Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

что учебное пособие построено на анализе школьных учебников математики того периода – анализируются в сравнении порядок изложения

материала, способы введения понятий и имеющиеся типы задач.

В частности, рассматривается учебник геометрии А.П. Киселева [137].

Задач, связанных с применением изученного материала на практике, в этом школьном учебнике почти нет.

И в пособии В.М. Брадиса, и в пособии под редакцией С.Е. Ляпина нет достаточных материалов для выстраивания учителем собственной методики обучения приложениям школьной математике: задачи не систематизированы, их роль в обучении ограничена демонстрацией применения изученного. Неоднократно подчеркивается значимость приложений математики в политехническом обучении. Этот факт свидетельствует о том, что, как и в предыдущий период, сохраняется профессиональная ориентация в обучении практическим приложениям математики.

Как пишет Ю.М. Колягин, в соответствии с требованиями времени в 1958 г. вышла новая программа по математике для средней школы.

В программе был записан определяющий принцип – «связь обучения с жизнью и трудом, существенное усиление политехнической направленности обучения математике» [147, с.89]. В преподавании математики рекомендовалось уделять внимание развитию счетно-

конструктивных навыков, умению пользоваться измерительными инструментами для выполнения практических работ на местности,

логарифмической линейкой. Так, в учебнике Н.Н. Никитина [212]

предлагается изучить принципы работы около десятка разнообразных геодезических приборов. Подробно разбирается устройство экера,

астролябии, рейсмаса, малки. Названия этих приборов незнакомы современным школьникам. В этом же учебнике предлагается выполнить ряд практических работ. Например, требовалось «определить в окружающей обстановке высоту какого-нибудь предмета, к основанию

71

которого подойти нельзя» [212, с.188], детально изучался одни из методов съемки плана земельного участка «с помощью астролябии путем обхода по контуру» [212, с.189].

Такая избыточность изучения элементов геодезии, по нашему мнению, также была продиктована необходимостью ранней профессиональной ориентацией школьников. Следует отметить, что не во всех учебниках геометрии обнаруживается такое подробное изучение устройства приборов для съемки местности. Большинство пособий по математике для школьников все же ориентировано на теоретическую подготовку. Практические приложения математики по-прежнему выполняют иллюстративную роль.

Продолжая анализ учебных пособий для студентов педагогических вузов, отметим, что в последующем издании «Методики преподавания математики» под редакцией С.Е. Ляпина [196] вопросу проведения геодезических работ при обучении геометрии посвящен отдельный параграф. При изложении целей обучения геометрии авторы (С.А. Гастева,

Б.И. Крельштейн, С.Е. Ляпин, М.М. Шидловская) пишут: «Геометрические знания… должны помочь ученикам решать задачи производственного характера, узнавать геометрические фигуры в какой-либо реальной конструкции, быстро ориентироваться в чертежах, изображающих конкретные детали механизмов, … и т.п. Обучение геометрии – важная часть политехнического обучения» [196, с. 472]. Этот пример также показывает попытки сделать обучение математике, и геометрии,

в частности, профессионально ориентированным уже в школе. Эти положения нашли отражение и в содержании школьных задач:

 Вариометр (прибор, употребляемый в радиотехнике для настройки колебательных контуров) состоит из двух цилиндрических катушек – неподвижной внешней (статор) и подвижной внутренней

(ротор), насаженных на общую ось, перпендикулярную их образующим.

Требуется, зная внешний диаметр ротора и внутренний диаметр

72

статора, найти, при каких значениях своей ширины (т.е. при каких значениях длины своей образующей) ротор будет свободно вращаться.

[136, с. 14]

Однако, как и в 20-е годы ХХ столетия, когда совершались попытки объединения школы и производства в трудовых школах, снова, как указывает Ю.М. Колягин, повторился отрицательный результат. Он пишет: «… «шпиндельная математика», естественно, в школе не прижилась; весь политехнизм оказался на уровне деклараций» [147, с.172]. Наш анализ сборников задач того времени показывает, что прикладные задачи носили узкопрофессиональный характер, их фабула зачастую была сложна для восприятия школьнику, да и учителю из-за использования в ней специальной терминологии (см. предыдущий пример). Таким образом,

целевая установка на подготовку школьников к практической работе определила тенденцию к снижению уровня математических знаний.

