Тема 5. Определённый интеграл в.1. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция непрерывна не отрезке и любая первообразная функция на этом отрезке. Тогда определенный интеграл от функции на отрезке равен приращению первообразной на данном отрезке.

- приращение первообразной на данном отрезке

То есть нахождение определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа:

1. Используя технику нахождения неопределенного интеграла находим первообразную подынтегральной функции.

2. Вычисляем приращение первообразной на заданном отрезке.

Пример 1:

В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Метод замены переменной для определенного интеграла.

Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , а также и функция непрерывна в любой точке , где .

Тогда формула для замены переменной выглядит следующим образом:

Замечание: в случае определенного интеграла нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования.

Пример 2: Вычислить

Метод интегрирования по частям для определенного интеграла

Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , тогда формула интегрирования по частям:

где - приращение:

31