- •Раздел. Математический анализ
- •Тема 1. Множества и функции в.1. Понятие множества
- •В.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- •В.3. Определение функции
- •В.5. Элементарные функции
- •В.6. Интерполирование функций
- •В. 7. Преобразование графиков
- •Тема 2. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В.6. Производные высших порядков
- •В.7. Приложения производной
- •7.1. Правило Лопиталя
- •7.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •7.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •7.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.8. Дифференциал функции
- •8.1. Определение дифференциала
- •8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •8.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 4. Неопределенный интеграл (ни) в.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •В.3. Таблица ни
- •В.4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •В.5. Интегрирование отдельных классов функций
- •5.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •5.2. Интегрирование иррациональных функций
- •5.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •Тема 5. Определённый интеграл в.1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Тема 4. Неопределенный интеграл (ни) в.1. Первообразная и неопределённый интеграл
Определение1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в любой точке х Х: (F(x))’=f(x).
Например, F(x)= - первообразная для функции f(x)=х4.
(Т.к. (F(x))’= f(x).)
Геометрический смысл: Найти первообразную для функции f(x) означает найти такую кривую у = F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) в этой точке. ( ((F(x))’= tg = f(x) ).
Первообразная функции определена неоднозначно: если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x)+C – также первообразная для данной функции.
Теорема. Если F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f(x) на промежутке Х, то существует такое число С R , что F2(x) = F1(x) + С.
(Т.е все первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга лишь на некоторую постоянную.)
Определение 2. Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается ,
где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная (С = const), - знак операции интегрирования, d – знак операции дифференцирования.
Теорема существования НИ. Любая непрерывная на некотором промежутке Х функция f(x) имеет первообразную на этом промежутке.
В.2. Основные свойства НИ:
1. Производная от НИ равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению:
,
2. НИ от дифференциала некоторой функции равен этой же функции с точностью до некоторой постоянной: .
В частности, .
Замечание: Объединяя свойства 1 и 2, можно сделать вывод о том, что операции интегрирования и дифференцирования функции – это взаимообратные операции.
3. НИ от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме интегралов НИ от этих функций .
4. Константу можно выносить за знак НИ:
, где с = const.
5. Свойство инвариантности формы НИ (т.е. независимости вида НИ от выбора аргумента):
В частности,
В.3. Таблица ни
Используя определение НИ и таблицу производных можно записать таблицу НИ.
Таблица 1 (неопределенных интегралов)
1. 2. 3. n ≠ –1; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; |
9. ; 10. 11. ; 12. (|x|<a, a≠0); 13. (a≠0); 14. (|x|≠a, a≠0); 15. . |
В.4. Методы интегрирования
4.1. Метод разложения
Метод разложения заключается в разложении подынтегральной функции на сумму функций и использовании свойств неопределенного интеграла 3 и 4. Применяется, если интегралы от слагаемых табличные или известен метод их вычисления.
Пример 1.
===(св-во 3) =
= = (св-во 4) = = (используем формулы 3 и 4 из таблицы 1 н.и.)= =
=.
Ответ: =.
4.2. Метод замены переменной
Формула замены переменной: ,
где х = (t) – дифференцируемая функция на промежутке Х.
Пример 2. .
Данный интеграл вычисляется методом замены переменной (линейная замена). Обозначим выражение в скобках через t: 3х – 1 = t, тогда d(3х – 1)=dt => 3dх = dt =>.
== = = (по формуле 3 из таблицы 1 н.и.) = = = = .
Ответ: = .
Пример 3. .
Здесь при вычислении интеграла используется также метод замены переменной (нелинейная замена).
= == = = (используем формулу 4 из табл.1 н.и.) = = .
Ответ: = .