- •Раздел. Математический анализ
- •Тема 1. Множества и функции в.1. Понятие множества
- •В.2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- •В.3. Определение функции
- •В.5. Элементарные функции
- •В.6. Интерполирование функций
- •В. 7. Преобразование графиков
- •Тема 2. Пределы и непрерывность в.1. Предел числовой последовательности
- •В.2. Предел функции
- •В. 3. Бесконечно малые величины
- •В. 4. Бесконечно большие величины
- •В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •В. 6. Замечательные пределы
- •В.7. Непрерывность функции
- •В.8. Вычисление пределов
- •Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной в.1. Задачи, приводящие к производной. Задача о касательной:
- •В.2. Определение производной функции
- •В.3. Основные правила дифференцирования
- •В.4. Производная сложной и обратной функций
- •В. 5. Производные основных элементарных функций
- •В.6. Производные высших порядков
- •В.7. Приложения производной
- •7.1. Правило Лопиталя
- •7.2. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
- •7.3. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба
- •7.4. Асимптоты графика функции
- •9.4. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •В.8. Дифференциал функции
- •8.1. Определение дифференциала
- •8.2. Применение дифференциала в приближённых вычислениях
- •8.3. Дифференциалы высших порядков
- •Тема 4. Неопределенный интеграл (ни) в.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •В.3. Таблица ни
- •В.4. Методы интегрирования
- •4.1. Метод разложения
- •4.2. Метод замены переменной
- •4.3. Метод интегрирования по частям
- •В.5. Интегрирование отдельных классов функций
- •5.1. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •5.2. Интегрирование иррациональных функций
- •5.3. Интегрирование тригонометрических функций
- •Тема 5. Определённый интеграл в.1. Формула Ньютона-Лейбница.
- •В.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
В.2. Предел функции
Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к бесконечности (пределом функции в бесконечности), если для любого > 0 найдется такое S > 0, что для всех х > S верно неравенство f(x) – A < .
Предел функции обозначается f(x) = A, или f(x) A при х ().
(A = f(x) ( > 0 S = S() > 0 : x : x > S f(x) – A < ).
Смысл определения: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа А.
Число А называется пределом функции f(x) при х х0, (в точке х0), если для
> 0 = () > 0 : x x0, х – x0 < выполняется неравенство f(x) – A < .
Смысл определения: для всех значений х, достаточно близких к х0, значения f(x) как угодно мало отличаются от числа А.
Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке х0, поскольку предполагается, что х стремится к х0, но не достигает значения х0. Поэтому наличие или отсутствие предела при х х0 определяется поведением функции в окрестности точки х0, но не связано с существованием функции в самой точке х0.
Замечание 2. Если при х х0 х принимает только значения, меньшие х0, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об одностороннем пределе функции слева: f(x) = A.
Аналогично, если при х х0 х > х0, то говорят об одностороннем пределе функции справа, т.е: f(x) = A
При этом, если f(x) = f(x) = А, то f(x) = A.
В. 3. Бесконечно малые величины
Функция (x) называется бесконечно малой величиной при х х0 (при х ), если ее предел равен нулю: (x) = 0.
Например, функция - б.м.в. при х , - б.м.в. при х 0.
Связь бесконечно малых величин с пределами функций определяется теоремами:
Теорема: Если f(x) = A, то функцию f(x) можно представить в виде суммы
f(x) = A + (x), где (x) – бесконечно малая при х х0 ().
Обратная теорема: Если функцию f(x) можно представить как сумму числа А и бесконечно малой (x) при х х0 (), то число А есть предел этой функции при х х0 (), т.е.
f(x) = A.
Свойства бесконечно малых величин:
-
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
-
Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.
-
Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух бесконечно малых (x) и (x) из-за его неопределенности. Этот предел может быть равен нулю, числу А 0 или бесконечности . В первом случае (x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости чем (x). Это записывается так: (x) = ((x)) при х х0 (), т.е. “(x) есть О малое от (x)”. Во втором случае (x) и (x) одного порядка малости (“(x) есть О большое от (x)” или (x) = O((x))). В третьем случае (x) более низкого порядка малости чем (x). При =1 (x) и (x) называются эквивалентными и пишут (x) (x).