем подстановки частного решения в исходное дифференциальное уравнение (1) и приравнивания коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства.
Если правая часть f(x) имеет вид суммы или произведения функций типов 1-6, то частное решение также следует подбирать в виде соответствующей суммы или произведения.
Пример. .
Это уравнение является линейным неоднородным ОДУII с постоянными коэффициентами.
Чтобы его решить нужно:
1) Найти общее решение соответствующего однородного уравнения .
Для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , k1 = 2, k2 = 3. Т.к. мы получили 2 различных действительных корня (это случай 1), то по формуле (3.4) общее решение однородного уравнения имеет вид у* = С1е2х + С2е3х.
2) Подобрать частное решение неоднородного уравнения.
Правая часть f(x)= ех. Это случай 4 из таблицы 2. И поскольку m = 1 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение должно иметь вид = Aex (1-ая строка пункта 4 таблицы 2). Найдем первую и вторую производные частного решения: ’= Aex; ”= Aex. Подставляя , ’, ” в исходное уравнение, получаем:
. Т.о. частное решение уравнения = ex.
Т.к. , то общее решение имеет вид у = С1е2х + С2е3х + ex.
Ответ: Общее решение уравнения имеет вид
у = С1е2х + С2е3х + ex.