Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

гой подход к преподаванию математики. Он основывался на идее исполь-

зования приложений в обучении, близкой к той, которая была изложена в упомянутом ранее докладе С.Н. Полякова. Подтвердим на примерах сде-

ланный нами вывод.

В «Наглядной геометрии», учебнике для школ первой ступени [19],

изложение геометрии А.М. Астряб считал целесообразным начать не с изучения отвлеченных сведений о фигурах на плоскости, а с систематиза-

ции и развития имеющихся у ребенка сведений о реальном трехмерном пространстве. В предисловии автор указывает на особенности обучения

«наглядной» геометрии, среди которых нам важно выделить следующую:

весь геометрический материал вводится на основе имеющихся у детей данного возраста представлений о предметах, существующих в реальном мире. В содержание обучения также были включены геодезические изме-

рения, которые, по мнению автора, «дают детям … удивительно яркие об-

разы геометрических фигур» [19, c. 6]. В настоящее время такой подход можно считать начальным этапом обучения математическому моделирова-

нию – обучения умению сопоставлять абстрактные математические поня-

тия и их прообразы, существующие в реальности.

Логическим продолжением этого учебника стал «Курс опытной гео-

метрии» [18]. В предисловии указано: «Предлагаемый «Курс опытной геометрии» ставит себе целью изложить в популярной форме элементар-

ный курс геометрии в объеме, необходимом для применения геометриче-

ских знаний в практической жизни» [18, с.5]. Но обучение геометрии здесь не сводится к решению каких-либо задач из практики. Рассмотрение при-

меров из реального мира позволяет автору мотивировать необходимость введения геометрических понятий, формул, теорем. В учебном пособии имеются хорошо известные задачи об измерении расстояний и высот при различных ограничениях, на которых мы не будем останавливаться под-

робно. Задачи с подобным содержанием встречаются и в современной учебной литературе.

61

Проанализируем подход к использованию приложений математики еще одного автора учебников по геометрии того временного периода, се-

годня больше известного как популяризатора науки, Я.И. Перельмана.

В двадцатых годах прошлого века по заданию Наркомпроса РСФСР в чис-

ле своих учебных пособий он написал «Практические занятия по геомет-

рии. Образцы, темы и материалы для упражнений» [233]. Эта книга адре-

сована не только учащимся, но и «учащим». Первая глава предназначена для учителя. Еѐ название сформулировано автором в виде вопроса: «Как сделать изучение геометрии интересным и жизненным?» В содержании Я.И. Перельман касается вопросов повышения качества преподавания гео-

метрии в школе, указывает на особенности изучения математики в целом,

отмечает важную роль задач в обучении. Главная мысль автора состоит в том, что ученик «должен чувствовать, что геометрия снабжает его при-

менимыми к жизни сведениями, вооружает могущественным орудием по-

знания действительности» [233, с.10–11].

Обратим внимание на то, что Я.И. Перельман не призывает дать уче-

никам узкие знания по геометрии, предназначенные для применения в от-

дельных профессиональных сферах. (Вспомним, что именно на это пред-

полагалось нацелить обучение в трудовой школе.) Напротив, он подчерки-

вает, что приобретение качественных теоретических знаний школьниками возможно только тогда, когда присутствует интерес к изучаемому предме-

ту. А основой интереса, по мнению Я.И. Перельмана, могут выступать знания о возможностях применения теории на практике. Это созвучно и сегодняшним воззрениям на организацию обучения математике.

На протяжении всей книги автор передает учителю свой опыт со-

ставления задач, связанных с применением математики. Для этого в каж-

дой главе Я.И. Перельман приводит справочные сведения. Воспользовав-

шись ими, учитель должен был сам составлять задачи, подобные рассмот-

ренным. Кроме того, автор часто обращается к учителю с различными ме-

тодическими советами. Приведем пример. После задачи следующего со-

62

держания «Наклон почвы не замечается нами, если высота подъема не превышает 1/24 его основания («заложения»). Сколько приблизительно градусов в угле такого наклона?», автор дает рекомендации «приучать пользоваться учеников подобными приближенными приемами, дающими часто возможность обходиться не только без тригонометрических таблиц,

но и без знания тригонометрии. Учащиеся должны уметь использовать до конца свои геометрические познания, и не оставаться беспомощными пе-

ред задачами, хотя и неразрешимыми вполне точно доступными им сред-

ствами, но допускающие достаточное для практики приближенное реше-

ние» [233, c.15].