Во второй половине 60-х годов школьное математическое образование в нашей стране претерпело значительную перестройку. Под руководством известных математиков и педагогов А.И. Маркушевича и А.Н. Колмогорова была образована комиссия по определению содержания среднего математического образования, которая в 1968 г. подготовила и издала новую программу по математике для средней школы [147, с.173].

Одной из важных особенностей этой программы стало создание новой для нашей школы формы обучения – факультативных занятий. На таких занятиях предполагается углубление и расширение программного материала, а также изучение дополнительных тем, важных с образовательной точки зрения и раскрывающих практические приложения математики.

Так, например, в пособии под редакцией В.В. Фирсова [127]

рассматривается вопрос о приложениях сферической геометрии к навигации, картографии и геодезии. Кроме подробного разбора теории,

решаются следующие задачи прикладного характера:

73

 Известны географические координаты – широта и долгота пунктов А и В земной поверхности: А, А и В, В. Требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами А и В вдоль земной поверхности

(радиус Земли считается известным: R=6371 км).

 Вычислить начальный курс корабля при движении по ортодромии из пункта А в В, если известны географические координаты этих точек

А, А и В, В.

 Найдите расстояние при движении ледокола от пункта А (70°, 30°) до пункта В (70°, –170°) при движении: а) по локсодромии; б) по

ортодромии.

Таким образом, учащиеся получают возможность познакомиться не с отдельными иллюстративными примерами приложений математики,

а изучить фрагмент математической теории и исследовать ее приложения к определенной области. При таком подходе, по нашему мнению, уже возможно утверждать, что школьники действительно изучают практические приложения математики. Однако на этом этапе прикладные задачи решаются интуитивно, без использования метода математического моделирования, без предварительного знакомства с понятием модели.

Кроме того, обучение на факультативных занятиях не является обязательным для всех учащихся. Поэтому, знакомство с приложениями

математики доступно не всем учащимся.

По свидетельству Ю.М. Колягина, переход массовой школы на новую систему обучения математике был связан с рядом трудностей. Так,

например, методической основой новых учебников по геометрии под редакцией А.Н. Колмогорова [145] стал теоретико-множественный подход, отличающийся повышенной степенью абстракции. Анализируя этот учебник, заключим, что на освоение теоретического материала теперь требовалось большее время. Количество задач прикладного содержания было минимальным. Их тематикой по-прежнему оставалась геодезия

(измерения на местности), техника. Причем в задачах использовалась

74

специальная терминология этих областей знаний с необходимыми пояснениями. Например, в учебнике имеются задачи на вычисление азимутов направлений, румбов, рассматривается устройство измерительного прибора, позволяющего определять величину зазора между стенками детали, пропорционального циркуля, масштабной линейки. Есть отдельный пункт «Измерительные работы» в теме

«Некоторые применения подобия и формул тригонометрии», в котором рассмотрены всего две задачи: измерение высоты предмета и измерение расстояния до недоступной точки [145, с. 298]. Рассматриваются межпредметные связи геометрии и физики. Но этот материал невелик и не является обязательным для изучения. Таким образом, изучение практических приложений математики снова нельзя назвать систематизированным и последовательным. Прикладной материал по-

прежнему только иллюстрирует изучаемую теорию.

Несмотря на сохранение отдельных традиционных подходов в целом такие изменения получили отрицательную оценку некоторых профессиональных математиков, преподавателей вузов и школ. Вот что писал по этому поводу российский математик, академик АН СССР Л.С.

Понтрягин в широко обсуждавшейся в то время статье, опубликованной в журнале «Коммунист»: «Теоретико-множественный подход – лишь удобный для математиков-профессионалов язык научных исследований.

Действительная же тенденция развития математики заключается в ее движении к конкретным задачам, к практике. … С большой досадой приходится констатировать, что вместо того, чтобы прививать учащимся практические умения и навыки в использовании обретаемых знаний, учителя подавляющую часть учебного времени тратят на разъяснение смысла вводимых отвлеченных понятий, трудных для восприятия в силу своей абстрактной постановки, никак не «стыкующихся» с собственным опытом детей и подростков, не способствующих развитию их математического мышления и, главное, ни для кого не нужных» [252, с. 100].

