Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя
.pdf
Немного изменим фабулу последней задачи:
Для приготовления порции домашней лапши по рецепту необхо-
димо взять 100 мл воды. Имеется стакан цилиндрической формы объемом
200 мл. Можно ли с его помощью отмерить нужное количество жидко-
сти?
В этом случае надо наклонить стакан так, чтобы оставшаяся в нѐм жидкость закрыла всѐ дно (рис. 9). Тогда жидкость займет ровно половину объема стакана. Теперь мы указали вполне реальную ситуацию, в которой может быть применен описанный способ.
Рис. 9
II.4. Задачи на приложения вместе с задачами, широко приме-
няемыми в преподавании математики, образовывают единое целое.
При раскрытии этого важного требования нельзя ограничиться не-
сколькими примерами, т.к. оно связано с механизмами включения задач на приложения в общую систему обучения математике в школе. В методиче-
ской литературе выделены три основных направления использования задач на приложения на уроке математики: 1) задачи или практические задания для введения новых понятий и теорем; 2) несложные задачи для первичного закрепления введенных понятий и теорем; 3) более сложные задачи для включения понятия в систему известных фактов. Такие задачи решаются учащимися в классе и дома с целью дальнейшего закрепления изученного материала, формирования математических умений. Задачи последней груп-
пы также могут быть включены в различные итоговые и проверочные рабо-
ты. Во внеурочное время задачи прикладного характера включались в со-
держание факультативных, кружковых занятий по математике [21], [127]. 171
На современном этапе в связи с принятием Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования (2002 г), ФГОС основ-
ного общего образования (2010 г.), ФГОС среднего (полного) общего обра-
зования (2012 г.) требуется обоснование и выявление новых механизмов использования задач на приложения в преподавании математики. Это про-
диктовано тем, что прикладные аспекты должны сыграть особую роль как в предпрофильной подготовке, нацеливающей учащихся на выбор профиля обучения, так и в дальнейшем, при непосредственном обучении по вы-
бранному профилю. Этот вопрос требует специальных методических ис-
следований.
В настоящее время предлагается включать контекстные задачи в со-
держание обучения. Они поставлены в форме наиболее близкой к той,
в которой такие задачи имеют место в реальности или в соответствующей области знаний. Конечно, для их решения на уроке требуется значительное время, которое не всегда возможно выделить. Однако, появившиеся в на-
стоящее время разнообразные формы внеклассной работы (проектная и ис-
следовательская деятельность, элективные курсы и курсы по выбору) по-
зволяют решить эту проблему.
Итак, перечень требований к фабуле и к математическому содер-
жанию задач на приложения позволяет отбирать задачи этого типа из раз-
личных источников, переформулировать их согласно заданным требова-
ния, а также дополняет понятие задачи на приложения, предложенное на-
ми в п.2.2.1. Эти требования составляют элемент содержания методиче-
ской подготовки учителя к практико-ориентированному обучению матема-
тике в школе и позволяют создать у студентов представление о задачах этого типа. Представленные далее функции таких задач в методической подготовке учителя служат для формирования представлений о путях ис-
пользования практических приложений математики в учебном процессе.
172
2.2.3. Функции задач, обеспечивающих практико-ориентированное обучение математике в школе
Как известно, на школьные учебные математические задачи возло-
жены многие обучающие, развивающие и воспитательные функции. Пере-
числим ряд функций, которые выделяет Ю.М. Колягин:
1. «Формирование у учащихся некоторого понятия (на уровне пред-
ставлений о нем, на уровне его усвоения и на уровне закрепления)». [146,
с. 104]
2.«Возбуждение и поддержание интереса к предмету». [146, с. 105]
3.«Воспитание положительного отношения школьника к учебной деятельности, развитие к учебе, любознательности». [146, с. 106]
Перечисленные функции выполняют и задачи на приложения. Кроме того, исследователи [239, 311, 333 и др.] выделяют и специфические функ-
ции таких задач, например:
–установление связи между реальным миром предметов и явлений и математикой;
–ознакомление учащихся с основами метода математического модели-
рования;
– формирование математической грамотности, мировоззрения и миро-
понимания школьников.
В методической подготовке учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе нами предполагается формирование умения выделять функции задач на приложения, подбирать для использования в учебном процессе задачи, выполняющими заданные функции. Формиро-
вание этого умения возможно при выполнении студентами заданий по подбору задач на приложения согласно указанной функции. Проиллюст-
рируем это на примере подбора задач на приложения для: запоминания теоретических фактов; формирования навыков исследовательской дея-
тельности; усиления мотивации к обучению; формирования мировоззре-
ния.
173
1. Запоминание теоретических фактов.
Задачи на приложения не только показывают пути применения зна-
ний, полученных при изучении теоретического материала, они позволяют удерживать в сознании необходимые теоретические факты. При решении таких задач учащиеся имеют возможность убедиться в том, что для объяс-
нения явлений природы, разрешения проблем, возникающих в профессио-
нальной деятельности и в быту, могут быть применены известные матема-
тические факты. Например, признак равенства треугольников (по трем сто-
ронам) связан с понятием жесткости треугольника, которое, в свою очередь,
может быть использовано при ответе на такой практический вопрос:
Объясните, почему при постройке ферм мостов, опор линий электропередач используют систему треугольников?
Отвечая на этот вопрос, учащиеся рассуждают примерно так: основ-
ным требованием, предъявляемым к таким постройкам, является неизмен-
ность формы конструкции. Балки таких сооружений, как правило, сталь-
ные и сами по себе почти не поддаются ни заметному растяжению, ни со-
кращению длины (сжатию). Под действием внешней силы (например, по-
годных явлений) возможно лишь изменение их взаимного наклонения. Но с тремя сторонами заданной длины может существовать только один тре-
угольник, так как все треугольники с соответственно равными сторонами равны между собой. Поэтому при неизменной длине балок, скрепленных в форме треугольника (хотя бы даже только шарнирами), углы, составлен-
ные ими, должны также оставаться неизменными. Среди всех n-
угольников, составленных из стержней, только треугольники являются
жесткими фигурами.
2. Формирование навыков исследовательской деятельности.
Исследовательская деятельность, по мнению В.А. Гусева, является частью творческой, «продуктом которой являются новые знания (либо но-
вое знание о самом исследуемом объекте, либо новые знания о конкретном или специфическом методе исследования)» [88, c. 67]. Под учебно-
174
исследовательской деятельностью учащихся В.А. Далингер понимает учебную деятельность по приобретению практических и теоретических знаний с преимущественно самостоятельным применением научных мето-
дов познания, что является условием и средством развития у обучающихся творческих исследовательских умений [90]. Ученик, способный к исследо-
вательской деятельности должен не только обладать математическими знаниями, но и уметь действовать самостоятельно, нешаблонно, использо-
вать накопленные теоретические сведения и практический опыт, критиче-
ски осмысливать полученные результаты. Решение задач, связанных с при-
ложениями математики, способствует формированию навыков исследо-
вательской деятельности.
Учебная исследовательская деятельность предполагает наличие сле-
дующих основных этапов: 1. Постановка проблемы. 2. Изучение соответ-
ствующей теории, сбор материала по проблеме исследования.
3.Выдвижение гипотезы и подбор методов проведения исследования.
4.Анализ и обобщение собранного материала, выводы. 5. Представление результатов исследования [129].
Вкачестве иллюстрации возможности формирования навыков ис-
следовательской деятельности с помощью задач на приложения приведем задачу из книги А.И. Островского [224]. Эта задача может быть составной частью учебного исследования, связанного с изучением основ начерта-
тельной геометрии.
В одной книге помещен рисунок (рис. 10), на котором изображе-
ны два вертикальных столба и их тени на горизонтальную плоскость.
По этим данным требуется найти положение источника света (лампоч-
ки, фонаря) и его «основания» (т.е. проекции источника света на гори-
зонтальную плоскость).
Решите эту задачу и ответьте на дополнительные вопросы
175
Рис. 10
1.Существенно ли, что столбы вертикальны?
2.Существенно ли, что плоскость, на которую падают тени гори-
зонтальна?
3. Все ли приведенные на рисунке данные являются необходимыми?
Исследовательская деятельность учащихся при решении такой зада-
чи состоит поиске связи между физическим явлением и его математиче-
ской интерпретацией; выявлении свойств понятий, отношений между ни-
ми. Учитель может направить исследование учащихся по следующему пу-
ти. Формулировка задачи связана с реальной ситуацией, понимание кото-
рой требует от учащихся знания закона о прямолинейности распростране-
ния световых лучей. Этот физический закон позволяет уяснить причину образования тени. Тени отбрасывают все непрозрачные тела, расположен-
ные на пути лучей света. Лучи же, скользящие по контуру предмета, обри-
совывают его тень. Следовательно, глядя на рисунок, справедливо предпо-
ложить, что световой луч, идущий от источника света, положение которого необходимо определить, соединяет верхнюю точку столба и крайнюю точ-
ку тени. Итак, нам известно положение двух световых лучей, исходящих от источника. Т.к. оба столба освещены одним источником света, то он может находиться только на пересечении прямых, содержащих эти свето-
вые лучи.
Таким образом, для того, чтобы найти положение источника света необходимо к двум перпендикулярам и их проекциям на горизонтальную плоскость построить две наклонные и найти точку пересечения этих на-
клонных, которая и будет являться искомым источником света.
176
Поиск ответа на дополнительные вопросы связан со способностью представлять описанную ситуацию в новых преобразованных условиях,
анализировать данные, делать выводы. В качестве одного из этапов поиска решения задачи целесообразно предложить учащимся проделать экспери-
мент по созданию реальной модели данной ситуации (например, используя плоскость стола, два закрепленных вертикально карандаша и настольную лампу). Приведем решение этой задачи, для обоснования которого исполь-
зованы как математические, так и физические факты.