В этом примере автор обращает внимание учителя на то, что для ре-

шения задач возникающих в реальной ситуации довольно часто бывает достаточно сделать вычисления приближенно, с определенной степенью точности. Для этого целесообразно выбрать и соответствующий способ решения. В книге приведено довольно много задач, где требуется обосно-

вать или проверить используемую на практике эмпирическую формулу,

позволяющую делать вычисления быстро и с нужной степенью точности,

так называемые задачи на «проверку технических рецептов геометриче-

ского характера».

Необходимо обратить внимание и на то, что Я.И. Перельман после-

довательно, на примерах показывает, как на основе различных данных можно составлять «реальные» задачи, называемые в современной методи-

ческой литературе прикладными, практическими. Так, к приведенной вы-

ше задаче дается вариант подобной ей:

 Для русских железных дорог принят предельный уклон в 0,008.

Для Закавказской железной дороги допущены, в виде исключения, уклоны до 0, 025. Каким углам, в градусной мере, соответствуют эти уклоны?

Этот подход к составлению задач возможно использовать и сегодня как в практике работы учителя математики, так и в методической подго-

товке студентов. В пособии все задачи иллюстрируют применение матема-

63

тики к различным областям знаний и распределены не по темам школьной геометрии, а по разделам приложений. Оно служило дополнением к дру-

гому пособию «Новый задачник по геометрии» [232]. В нем задачи разде-

лены по темам школьного курса геометрии, решения и ответы помещены в конце задачника.

В современных сборниках подобных задач ([41], [278]) также обна-

руживаются эти два варианта систематизации. По темам школьного курса задачи распределяются тогда, когда авторы предполагают, что книга будет использована на уроках. Второй вариант чаще встречается в сборниках за-

дач, посвященных дополнительному образованию, внеурочному обуче-

нию. Считаем, что удобно иметь систематизацию одного и того же набора задач в двух описанных выше вариантах по следующим причинам. Как правило, ученикам известно, по какой теме дана задача. Если это не так,

то большинство из них будет испытывать затруднения в поиске решения.

Однако при возникновении реальной ситуации, когда надо применить свои познания на практике (ведь именно это имитируется в прикладной задаче),

нет указаний или подсказок, что здесь надо воспользоваться, например,

теоремой Пифагора или свойствами равнобедренного треугольника.

Вопрос привлечения нужных знаний приходится решать самостоятельно.

Для моделирования этой ситуации и удобно использовать задачи, система-

тизированные по отраслям знаний. Нужно отметить, что многие приведен-

ные здесь задачи часто встречаются в современных пособиях. Однако, не все задачи безупречны. Обратимся к следующему примеру.

Задача 52 (глава V). Земля и Марс обращаются вокруг Солнца по почти круговым путям на расстоянии 150 и 230 миллионов километров.

Во сколько раз при наибольшем приближении к Земле Марс ближе к нам,

чем при наибольшем его удалении от нас? [233].

Проанализируем правомерность сделанных допущений в фабуле за-

дачи. Известно, что Марс обращается вокруг Солнца по вполне отчетливо-

му эллипсу. Этим он сильно отличается от таких планет как Венера, Земля

64

и Нептун, орбиты которых практически круговые. Наибольшее расстояние между Солнцем и Марсом составляет примерно 250 млн. км, а наименьшее

– 207 млн. км. Максимальное приближение Земли и Марса друг к другу называют великим противостоянием. Именно об этом событии и идет речь в задаче. Однако орбиты этих планет лежат в разных плоскостях, и рас-

стояния между ними в моменты различных противостояний нельзя считать одинаковыми. В 1830 году Земля и Марс оказались на расстоянии в 58,12

млн. км, а в 2003-м – в 55,76 млн. км. Эта разница считается существенной даже в космических масштабах [163, с. 59]. По этим причинам мы не мо-

жем считать, что данная задача снабжает ученика «применимыми к жизни сведениями» [233].

