В. 4. Бесконечно большие величины

Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х  х₀, если для M > 0 найдется такое  > 0 ( (M)), что для x  x_0,х – x₀ <  будет верно:  f(x  > M. (Т.е. ).

Например, функция - б.б.в. при х  0, - б.б.в. при х .

Замечание. Бесконечно большая величина есть функция неограниченная при х  х₀(). В то же время не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Например, функция y = x sin x является неограниченной, но не бесконечно большой, т.к. с ростом х функция все время колеблется, переходя от положительных к отрицательным значениям и наоборот.

Свойства бесконечно больших величин:

Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.
Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке х₀, есть величина бесконечно большая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами устанавливает следующая теорема:

Теорема: Если (x) есть бесконечно малая при х  х₀(), то функция f(x) = является бесконечно большой при х  х₀(). Обратно, если функция (x) есть бесконечно большая при х  х₀(), то функция f(x) = есть бесконечно малая при х  х₀().

В. 5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть f(x) и  (x) – функции, для которых существуют пределы при х  х₀():

, .

Тогда имеют место следующие теоремы о пределах:

Функция не может иметь более одного предела.
Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций:

Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю):

(B  0)

Если , то предел сложной функции:

Если в некоторой окрестности точки х₀ (или при достаточно больших х) f(x) < (x), то:

Использовать эти теоремы для выяснения существования предела не всегда удобно. Проще сделать это с помощью признаков существования предела:

Теорема 1. Если числовая последовательность {a_n} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Возможны два случая: а) последовательность неубывающая и ограничена сверху – a₁ a₂ a₃ … a_n …M; б) последовательность невозрастающая и ограничена снизу – a₁ a₂  a₃  …  a_n  …M;

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки х₀(или при достаточно больших х) функция f(x) заключена между двумя функциями φ(х) и (х), имеющими одинаковый предел А при х  х₀(), то функция f(x) имеет тот же предел А.