В. 7. Преобразование графиков

Пусть задан график функции y = f(x). Тогда справедливы следующие утверждения:

1. График функции y = f(x+a) есть график y = f(x), сдвинутый на а единиц параллельно оси Оy (вдоль оси Oх); при a > 0 – влево, при a < 0 – вправо.

2. График функции y = f(x)+b есть график y = f(x), сдвинутый b единиц параллельно оси Оx (вдоль оси Oy); при b > 0 – вверх, при b < 0 – вниз.

3. График функции y = mf(x) (m≠0) есть график y = f(x), растянутый при m > 1 в m раз или сжатый при 0 < m <1 в m раз вдоль оси Oy. При m < 0 график функции y = mf(x) есть зеркальное отображение графика y = -mf(x) от оси Ox.

4. График функции y = f(kx) (k≠0) есть график y = f(x), сжатый при k > 1 в k раз или растянутый при 0 < k < 1 в k раз вдоль оси Ox. При k < 0 график функции y = f(-kx) есть зеркальное отображение графика y = f(kx) от оси Oy.

5. График функции получается из графика функции y = f(x), если оставить на месте ту часть, где f(x) ≥ 0 и симметрично отобразить относительно Ох часть f(x)˂ 0:

.

6. График функции совпадает с графиком y = f(x) на множеств неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно Оу на множестве отрицательных значений аргумента.

Пример 4. Построить график функции у = –4∙sin2x + 1.

Р ешение. 1) Сначала построим график функции у = sinx.

у

1

О х

-π - -1 π

2) Сжатием графика в 2 раза вдоль оси Ох получаем график функции у=sin2x.

у

1

О х

-π - π

3) Растянем график у = sin2x вдоль оси Оу в 4 раза и получим график функции

у = 4sin2x. у

4

1

О х

-π - π

-4

4) Зеркально отобразив график от оси Ох, получим у = –4sin2x.

у

4

1

О х

-π - π

-4

5) Сдвинем полученный график на 1 единицу вверх параллельно оси Оу. Таким образом график функции у = – 4∙sin2x + 1 имеет вид:

у

5

1

π О π х

-3

Тема 2. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность {a_n}:

a₁, a₂,…,a_n… .

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента a_n=f(n).

Числа a₁, a₂,…,a_n называются членами последовательности, а число a_n – общим или n-м членом данной последовательности.

Пример 1: а) 2, 4, 6, …2n, … (монотонная неограниченная);

б) 1, 0, 1, 0, … (немонотонная ограниченная);

в) 0, , , , , …, , … - немонотонная, ограниченная. Изобразим её точками числовой оси. С ростом n последовательность как угодно близко приближается к 1. При этом , , , … , , … Т.е. с ростом n расстояние будет меньше любого, сколь угодно малого числа.

Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа  > 0 найдется такой номер N(), зависящий от , что для всех членов данной последовательности с номерами n > N() верно неравенство a_n - A <  .

Предел числовой последовательности обозначается или . Используя следующие логические символы (кванторы):  (любой),  (существует),  (равносильность или эквивалентность), определение предела можно записать в виде:

(A = a_n)  ( > 0  N() : n > N()  a_n – A  < )

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Смысл определения: для достаточно больших n члены последовательности {a_n} сколь угодно мало отличаются от числа А.