В. 3. Бесконечно малые величины

Функция (x) называется бесконечно малой величиной при х  х₀ (при х  ), если ее предел равен нулю: (x) = 0.

Например, функция - б.м.в. при х  , - б.м.в. при х 0.

Связь бесконечно малых величин с пределами функций определяется теоремами:

Теорема: Если f(x) = A, то функцию f(x) можно представить в виде суммы

f(x) = A + (x), где (x) – бесконечно малая при х  х₀ ().

Обратная теорема: Если функцию f(x) можно представить как сумму числа А и бесконечно малой (x) при х  х₀ (), то число А есть предел этой функции при х  х₀ (), т.е.

f(x) = A.

Свойства бесконечно малых величин:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух бесконечно малых (x) и (x) из-за его неопределенности. Этот предел может быть равен нулю, числу А  0 или бесконечности . При =1 (x) и (x) называются эквивалентными и пишут (x) (x).

В. 4. Бесконечно большие величины

Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х  х₀, если для M > 0 найдется такое  > 0 ( (M)), что для x  x_0, х – x₀ <  будет верно:  f(x  > M. (Т.е. ).

Например, функция - б.б.в. при х  0, - б.б.в. при х .

Замечание. Бесконечно большая величина есть функция неограниченная при х  х₀ (). В то же время не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Например, функция y = x sin x является неограниченной, но не бесконечно большой, т.к. с ростом х функция все время колеблется, переходя от положительных к отрицательным значениям и наоборот.

Свойства бесконечно больших величин:

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке х₀, есть величина бесконечно большая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами устанавливает следующая теорема:

Теорема: Если (x) есть бесконечно малая при х  х₀ (), то функция f(x) = является бесконечно большой при х  х₀ (). Обратно, если функция (x) есть бесконечно большая при х  х₀ (), то функция f(x) = есть бесконечно малая при х  х₀ ().

В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть f(x) и  (x) – функции, для которых существуют пределы при х  х₀ ():

, .

Тогда имеют место следующие теоремы о пределах:

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций:

.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю):

(B  0)

5. Если , то предел сложной функции:

.

6. Если в некоторой окрестности точки х₀ (или при достаточно больших х) f(x) < (x), то:

Использовать эти теоремы для выяснения существования предела не всегда удобно. Проще сделать это с помощью признаков существования предела: