Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

По нашему мнению, на пути достижения поставленных в этом доку-

менте результатов обучения математике имеется ряд объективных трудно-

стей, которые выявлены нами путем исторического анализа развития школьного математического образования в отношении его прикладной со-

ставляющей. Так, подбор приложений, которые показали бы существен-

ную роль математики в исследовании реальности, в решении известных проблем естествознания затруднен в связи с тем, что для их понимания знания элементарной математики очень часто недостаточно. Возможность выбора содержания прикладных задач ограничена рамками содержания школьного курса математики и других дисциплин, изучаемых в школе.

Кроме того, простым добавлением прикладных разделов или задач к со-

держанию школьного курса ограничиться нельзя. Требуются методики обучения практическим приложениям математики, отвечающие современ-

ной образовательной парадигме.

Начало 90-х годов прошлого века считают точкой отсчета современ-

ной эпохи школьного математического образования. На протяжении уже двух десятилетий происходят существенные обновления как в содержании школьного курса математики, так и в методике ее преподавания. В на-

стоящее время система отечественного образования претерпевает сущест-

венную модернизацию [254]. Вводимые новшества предполагают не толь-

ко структурные, организационные и содержательные изменения, но и сме-

ну образовательной парадигмы. Выделим положения, которые касаются прикладной составляющей математики в школе в образовательных стан-

дартах общего образования и примерных программах. Это позволит опре-

делить для нашего исследования тенденции развития практико-

ориентированного обучения математике в школе и выявить имеющиеся проблемы в этом направлении.

В Федеральном компоненте государственного стандарта общего образования первого поколения в числе основных направлений модернизации указано на необходимость формирования готовности

91

учащихся «использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач» [277, с.23]. Для изучения математики на ступени основного общего образования указанное направление модернизации конкретизируется в виде следующих целей:

«– овладение системой математических знаний и умений,

необходимых для применения в практической деятельности, изучения

смежных дисциплин, продолжения образования; ...

–формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

–формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для научно-технического прогресса» [277, с.13].

На ступени среднего (полного) общего математического образования эти цели остаются неизменными. Проанализируем, как поставленные цели отражены в требованиях к уровню подготовки учеников на ступенях ос-

новного и среднего (полного) образования в отношении геометрической подготовки.

На основной ступени предполагается, что учащиеся готовы «исполь-

зовать приобретенные знания и умения в практической деятельности для:

–описания реальных ситуаций на языке геометрии;

–расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы;

–решения практических задач, связанных с нахождением геометри-

ческих величин (используя при необходимости справочники и технические средства);

– построений геометрическими инструментами (линейка, угольник,

циркуль, транспортир)» [277, с.31].

Требования, предъявляемые на ступени полного образования на ба-

зовом и профильном уровне, совпадают. Предполагается «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности для:

92

–исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

–вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства» [277, с.54].

При изучении геометрии, согласно указанному документу,

предполагается сформировать общеучебные умения, связанные с приобретением следующего практического опыта:

«– построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

–...выполнения расчетов практического характера;

–использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

–самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт...» [277, с.55].

Приведенные умения, очевидно, не могут быть сформированы без определения соответствующего содержания обучения. Анализируя примерные программы основного и среднего (полного) общего образования по математике, мы обнаружили в содержании геометрии следующий материал, связанный с ее приложениями: возникновение геометрии из практики (основная ступень); понятие о симметрии в пространстве, примеры симметрий в окружающем мире (старшая ступень,

материал не включен в требования к уровню подготовки выпускников).

Для формирования указанных умений, по нашему мнению, этого материала недостаточно [277, с.81].

В содержании алгебры и начал анализа такого материала несколько больше. Например, на старшей ступени в теме «Уравнения и неравенства» предлагается изучить «Применение математических методов для решения

93

содержательных задач из различных областей науки и практики.

Интерпретация результата, учет реальных ограничений» [277, с.100].

Проанализируем содержание интересующего нас вопроса в соответствующем разделе ФГОС основного общего образования [325].

Согласно положениям этого стандарта для дальнейшего развития основного общего образования необходим переход от старого предметно-

ориентированного обучения, цель которого передача содержания данной предметной области, к обучению, реализующему системно-

деятельностный подход, который предполагает подготовку школьника к дальнейшей профессиональной и общественной жизни. Современные предметные результаты изучения математики, в частности, включают

«формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления» [325].

