- •Глава 1. Предмет и метод статистики
- •Глава 1. Предмет и метод статистики
- •1.1. Предмет статистики
- •1.2. Основные понятия и категории статистики
- •1.3. Метод статистики
- •1.4. Задачи статистики
- •1.5. Организация статистики
- •Глава 2. Статистическое наблюдение
- •2.1. Общее понятие о статистическом наблюдении
- •2.2. Основные организационные формы статистического наблюдения
- •2.3. Виды статистических наблюдений
- •2.4. Способы статистического наблюдения
- •2.5. Программно-методологическое и организационное обеспечение статистического наблюдения
- •2.6. Ошибки наблюдения
- •Вопросы для самопроверки:
- •Глава 3. Сводка и группировка статистических материалов
- •3.1. Содержание и назначение сводки
- •3.2. Метод группировок
- •3.3. Расчет интервала группировок
- •3.4. Методологические требования к системам группировок
- •3.5. Графики рядов распределения
- •3.6. Статистические таблицы
- •Вопросы для самопроверки:
- •Глава 4. Абсолютные и относительные величины
- •4.1. Абсолютные величины
- •4.2. Относительные величины
- •4.3. Комплексное использование абсолютных и относительных величин
- •Вопросы для самопроверки:
- •Глава 5. Графическое изображение статистических данных
- •5.1. Понятие о статистическом графике. Элементы графика
- •5.2. Виды графиков и их классификация
- •Вопросы для самопроверки:
- •Глава 6. Средние величины.
- •6.1. Средние величины, их сущность и значение
- •6.2. Виды средних величин
- •6.3. Выбор формулы средней
- •6.4. Свойства средней арифметической
- •6.5. Мода, медиана
- •6.6. Межорантность средних
- •6.7. Соотношение средних в зависимости от характера распределения
- •Вопросы для самопроверки:
- •Глава 7. Показатели вариации
- •7.1. Общее понятие о вариации признака
- •7.2. Расчет основных показателей вариации
- •7.3. Расчет дисперсии, ее свойства
- •7.4. Дисперсия альтернативного качественного признака
- •Вопросы для самопроверки:
- •Глава 8. Ряды динамики
- •8.1. Динамические ряды как база исследования экономической динамики
- •8.2. Аналитические показатели динамического ряда
- •8.3. Сглаживание и выравнивание динамических рядов
- •8.4. Изучение сезонных колебаний
- •8.5. Экстраполяция и интерполяция в рядах динамики
- •Вопросы для самопроверки:
- •Глава 9. Индексы
- •9.1. Общее понятие об индексах
- •9.2. Сводные индексы в агрегатной форме
- •9.3. Сводные индексы в средней арифметической и средней гармонической формах
- •9.4. Системы индексов
- •9.5. Индексный метод анализа динамики среднего уровня качественного показателя
- •Вопросы для самопроверки:
6.2. Виды средних величин
В статистике применяются различные виды средних величин, которые выводятся из формулы степенной средней:
___________
-- z X z
X = ----------------
n (6.2.1)
при z= -1средняя гармоническая;
z= 0средняя геометрическая;
z= 1средняя арифметическая;
z= 2средняя квадратическая.
Наиболее простой и распространенной является средняя арифметическая. Она бываетпростая и взвешенная.
Средняя арифметическая простаявычисляется в тех случаях, когда каждое отдельное значение признака встречается один раз.
В общем виде формулу простой арифметической средней можно записать так:
-- x1 + x2 + x3 + … + xn xi
X арифм. = --------------------------------------- = ---------- .
n n (6.2.2)
Пример:
№ рабочего |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Заработная плата, руб. |
4000 |
5000 |
6000 |
3000 |
5500 |
3500 |
-- 4000 + 5000 + 6000 + 3000 + 5500 + 3500 27000
X арифм. = ----------------------------------------------------- = --------- = 4500 руб.
6 6
Когда значения признака (варианты) встречаются по нескольку раз, применяется средняя арифметическая взвешенная.
