- •Раздел. Математический анализ
- •Тема 1. Множества и функции в.1. Понятие множества
- •В.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- •В.3. Определение функции
- •В.5. Элементарные функции
- •В.6. Интерполирование функций
- •В. 7. Преобразование графиков
- •Тема 2. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В.6. Производные высших порядков
- •В.7. Приложения производной
- •7.1. Правило Лопиталя
- •7.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •7.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •7.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.8. Дифференциал функции
- •8.1. Определение дифференциала
- •8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •8.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 4. Неопределенный интеграл (ни) в.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •В.3. Таблица ни
- •В.4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •В.5. Интегрирование отдельных классов функций
- •5.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •5.2. Интегрирование иррациональных функций
- •5.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •Тема 5. Определённый интеграл в.1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
В.7. Непрерывность функции
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим условиям:
она определена в точке х0,, т.е. существует f(х0);
она имеет конечный предел функции при х х0 ( );
этот предел равен значению функции в точке х0, т.е.
Пример 6. А) Функция в точке х = 0 не является непрерывной (нарушено 1-е условие).
Б) Функция, заданная выражением: в точке х = 0 не является непрерывной из-за отсутствия предела при х 0, хотя существуют пределы слева и справа (нарушено 2-е условие).
В) - не является непрерывной, т.к. нарушено 3-е условие.
Г) Функция y = x2 является непрерывной в точке х = 0.
|
y
1_ x 1_
|
|
Непрерывность функции f(x) в точке х0 можно записать и так:
т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.
Другое определение непрерывности: функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
Оба определения равносильны.
Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной. Существует две разновидности точек разрыва.
Точка разрыва 1-го рода: существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х х0, не равные друг другу.
В качестве примера можно указать точку х = 0 для функции .
Точка разрыва 2-го рода: хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.
В качестве примера можно указать точку х = 0 для функции .
Свойства функций непрерывных в точке:
Если функции f(x) и (х) непрерывны в точке х0, то их сумма f(x) + (х), произведение f(x) (х) и частные ((х) 0) являются функциями, непрерывными в точке х0.
Если функция y = f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0) > 0, то существует такая окрестность точки x0, в которой и f(x) > 0.
Если функция y = f(u) непрерывна в точке u0 и f(x0) > 0, а функция u = (х) непрерывна в точке х0, то сложная функция y = f[(х)] непрерывна в точке х0 .
Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойства функций непрерывных на отрезке:
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и ее значения на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка (a, b) такая, что f()=0.