75

Однако, вслед за Н.Я. Виленкиным [218, с. 73], нельзя не отметить положительную сторону произошедших изменений. Школьная математика

(и геометрия, в частности) приобрела бóльшую строгость и фундаментальность. Из прикладной математики в школьную практику было перенесено понятие математического моделирования. Об этом свидетельствует, например, статья С.Л. Соболева в журнале «Математика в школе», где он писал следующее: «Практическая направленность курса математики в наше время означает прежде всего то, что учащихся надо познакомить с соотношениями между явлениями реального или проектируемого мира и его математическими моделями. Школьников надо практически научить строить математические модели для встречающихся жизненных ситуаций» [299, с. 26]. В.И. Арнольд отмечал, что умение составлять адекватные модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов, сколько математический подход к явлениям реального мира [13].

Предпосылкой к внедрению в обучение метода математического моделирования, по нашему мнению, стало и произошедшее в этот же период расширение содержания предметов математического цикла.

Введены новые разделы, направленные на изучение теории вероятностей,

векторного исчисления и координатного метода. Однако в широко распространенном в те годы учебнике по методике преподавания математики [192, 193.] для студентов педвузов отдельного параграфа о математическом моделировании или о методике обучения решению задач прикладного характера нет. Этот факт мы считаем одной из причин несостоявшегося перехода в практику преподавания достижений методической науки в этой области.

В дальнейшем, как указывает Ю.М. Колягин, в 1985 году была принята программа, в которой были учтены недостатки ее предшественницы, отказавшись от чрезмерной строгости в изложении

76

материала и обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса математики. В тоже время декларировалась необходимость усилить прикладное содержание математики в школе,

сделать его менее абстрактным и формализованным [147].

Такие изменения были вызваны требованиями, предусмотренными реформой средней общеобразовательной и профессиональной школы

(1984). Среди главных задач этой реформы в области обучения математике была названа ориентация на усиление мировоззренческой, прикладной и практической направленности курса математики, его воспитывающего воздействия. Под этим понималось формирование у школьников устойчивого интереса к предмету и его приложениям, создание правильных представлений о неразрывной связи математики с практикой,

о роли математических методов в решении народно-хозяйственных задач и т.п. [147].

Как показал наш анализ, такие задачи ставились перед школой и ранее, но теперь предполагалось, что методика их решения в практике обучения будет лишена недостатков, имевших место ранее. В этот период в курс школьной геометрии включались задачи не только производственного или сельскохозяйственного содержания, но и задачи из области экономики, истории и других сфер человеческой деятельности.

Принцип политехнизма, «уступил» место более естественной «прикладной направленности обучения математике», став ее составляющей. Термин

«прикладной» был заимствован из терминологического тезауруса математической науки и в рамках теории и методики обучения математике получил иное толкование.

Назовем рассмотренный период развития прикладной составляющей школьного математического образования периодом политехнизма, а

следующий за ним – периодом прикладной направленности. Понятие прикладной направленности обучения математике, введенного в научно-

методическую литературу в 1974 году В.В. Фирсовым, определялось им

77

следующим образом: «существо прикладной направленности среднего математического образования заключается в осуществлении целенаправленной содержательной и методической связи школьного курса математики с практикой, что предполагает введение в школьную математику специфических моментов, характерных для исследования прикладных проблем математическими методами» [330].

Прикладная направленность обучения математике была выделена В.В. Фирсовым в одну из содержательно-дидактических линий, тесно свя-

занную с другими линиями (функциональной, числовой и пр.) школьного курса. Она должна быть реализована не только в изучении разделов при-

кладного характера (элементов теории вероятности, математической логи-

ки и т.д.), решении прикладных задач межпредметного характера, но, пре-

жде всего, в формировании у школьников конкретных, осознанных пред-

ставлений о значении математики как науки в различных областях дейст-

вительности.

Приведем несколько наиболее известных взглядов на проблему осуществления прикладной направленности преподавания математики в школе, появившихся в последние десятилетия ХХ века.

Ю.М. Колягин и В.В. Пикан считают, что «Прикладная направленность обучения математике состоит в ориентации содержания и методов обучения на применение математики в технике и смежных науках,

в профессиональной деятельности, в сельском хозяйстве и в быту» [148,

с. 27]. При этом они различают еще и «практическую направленность обучения математике – направленность содержания и методов обучения на решение задач и упражнений, на формирование у школьников навыков самостоятельной деятельности математического характера» [148, с. 27].