-- x1* f1 + x2* f2 + x3 * f3 + … + xn * fn xi * fi
X арифм.взвеш = ----------------------------------------------------- = ---------- .
f1 + f2 + f3 + … + fn fi
(6.2.3)
Пример:
Заработная плата, руб. xi |
Число рабочих, чел. fi |
3000 |
1 |
4000 |
2 |
5000 |
3 |
6000 |
2 |
-- 1*3000+2*4000+3*5000+2*6000 38000
X арифм.взвеш.= ------------------------------------------- = ---------- = 4750 руб.
1 + 2 + 3 + 2 8
В интервальном вариационном ряду за значение варьирующего признака принимается центр (середина) интервала. Среднее значение интервала находят как полусумму верхней и нижней границ. Если интервал открытый («до…», «свыше…»), то величиной первого интервала считают величину последующего интервала, а величиной последнего -- величину предыдущего. При этом мы исходим из предложения о равномерности распределения вариант внутри интервалов.
Пример:
Заработная плата, руб. xi |
Середина интервала, xi |
Число рабочих, чел. fi |
до 3000 |
2000 |
1 |
3000 - 5000 |
4000 |
2 |
5000 - 10000 |
7500 |
2 |
свыше 10000 |
12500 |
3 |
-- 1*2000+2*4000+2*7500+3*12500 62500
X арифм.взвеш=--------------------------------------------- = ---------- = 7812,5 руб.
1 + 2 + 2 + 3 8
Естественно, что средняя, рассчитанная по интервальному ряду, будет иметь погрешности от действительной величины. Эта погрешность зависит:
от числа случаев: чем их больше, тем меньше середина интервала будет отличаться от групповой средней;
величины интервала: если верхняя граница не очень далеко отстоит от нижней, то и ошибка будет незначительна;
характера распределения: чем более симметрично распределение, тем меньше ошибка;
принципа построения интервального ряда: при равных интервалах центр его будет ближе примыкать к средней арифметической по данной группе.
Средняя гармоническая.
-- xi * fi Mi
X гарм. = -------------- = ---------------- .
xi * fi 1
--------- ---- * Mi (6.2.4)
xixi
Пример:
Заработная плата, руб. xi |
Фонд заработной платы, руб. xi * fi |
3000 |
6000 |
4000 |
8000 |
5000 |
15000 |
6000 |
18000 |
-- 6000 + 8000 + 15000 + 18000 47000
X гарм. = ------------------------------------------------- = ---------- = 4700 руб.
6000 8000 15000 18000 10
------ + ------ + ---------- + ---------
3000 4000 5000 6000
Средняя геометрическая.
_____
-- n
X геом. = ПК (см. тему «Ряды динамики»).(6.2.5)
Средняя квадратическая.
________________
__
-- ( xi - x )2 * fi
X квадр.= ----------------------- (см. тему «Показатели вариации»).
fi
(6.2.6)
Средняя хронологическая.
Если числовые значения признака (варианты) известны на определенные периоды времени – моменты (cреднегодовая стоимость основных фондов, среднесписочная численность персонала и т.д.), то
-- 1/2*x1 + x2 + x3 + … + 1/2*xn
X хронол. = ----------------------------------------------- .
n – 1 (6.2.7)
При расчете средних величин появилось понятие “вес”. Всегда ли понятиявесаичастотысовпадают? В предыдущих примерах совпадало. Рассмотрим такой экономический показатель, как уровень рентабельности:
-- Балансовая прибыль
R общая = -------------------------------------------------------------------------------- .
Основные фонды + Нормируемые оборотные средства
В качестве веса будет выступать стоимость основных производственных фондов и нормируемых оборотных средств, то есть понятие весаичастотыне всегда совпадают.
На практике из массы признаков необходимо выбрать один, который следует использовать в качестве веса. Выбор веса не следует понимать так, что всякий раз может быть несколько вариантов взвешивания. Вопрос должен быть решен таким образом, чтобы в результате взвешивания был бы обеспечен возврат к тем величинам, которые играли роль числителя при исчислении средней величины. Следовательно, при взвешивании средних величин в качестве весов должен быть взят знаменатель дроби, ибо только при умножении на то, на что раньше делили, мы вернемся к первоначальной величине.