9.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба

Функция y=ƒ(x) называется выпуклой вниз на промежутке X,если для x₁,x₂ЄX

Функция y=ƒ(x) называется выпуклой вверх на промежутке X, если для x₁,x₂ЄX

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда её 1-ая производная на X монотонно возрастает (убывает ).

Теорема. Если y=f(x) дважды дифференцируема а, f``(x)> 0 (f``(x)<0) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке .

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Отсюда следует, что точка перегиба – это точка экстремума 1- й производной.

Теорема (необходимое условие перегиба). В точке перегиба x₀ дважды дифференцируемой функции f```(x)=0.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если 2-я производная дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x₀ меняет свой знак, то x₀ есть точка перегиба.

Замечание. Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1. Найти f```(x).

2. Найти точки, в которых f```(x)=0 или не существует.

3. Исследовать знак 2-ой производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример 7. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

9.4. Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции y=f`(x) называется прямая, расстояние от которой до точки(x, f`(x)) стремится к нулю при x  -.

Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные .

Теорема. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и хотя бы один из пределов функции при x x₀ - 0 или при x x₀ +0 равен бесконечности. Тогда прямая x= x₀ является вертикальной асимптотой функции y=f`(x).

Вертикальные асимптоты x= x₀ следует искать в точках разрыва функции y=f(x) или на концах её области определения в (а,b),если а и b - конечные числа.

Теорема. Пусть функция y=f(x) при достаточно больших x и существует конечный предел . Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика функции

Теорема. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно большой x и существуют конечные пределы . Тогда прямая y=kx + b является наклонной асимптотой функции y=f(x).

График дробно-линейной функции , где , имеет вертикальную и горизонтальную асимптоты .

Пример 8. Найти асимптоты графиков функций: а) у = ; б) у = ; в) у = .

9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервал выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Рассмотрим схему исследования функций на следующем примере.

Пример 9. Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. 1) Найдем область определения функции.

Областью определения этой функции является вся действительная ось, за исключением двух точек х₁ = –2 и х₂ = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х² – 4 = 0).

2) Исследуем функцию на четность-нечетность.

Функция четная, т.к. у(-х) = = у(х). Четность функции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу.

3) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х₁ = –2 и х₂ = 2.

Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.

Предел слева , предел справа .

Аналогично , .

Следовательно, прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами функции.

4) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

Для этого вычислим пределы: и . Откуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0x +1, т.е. у = 1.

5) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.

Производная заданной функции у’ = равна нулю (у’ = 0) при х=0 и не существует при х = ±2. Но критической является только точка х=0 (т.к. значения х = ±2 не входят в область определения функции). Поскольку при x < 0 f’(x) > 0, а при x > 0 f’(x) < 0, то х=0 – точка максимума функции и f_mах(x)= = – 1.

Н а интервалах (-∞; -2) и (-2; 0) y' + –

ф ункция возрастает , на интервалах -2 0 2 x

(0; 2) и (2; +∞) –. убывает у

6) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.

Для этого надо найти вторую производную функции у’’ = . Видно, что у’’ = 0 не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (-2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки у’’ меняются.

На интервалах (-∞; -2) и (2; +∞) y” + – +

ф ункция выпукла вниз, на интервале -2 2 x

(-2; 2) – выпукла вверх. y

7) Найдем точки пересечения с осями координат.

f(0) = = – 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0; -1). Уравнение f(х) = 0, (т.е. = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

8) На основании полученных данных построим график заданной функции.

у

1

-2 2 х

-1