Н.А. Терешин под прикладной направленностью школьного курса математики понимает направленность содержания и методов обучения на применение математики для решения задач, возникающих вне математики,

что в целом согласуется с взглядами предыдущих авторов [311, с. 6].

78

Однако Г.В. Дорофеев считает, что термин «прикладной» в рамках математики в школе необходимо понимать иначе, чем это принято в науке. «Если определенный математический аппарат применяется для достижения некоторых конкретных целей, стоящих перед учащимися, то уже можно считать, что этот аппарат имеет для них прикладное значение,

т.е. приносит им вполне практическую пользу» [94]. Под прикладной направленностью тогда понимается обучение применению математического аппарата, как в самом курсе математики, так и в других дисциплинах с использованием методов и приемов, характерных для деятельности в области применения математики.

Наряду с появлением значительного числа диссертационных работ

(И.А. Рейнгарда, Г.В. Серкутьева, И.А. Скосырской, А.Ф. Юникова, С.С.

Варданяна, А. Ахлимерзаева, Ахмед Омар Бин-Шахна, В.Ф. Любичевой,

М. Раемова, А.А. Канекяна, Н.В. Клапановой, И. Бекбоева, А.А. Панкрато-

ва, А.С. Сергеевой и др.), посвященных прикладной направленности обу-

чения школьной математике, в конце восьмидесятых годов известными методистами опубликованы книги для учителя по этой тематике.

В монографии Р.К. Таварткиладзе, Н.Я. Виленкина [218] рассматри-

ваются ряд принципов обучения математике, среди которых в качестве ве-

дущего указывают принцип связи обучения с практикой. Подробно разби-

рая реализацию этого принципа, авторы указывают на пути использования практических задач в обучении математики в школе – для мотивации вве-

дения понятий, для демонстрации дальнейших приложений этого понятия.

Приводится конкретный пример роли практических задач в формировании понятия функции. Сам термин «практическая задача» в работе специально не определяется. В качестве синонима к нему используются «реальная за-

дача», «прикладная математическая задача», «текстовая задача».

Следует отметить важный для нашего исследования факт: в исследо-

вании в неявном виде предъявлены требования к рассматриваемому типу задач. Среди них, например, такой: «Посредством решения практических

79

задач прививается вкус как к отвлеченному мышлению, так и к тождест-

венным преобразованиям» [218, c. 155] или «Желательны задачи, метод решения которых не предопределен заранее помещением их в соответст-

вующий раздел…» [218, с. 152]. Большинство таких требований носит ча-

стно-методический характер и не позволяет перенести их на все задачи та-

кого типа.

В книге для учителя «Прикладная направленность школьного курса математики» Н.А. Терешин [311] рассматривает понятия прикладной зада-

чи, модели и моделирования. Приведенные автором примеры осуществле-

ния прикладной направленности математики в школе касаются курса ал-

гебры основной школы или алгебры и начал анализа старшей школы.

Примеров из курса геометрии практически нет.

И.М. Шапиро в книге для учителя «Использование задач с практиче-

ским содержанием в преподавании математики» [346] приводит свое по-

нимание данного типа задач. Автором сформулированы три требования к таким задачам, состоящие в познавательной ценности, реальности и дос-

тупности используемого в них нематематического материала. Для нашего исследования представляют интерес, выделенные в этом пособии, пути ис-

пользования практических задач: мотивировка введения понятий, иллюст-

рация учебного материала, закрепление и углубление знаний. Эти пути описаны наиболее полно, имеются соответствующие примеры.

Вопрос о прикладной направленности обучения математике нашел отражение и в учебных пособиях для студентов этого временного периода.

Так, в книге «Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика» этому вопросу отведена отдельная глава «Прикладная направленность алгебры и начал анализа» [193], написанная Н.А.

Терешиным. Здесь автор уделяет специальное внимание методам решения задач с помощью ЭВМ, понятию алгоритма и методике использования алгоритмов в решении задач различных типов. На форзаце этого пособия помещены функции прикладной направленности преподавания математики

80