В рамках проекта «Разработка общей методологии, принципов, кон-

цептуальных основ, функций, структуры государственных образователь-

ных стандартов общего образования второго поколения» (2005), реализуе-

мой Российской академией образования по заказу Министерства образова-

ния и науки Российской Федерации и Федерального агентства по образо-

ванию было создано фундаментальное ядро содержания общего образова-

ния – базовый документ, необходимый для создания базисных учебных планов, программ, учебно-методических пособий. В разделе «Математика» указано, что это «наука о наиболее общих и фундаментальных структурах реального мира, является важнейшим источником принципиальных идей для всех естественных наук и современных технологий» [337]. Поэтому при обучении математике необходимо уделять особое внимание овладе-

нию общематематическими понятиями и методами, среди которых обяза-

тельными являются математическая модель, метод математического моде-

лирования. Следует отметить, что в цитируемом документе в содержании раздела «Геометрия» присутствует пункт «Приложения геометрии», что

94

свидетельствует о том, что эта тема теперь является обязательной, а зна-

чит, требует выделения содержания и учебного времени на ее изучение.

Вместе с тем, наш анализ учебных пособий, программ, научных ис-

следований показал, что связь обучения математике с жизнью, прикладная и практическая ориентация курса математики, декларируемая в докумен-

тах, не всегда реализовывалась в преподавании в школе. Так, в хорошо из-

вестных учебниках по геометрии авторов А.П. Киселева [137], А.Н. Кол-

могорова [145], А.В. Погорелова [68] учащимся предлагается в большей мере теоретический курс с редкими примерами приложений. Безусловно,

наряду с этими учебниками существовали (и есть сейчас) сборники задач с прикладным и практическим содержанием. Однако по различным причи-

нам подобные задачи редко использовались на уроках. Одной из таких причин, на наш взгляд, следует считать недавнюю ситуацию с отсутствием задач на приложения математики в итоговом контроле на различных эта-

пах обучения.

На сегодняшний день, как известно, произошли существенные изме-

нения в содержании итогового контроля. В кодификаторе требований к уровню подготовки выпускников по математике для составления кон-

трольных измерительных материалов единого государственного экзамена указано, что школьники должны уметь строить и исследовать простейшие математические модели, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни2. Открытый банк за-

даний для проведения ЕГЭ постепенно наполняется задачами на проверку указанного умения. Эти факты свидетельствуют о том, что такое умение ранее практически не формировалось при обучении математике в школе,

но в настоящее время ситуация меняется.

Таким образом, проведенный анализ показал, что положения, сфор-

мулированные в нормативных документах, свидетельствуют о необходи-

мости обучения школьников приложениям математики и задают результа-

2 http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main?view=Page&contentId=131#6.2

95

ты такой работы. Однако, на уровне содержания учебного предмета «Ма-

тематика» этот вопрос проработан недостаточно.

Очевидно, присутствие приложений в школьном курсе математики обуславливается не только необходимостью знакомства школьников с возможностью применения полученных знаний на практике, но и приоб-

ретением более сложных умений, связанных с формированием общей культуры школьников. Необходимыми компонентами общей культуры в рассматриваемом контексте являются представления о математических методах изучения реального мира, об особенностях применения математи-

ки к решению прикладных задач, понимание значения математики для ес-

тественных и гуманитарных наук, техники и производства.

1.4.4.Анализ выявления прикладных умений студентов и школьников

вмеждународных исследованиях

Какие же требования предъявляются международным сообществом к уровню образованности студентов педагогических вузов и школьников в интересующем нас контексте? Обратимся к результатам исследования,

проведенного по Международной программе оценки образовательных дос-

тижений учащихся – PISA (Programme for International Student Assessment).

Объектом исследования PISA в 2006 году являлись образовательные дос-

тижения учащихся 15-летнего возраста3. Основной целью являлось не вы-

явление уровня владения знаниями, заложенными в школьную программу,

а оценка способности учащихся применять эти знания в жизненных ситуа-

циях. Результатом такой оценки должен был стать ответ на главный вопрос исследования: «Обладают ли учащиеся 15-летнего возраста, получившие общее обязательное образование, знаниями и умениями, необходимыми им для полноценного функционирования в обществе?» [184]

Одной из областей изучения в 2006 году была математическая гра-

мотность учащихся. Этот аспект математической подготовки можно счи-

3 В России такие учащиеся являются выпускниками основной школы.

