- •Раздел. Математический анализ
- •Тема 1. Множества и функции в.1. Понятие множества
- •В.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- •В.3. Определение функции
- •В.5. Элементарные функции
- •В.6. Интерполирование функций
- •В. 7. Преобразование графиков
- •Тема 2. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В.6. Производные высших порядков
- •В.7. Приложения производной
- •7.1. Правило Лопиталя
- •7.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •7.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •7.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.8. Дифференциал функции
- •8.1. Определение дифференциала
- •8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •8.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 4. Неопределенный интеграл (ни) в.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •В.3. Таблица ни
- •В.4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •В.5. Интегрирование отдельных классов функций
- •5.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •5.2. Интегрирование иррациональных функций
- •5.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •Тема 5. Определённый интеграл в.1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
В.5. Элементарные функции
Функция называется явной, если она задана формулой вида y = f(x) (правая часть не содержит зависимой переменной).
Функция называется неявной, если она задана уравнением F(x, y) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной.
Пусть функция y = f(x) – функция от независимой переменной х с областью определения Х и областью значений Y. Поставим в соответствие единственное значение , при котором f(x) = y. Тогда полученная функция х = φ(у), определенная на промежутке Y с областью значений Х, называется обратной (обратную функцию также обозначают y = f -1(x)).
Для любой строго монотонной функции существует обратная функция. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х (биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов).
Пример 2. Для функции у = 3х найти обратную.
Функция у = 3х монотонная (возрастающая), следовательно, она имеет обратную. Для того чтобы получить формулу обратной функции выразим переменную х через у:
. А затем полученную формулу запишем в привычном виде (поменяем х и у местами): - это и есть обратная функция к данной.
|
у у = х у = 3х
О х |
Пусть функция y = f(и) – функция переменной и определена на множестве U с областью значений Y, а переменная и – функция переменной х: и = φ(х), определена на множестве Х с областью значений U. Тогда заданная на множестве Х с областью значений Y функция y = f[φ(х)] называется сложной функцией (композицией функций, функцией от функции).
Например, у = cos(x2+x) – сложная функция, т.к. ее можно представить в виде , у = cosи, где и = x2+x.
Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
Например, функция – элементарная (пример неэлементарной функции у = |x|).
Классификация функций. Элементарные функции делятся на:
1) Алгебраические (полученные с помощью конечного числа алгебраических действий над аргументом). К ним относятся:
целая рациональная функция (многочлен): ;
дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов;
иррациональная функция (в составе операций над аргументом есть извлечение корня).
2) Неалгебраические (или трансцендентные). К ним относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.
В.6. Интерполирование функций
Интерполирование – приближенное вычисление неизвестных значений функции по известным ее значениям в заданных точках.
Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента.
Пример 3. Значение функции известно в точках a и b. С помощью линейной интерполяции найти значение функции в точке с.
а |
f(a) |
b |
f(b) |
c |
2 |
2,42 |
2,04 |
2,88 |
2,008 |
Решение. Значение с лежит между а и b. Формула линейного интерполирования:
f(c) f(a) + , где h = b – a, f = f(b) – f(a).
Подставляя в формулу известные значения из таблицы, получим:
f(2,008) 2,42 + = 2,512. Ответ. f(2,008) 2,512.