Матем_лекции_ 1сем_гр.,2621,2721

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

x

a

x 1

a

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

11

21

x

2

... a

n1

x n ,

1

x2

a12 x 1

a22 x

2

... an2 x n ,

...............................................

xn

a1n x 1

a2n x

2

.... ann x n

или в матричной форме:

X A'

X ,

X (A 1 ) X

В.5. Евклидово пространство

Скалярным произведением двух векторов x (x1 ,..., xn )

и y (y1 ,..., yn ) называется

n

число:

(x, y) x1 y1 x2 y2 ... xn yn

xi yi

Экономический

i 1

: если x (x1 ,..., xn ) вектор объемов

смысл скалярного произведения

различных товаров, а y (y1 ,..., yn ) -

вектор их цен, то ( x, y )-

суммарная стоимость этих

товаров.

аксиомы), называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора x в евклидовом

пространстве называется корень

квадратный из его скалярного квадрата:

x

= x

2

x

2 ... x

2

(x, x)

2

1

n

cos

(x, y)

, где 0 .

x

y

ненулевых вектора ортогональны, то / 2.

Векторы

e1 , e2 ....,en

n-мерного

евклидова

пространства

образуют

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Если задан закон (правило), по которому

каждому

вектору

x Rn

ставится в

соответствие единственный

вектор y Rm , то

говорят,

что

задан

оператор

(преобразование, отображение) А(х), действующий из R n в Rm , и записывают у=А( х).

Оператор

называется

линейным,

если

для

любых

векторов

Вектор

~

называется образом вектора х, а сам вектор х- прообразом вектора

y A(x)

y.

Если пространства R n

и Rm совпадают, то оператор А отображает пространство R n

в себя. Рассмотрим именно этот случай.

Выберем в R n

базис

e , e

2

,...,e

n

, запишем разложение произвольного вектора x по

этому базису:

1

x x1e1

x2 e2 ... xn en .

~

Применим к этому выражению линейный

оператор

силу его

линейности

A, в

получаем:

~

~

~

~

A(x) x1 A(e1 ) x2 A(e2 )

... xn A(en ).

~

n

),i 1, n -также

вектор из R

, то его можно

разложить

по базису

Поскольку A(ei

~

(a11e1

an1en ) x2 (a12 e1

an2 en )

xn (a1n e1

ann en )

A(x) x1

~

a12 x2

... a1n xn )e1 (a21 x1 a22 x2 ... a2n xn )e2 ...(an1 x1 an2 x2 ... ann xn )en

(*)

A(x) (a11 x1

С другой стороны, вектор

~

имеющий в том же базисе e1 , e2 ,...,en координаты

y A(x),

y1

a11 x1

a12 x2

... a1n xn ,

a21 x1

a22 x2

... a2n xn

,

y2

или в матричной форме: Y AX.

.............................................

,

y

n

a

n1

x

a

n2

x

2

... a

nn

x

n

1

Матрица

A (aij ),(i, j

каждый столбец которой состоит из координат образа

~

1, n),

)

соответствующего базисного

вектора ei в том же базисе e1 , e2 ,...,en , называется

A(ei

матрицей оператора

~

~

A в базисе

e1 , e2 ,...,en , а ранг r матрицы А рангом оператора A .

Вектор х и его образ

~

связаны матричным уравнением:

Y AX ,

y A(x)

где А- матрица линейного оператора X (x , x

2

,..., x

n

),Y (y

y

2

,..., y

n

)' .

1

1

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

Пример:

~

http://www.foxitsoftware.com

For evaluation only.

Линейный

оператор

в

R

3

в

базисе

e1 , e2 , e3

задан

матрицей

A

3

2

4

~

5

y

x 4e1

3e2

e3 .

A 1

6 Найти образ

A(x) вектора

1

8

6

y

3

2 4 4

10

Решение:

1

5

Применяем формулу перехода: y2

1

6 3

13

1

1

Образ вектора х имеет вид:

y3

8 6

18

y 10e1

13e2 18e3 .

~

~

Суммой

двух

линейных

операторов

и

называется

оператор

~

A

B

~

(A B), определяемый равенством:

~

~

~

~

(A

B)(X ) A(X ) B(X ).

~

Произведением

линейного

оператора

на

число

называется

оператор

~

A

~

( A)(X ) (A(X )).

~

~

~ ~

Произведением линейных операторов

A и B называется оператор AB :

~

~

~ ~

(AB)(X ) A(B(X )).

Все эти операторы удовлетворяют свойствам аддитивности и однородности, т.е.

являются линейными.

~

~

Нулевой оператор

переводит все векторы из R

n

в нулевые векторы

0

0(0) 0.

Тождественный оператор

~

E(X ) X.

~

Теорема.

Матрицы

A и A

линейного

оператора

в

базисах e1 , e2 ,...,en и

A

e

, e

2

,...,e

связаны соотношением:

A

C 1 AC,

где

C матрица

перехода от старого

1

n

базиса к новому.

~

17

6

Пример. В базисе e , e

Найти матрицу оператора

2

оператор A имеет матрицу A

1

8

~

6

e1 2e2 ;

2e1

e2 .

A в базисе

e 1

e

2

Решение.

Матрица

перехода

здесь

C

1

2

,а

обратная

к

ней

2

1

C

1

1 1

2

1

5 2

Следовательно,

A

1 1

2 17

6 1

2

5

0

1

6

5 2

8 2

1

0

20

В.7. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

~

Вектор

x 0 называется

собственным вектором линейного

оператора

если

A,

найдется такое число , что

~

(*)

A(x) x

~

Число

называется

собственным

значением

оператора

(матрица

А),

A

соответствующим вектору x. Под действием линейного оператора

~

A собственный вектор

a11 x1 a12 x2 ....

a1n xn x1 ,

a22 x2

a2n xn x2

,

a21 x1

.............................................

.

a

x

a

n2

x

2

.....

a

nn

x

n

x

n

n1 1

(a11 )x1

a12 x2 ...

a1n xn 0

(a22 )x2

a2n xn 0,

a21 x1

..................................................

a

x

a

n2

x

2

...

(a

nn

)x

n

0.

n1 1

a11

a12

a1n

A E

a21

a22

a2n

= 0

(**)

an1

an2

ann

Определитель

A E

является многочленом n-ой степени относительно .

Это –

характеристический

многочлен

оператора

~

или

матрицы

А, а уравнение

(**) –

A

характеристическое уравнение оператора

~

A или матрицы А.

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса,

т.е.

A E

A

E

,

где

A, A

матрицы

оператора

~

в

старом и

новом базисах

A

соответственно.

Пример.

Найти

собственные

значения

и

собственные

векторы линейного

оператора

~

A, заданного матрицей

1

4

А =

9

1 .

Решение.

Составим характеристическое уравнение

A E

1

4

0, или 2 2 35 0,

откуда

5;

2

7.

9

1

1

Находим собственный вектор x(1) ,

отвечающий собственному значению

5:

1

(A E)x(1)

0

или

6

4

x (1)

0

x

(1)

1,5cx(1)1 ; Примем

x

(1)

c :отсюда

1

, откуда

2

1

9

(2)

1

6

x2

0

~

векторы x

(1)

(c, 1,5c); c 0 являются собственными векторами линейного оператора A с

собственным значением 5.

2

Аналогично

для

2

7

векторы

x(2) (

c, c)' , c 0

являются

собственными