96

тать наиболее общим, необходимым для всех, в том числе и для тех, чье дальнейшее образование не предполагает углубленного изучения матема-

тики. Под математической грамотностью в контексте этого исследования понимали «способность человека определять и понимать роль математики в мире, в котором он живет, высказывать хорошо обоснованные математи-

ческие суждения и использовать математику так, чтобы удовлетворять в настоящем и будущем потребности, присущие созидательному, заинте-

ресованному и мыслящему гражданину» [184].

Математически грамотным, согласно этому исследованию, может считаться учащийся, способный:

– распознавать проблемы, возникающие в окружающей действитель-

ности, которые могут быть решены средствами математики;

–формулировать эти проблемы на языке математики;

–решать эти проблемы, используя математические факты и методы;

–анализировать использованные методы решения;

–интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы;

– формулировать и записывать результаты решения.

В ходе исследования PISA учащимся предлагались задания в соот-

ветствии с такой трактовкой понятия математической грамотности. Это близкие к реальным проблемные ситуации, связанные с разнообразными аспектами окружающей жизни и требующие математизации для поиска решения. Сюжеты для них взяты из личной, школьной и общественной жизни учащегося, профессиональной деятельности людей и т.п. Для ответа на них наряду с математическими знаниями необходимо было использо-

вать знания, приобретенные при изучении других школьных предметов.

Такие проблемные ситуации, составленные на материале из разных пред-

метных областей, учащиеся должны были разложить на ряд прикладных задач, каждая из которых решалась с применением нужного математиче-

97

ского аппарата. Таким образом проверялись умения учащихся распознать ситуацию, требующую применения математики.

Для сравнения состояния математической грамотности учащихся,

кроме владения материалом выделенных содержательных областей, ис-

пользовался такой показатель, как уровень развития «математической компетентности». Математическая компетентность определяется в иссле-

довании как «сочетание математических знаний, умений, опыта и способ-

ностей человека», обеспечивающих успешное решение различных про-

блем, требующих использования математики. При этом имеются в виду не конкретные математические умения (например, «умение выполнить де-

ление дробей»), а более общие умения, включающие математическое мышление, математическую аргументацию, постановку и решение матема-

тической проблемы, математическое моделирование, использование раз-

личных математических языков, коммуникативные умения [184]. Под-

черкнем, что авторами исследования был сделан акцент на реалистичность описанных в таких заданиях сюжетов. Из предыдущего анализа содержа-

ния фабул школьных прикладных задач, мы могли убедиться, что боль-

шинство из них отражают реальность довольно упрощенно, схематично.

Проследим, как решается эта проблема зарубежными исследователями.

Действительно, большинство предложенных заданий не имеют при-

вычной задачной формы, а сформулированы в виде проблемы и отражают реальные ситуации, в которых оказывались или могут оказаться в будущем школьники данного возраста. Однако, на наш взгляд, не все задания соот-

ветствуют заявленным требованиям. Проанализируем представленные на сайте Центра оценки качества образования ИСМО РАО примеры заданий по математике, которые использовались при проведении этого исследова-

ния [184]. Рассмотрим пример из области геометрических знаний, предло-

женный участникам исследования.

98

Задание САДОВНИК. У садовника имеется 32 м провода, которым он хочет обозначить на земле границу клумбы. Форму клумбы ему надо выбрать из следующих вариантов (рис. 1).

10 м

6 м

6 м

Рис. 1

Обведите в таблице слово «Да» или «Нет» около каждой формы клумбы в зависимости от того, хватит или не хватит садовнику 32 м

провода, чтобы обозначить ее границу.

На наш взгляд, приведенный пример все же далек от реальности и имеет дидактический характер, или по точному выражению Мордковича А.Г., «псевдоприкладной». В практической деятельности выбор формы клумбы определяется все же эстетическими, дизайнерскими соображения-

ми, а не наличием подручного материала (в данном случае, провода задан-

ной длины). Т.е., в работе по устройству клумбы первична совсем не длина провода. Если речь идет о садовнике, профессионально занимающимся своим делом, то он, скорее всего, уже точно будет знать, какой формы

99