- •Раздел. Математический анализ
- •Тема 1. Множества и функции в.1. Понятие множества
- •В.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- •В.3. Определение функции
- •В.5. Элементарные функции
- •В.6. Интерполирование функций
- •В. 7. Преобразование графиков
- •Тема 2. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В.6. Производные высших порядков
- •В.7. Приложения производной
- •7.1. Правило Лопиталя
- •7.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •7.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •7.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.8. Дифференциал функции
- •8.1. Определение дифференциала
- •8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •8.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 4. Неопределенный интеграл (ни) в.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •В.3. Таблица ни
- •В.4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •В.5. Интегрирование отдельных классов функций
- •5.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •5.2. Интегрирование иррациональных функций
- •5.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •Тема 5. Определённый интеграл в.1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
В.3. Определение функции
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.
Если величина сохраняет одно и то же значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.
Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.
Например, при равномерном движении s = v∙t: s и t – переменные, v – параметр.
Если по некоторому закону f каждому элементу х из множества Х ставится в соответствие вполне определенный элемент у из множества Y (т.е.), то говорят, что на множестве Х задана функция y = f(x).
При этом х называется независимой переменной, у – зависимой, f – законом соответствия; множество Х называется областью определения, Y – областью значений функции.
Замечание. Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения понимают область допустимых значений х, т.е. таких значений переменной х, при которых выражение y = f(x) имеет смысл.
Способы задания функций:
а) Аналитический способ (функция задана формулой вида y = f(x)).
б) Табличный способ (функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции y = f(x)).
в) Графический способ (функция задана графиком, т.е. множеством точек (х;у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения функции y = f(x)).
г) Словесный способ (функция описывается правилом составления, например, функция Дирихле равна 1, если х – рационально, и 0, если х – иррационально).
Основные свойства функций:
1. Четность и нечетность.
Функция y = f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения () f(– x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси Оу. Например, функция у = х2 – четная, т.к. f(– x) = (–х)2 = х2 = f(x).
Функция y = f(x) называется нечетной, если f(–x) = – f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функция у = х3 – нечетная, т.к. f(– x) = (–х)3 = –х3 = –f(x).
Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида. Например, функция у = х2 + х5 – общего вида.
2. Монотонность. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Т.е. пусть х1, х2 Х и х2 > х1, тогда функция возрастает на промежутке Х, если f(х2) > f(х1) и убывает, если f(х2) < f(х1).
y y
f(x1) f(x1)
f(x2) f(x2)
О а х1 х2 b x О а х1 х2 b x
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
3. Ограниченность. Функция y = f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0, что |f(x)| ≤ M .
Например, функция y = sinx ограничена на всей числовой оси, т.к. |sinx| ≤ 1 .
4. Периодичность. Функция y = f(x) называется периодической с периодом Т≠0, если для любых х из области определения функции f(x+Т) = f(x).
Например, функция y = cosx имеет период Т = 2π, т.к. для cos(x+2π )= cosx.
В.4. Основные элементарные функции и их свойства (см. приложение)
-
Степенная функция: y = xn; y = x-n; y = .
-
Показательная функция: y = ax.
-
Логарифмическая функция: y = logax.
-
Тригонометрические функции: y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x.
-
Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arcctg x.