Глава 7. Показатели вариации

7.1. Общее понятие о вариации признака

Средняя величина, являясь обобщающим показателем для всех единиц совокупности, не дает представления об индивидуальных значениях варьирующего признака и о различиях между ними. В то же время именно эти различия представляют большой интерес для исследователя, так как они позволяют полнее раскрыть строение изучаемой совокупности, получить дополнительный материал для экономико-статистического анализа.

Кроме того, возможны случаи, когда в центре внимания находится сам характер распределения, а не средняя величина. В экономике такого рода показатели нужны, например, для характеристики ритмичности производства, когда необходимо измерить характер изменчивости всего ряда распределения.

Рассмотрим пример:

Выполнение плана по производству продукции в %

Дни недели	Бригада 1	Бригада 2
понедельник	99 %	80 %
вторник	102,5 %	110 %
среда	97,5 %	105 %
четверг	99 %	95 %
пятница	102 %	110 %
В среднем за неделю	100 %	100 %

(Численность в течение недели не меняется.)

Как видно из таблицы, в целом за неделю бригады план по производству выполнили. Но насколько ритмично они работали? Если максимальное отклонение у 1-й бригады 2,5%, то у 2-й бригады 20%.

Таким образом, для характеристики ритмичности средней величины явно недостаточно. Необходимо характеризовать соотношение между средней и отдельными значениями признака. Для ряда целей важно изучать степень сплоченности всех отдельных значений признака вокруг его средней, степень разбросанности этих значений, степень их колеблемости.

Для этого в теории статистики используются показатели вариации.

7.2. Расчет основных показателей вариации

Рассмотрим так называемые абсолютныепоказатели вариации.

Простейшим из них является размах вариации(амплитуда колебаний).

Размах вариацииисчисляется как разница между максимальным и минимальным значениями признака в ряду распределения.

R = Xmax - X min. (7.2.1)

В нашем примере у 1-й бригады 5%, у 2-й бригады 30%.

Этот показатель имеет тот недостаток, что он характеризует отклонения только крайних значений и не отражает отклонений всех вариант в ряду, то есть учитывает только крайние значения ранжированного ряда и не связан с частотами. Поэтому нужен показатель, который опирался бы на все значения определенного признака в изучаемой совокупности.

Представим данные нашего примера графически (2-я бригада):

Каждое отдельное наблюдение на какую-то величину не совпадает со средней арифметической. Разность между конкретным отдельным значением признака и средней величиной называется отклонением от средней. Можем ли мы характеризовать колеблемость признака просто просуммировав эти отклонения? Не можем, так как сумма отклонений индивидуальных значений от средней равна 0. Однако мы можем взять эти отклонения по модулю, то есть без учета арифметического знака. В этом случае мы рассчитываемсреднее линейное отклонение.

-- --

  x_i - x    x_i - x  * f_i

Л = ------------------- ; Л = ---------------------- .

n  f_i (7.2.2)

Этот показатель также имеет недостаток, который заключается в том, что отклонение вариант от средней мы берем по модулю (то есть без учета знака). По этой причине среднее линейное отклонение не дает представления о степени рассеивания значений вокруг средней величины.

Таким образом, мы рассмотрели два показателя, которые характеризуют колеблемость признака, но оба они не лишены недостатков. По этой причине на практике большее применение имеет следующий показатель вариации – среднее квадратическое отклонение.

Меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (²), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат.

Дисперсия ²-- средний квадрат отклонений индивидуальных значений

признака от его средней величины.

-- --

 ( x_i - x ) ²  ( x_i - x ) ² * f_i

² = ------------------ ; ² = ---------------------- .

n  f_i

(7.2.3)

Корень квадратный из дисперсии представляет собой среднее квадратическое отклонение:___

 =  ² . (7.2.4)

Дисперсия (²) и среднее квадратическое отклонение () являются общепринятыми мерами вариации признака.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность.

В отличие от размаха вариации, среднего линейного отклонения и среднего квадратического отклонения дисперсия является величиной неименованной.

Средняя величина отражает тенденцию развития, то есть действие главных причин (факторов), среднее квадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков, например, вариация возраста рабочих и их квалификации, вариация стажа и заработной платы и т.д. В этом случае показатели линейного и квадратического отклонений не годятся, так как нельзя сравнивать, например, колеблемость стажа в годах и колеблемость заработной платы в рублях. Для осуществления такого рода сравнения статистика использует относительныепоказатели вариации.

Общий принцип построения относительного показателя вариации:

Абсолютный показатель вариации

V = ------------------------------------------------------------------- * 100% .

Средняя величина или величина, ее заменяющая

(например, медиана)

Соответственно коэффициент осцилляцииотражает колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

R

Ko = ------------ * 100 % .

-- (7.2.5)

x

Относительное линейное отклонение:

Л

Kл = ------------ * 100 %.

-- (7.2.6)

x

Коэффициент вариацииявляется наиболее распространенным показателем и используется для оценки типичности средних величин:



V = ------------ * 100 % .

-- (7.2.7)

x

Если Vбольше 0,4 (40%), то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

Пример. Сравним вариацию двух признаков:

	-- x		-- V =  / x * 100%
Заработная плата рабочих-сдельщиков, руб. в сутки	1500	150	10 %
% выполнения суточной нормы выработки	110	18	16,4 %

Вариация выполнения норм выработки выше, чем вариация заработной платы, хотя можно ожидать примерного их равенства. Возможно, это объясняется стремлением администрации уравнять заработки рабочих.