Решение. Обозначим АВ и СD – столбы, освещенные источником света, МВ и ND – их тени на горизонтальной плоскости α. Необходимо по-
строить точку S – источник света и точку К – его проекцию на плоскость α.
Для удобства элементы, которые даны в условии задачи, на чертеже будем обозначать сплошными линиями, остальные – пунктирными.
Из условия имеем:
Дано: 1. Горизонтальная плоскость α. 2. АВ α. 3. СD α.
4. МВ лежит в плоскости α. 5. ND лежит в плоскости α.
Построить: 6. S, К.
Анализ. Из условия известно, что имеется единственный источник света. Два световых луча от этого источника проходят через точки А, М и С, N. Следовательно, для того, чтобы найти положение источника света,
достаточно построить точку S пересечения прямых АМ и СN. Проекцией точки S на горизонтальную плоскость α будет точка, полученная в резуль-
тате пересечения прямых МВ и ND, точка К.
Построение (рис. 11).
7. АМ ∩ СN = S; 8. МВ ∩ ND = К
Доказательство.
9. S – источник света согласно закону о прямолинейности распро-
странения световых лучей. Докажем, что К – проекция точки S на плос-
кость α, т.е. необходимо доказать, что SК α
177
S
А
С
ВК
|
D |
α |
N |
|
Рис. 11
10.Точки М, А, В образуют вертикальную плоскость β, β α (аксиома плоскости, 1, 2).
11.Точки С, N, D образуют вертикальную плоскость γ, γ α (аксиома плоскости, 1, 3).
12.SК β (10, 7, 8).
13.SК γ (11, 7, 8).
14. β∩ γ=SК (12, 13).
15. SК α (10, 11, 14, теорема: Если две плоскости, перпендикуляр-
ные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпен-
дикулярна третьей плоскости).
Ответы на дополнительные вопросы требуют анализа и обобщения исследовательской работы:
1. Для нахождения положения самого источника света реальное на-
правление столбов не имеет никакого значения. Изменение направления столбов, т.е. их отклонение от вертикали, возможно при изменении поло-
жения точек А и С или точек В и D. Очевидно, что при этом способ по-
строения точки S останется прежним.
Для нахождения же положения основания источника света нужно быть уверенным в том, что столбы вертикальны. Если это не так, то плос-
кости β и γ не будут являться вертикальными, а значит и прямая их пересе-
178
чения не будет перпендикулярна горизонтальной плоскости α. Таким обра-
зом, основание перпендикуляра, опущенного из точки S на плоскость α по-
строить указанным нами способом нельзя. Для подбора другого способа построения нужны дополнительные данные. Необходимо знать положения оснований перпендикуляров, опущенных из вершин столбов на горизон-
тальную плоскость, далее нужно построить «тени» этих перпендикуляров и воспользоваться уже известным способом для нахождения «основания» источника света.
2. Аналогичен ответ на второй вопрос: для нахождения положения самого источника света расположение плоскости, на которую падают тени, не имеет никакого значения; для нахождения же положения основания источника света существенно, что тени вертикальных столбов отброшены на горизонтальную плоскость.
3.Если, как принято в основном условии, столбы вертикальны, а тени падают на горизонтальную поверхность, то для решения задачи достаточно задать на рисунке один столб с падающей от него тенью и только направление тени второго столба. По этим данным сначала находим «основание» источника света, а затем сам источник (рис. 12).
S
К
Рис. 12
Если на рисунке будут даны один столб с падающей от него тенью и тень второго вертикального столба, то по этим данным можно найти не только положение источника света и его «основание», но и высоту второго столба (рис. 13).
179
S
К
Рис. 13
Если же задать лишь направления двух теней, то по этим данным легко найти положение «основания» источника света, но и только. Поло-
жение самого источника мы не сумеем найти даже в том случае, если нам будут известны обе тени (но ни одного столба).
Таким образом, при решении этой задачи учащиеся под руково-
дством учителя или самостоятельно выполняют (явно или неявно) сле-
дующие учебные действия, связанные с проведением исследования: анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу; экспериментиро-
вание; систематизация и анализ полученного фактического материала;
выдвижение гипотезы; подтверждение или опровержение гипотез; дока-
зательство гипотез [90].
Теоретической основой для решения последней задачи является курс начертательной геометрии, изучаемый в высших учебных заведениях. Од-
нако отдельные задачи этого курса могут быть интересны и понятны школьникам.
3. Усиление мотивации к обучению.
Мотивационная функция задач на приложения математики исследо-
вана достаточно глубоко. Известно, что такие задачи повышают интерес учащихся к самому предмету математики, т.к. для большинства учащихся ценность математического образования состоит в возможности ее практи-
180