В содержании фабул задач встречаются несуразности. Например, на фоне реалий сегодняшнего времени довольно жестоким выглядит содер-

жание следующей задачи:

Задача 128 (глава IX). Если бы все население земного шара утонуло в Ладожском озере, то на сколько поднялся в нем уровень воды? Человече-

ское тело вытесняет в среднем 50 куб. дециметров.

Сказанное позволяет нам сделать вывод о том, что не все фабульные задачи, направленные на применение математики к разрешению реальных ситуаций, могут быть успешно использованы в обучении. К ним необхо-

димо предъявить ряд методических требований. Подробно этот вопрос бу-

дет рассмотрен в главе 2. Наряду со сказанным, следует отметить, что про-

анализированное учебное пособие является одним из немногих, где уделя-

ется внимание методике составления и использования задач подобного ти-

па в обучении.

Продолжим анализ путей развития прикладной составляющей мате-

матики в школе. К тридцатым годам двадцатого века в школьном образо-

вании, как указывает Р.С. Черкасов, наметились следующие перемены

[343]. В 1927–1928 гг. началось восстановление предметной системы пре-

подавания на государственном уровне. В 1930/31 учебном году вводится

65

всеобщее обязательное обучение, в сельской местности – четырехлетнее,

вгородах – семилетнее, с политехнической направленностью.

С1932/33 учебного года была начата реорганизация семилетней по-

литехнической школы в десятилетнюю. В школьных программах того вре-

мени, как и ранее, связь теории с практикой выступала в качестве основно-

го требования к преподаванию математики. Однако теперь это положение должно было реализовываться на фоне систематизированного изучения математических дисциплин.

В 1935 году в соответствии с указанными изменениями, была приня-

та очередная программа по математике, которая просуществовала около двадцати лет без значительных изменений. Программа восстанавливала математику как самостоятельную дисциплину, признавая ее большое обра-

зовательное и практическое значение. Одним из основных требований по-

прежнему остается установление во время обучения связи теории с прак-

тикой. «Ученик должен уже в школе научиться прилагать полученные им знания к разрешению практических вопросов как из области других наук,

так и непосредственно в его практической работе» [213].

В подтверждение сказанному Н.Н. Никитин приводит следующий факт: с 1939/40 учебного года в программу по геометрии «в целях усиле-

ния практической направленности» были введены измерительные работы на местности. В курс школьной геометрии в обязательном порядке должны были быть включены приложения математики к геодезии: изучаются не только всевозможные приемы измерений на местности, но и принципы ра-

боты простейших геодезических приборов. Этот материал, как показал проведенный нами анализ, присутствовал и ранее, в дореволюционных учебных пособиях. [85], [175], [360]. Но в учебниках 30–60-х годов ХХ ве-

ка [152], [212] этим вопросам уделено особое внимание. Так, по учебнику Н.Н. Никитина [212] учащиеся должны были познакомиться с десятком разнообразных геодезических приборов и изучить принципы их работы.

66

Однако, в учебнике для педагогических институтов «Методика гео-

метрии» этого же временного периода Н.М. Бескин [25] не уделяет по-

строениям на местности никакого внимания. Формулируя цели обучения геометрии, автор лишь вскользь упоминает о прикладной составляющей курса, говоря о двоякой ценности геометрических сведений. В самом учебнике о практических приложениях упоминается только в главе «Ме-

тодика преподавания наглядной геометрии», написанной А.М. Астрябом.

Позиция этого автора в отношении приложений была проанализирована нами ранее.

Назовем рассмотренный период периодом развития прикладной со-

ставляющей математики в трудовой школе. Итак, в этот период изучение математики в трудовой школе на основе знакомства с производственными,

сельскохозяйственными и другими задачами из практики, объединенными в так называемые комплексные темы, не принесло ожидаемых результатов по подготовке к профессиональному обучению. Такое сближение препода-

вания математики с жизнью не позволило получать учащимся качествен-

ные, систематизированные знания по математике. Поэтому от такого под-

хода отказались и вернулись к предметному обучению. Но о полном отказе от использования приложений в обучении математике речи не шло. Под-

тверждением этому служит, например, факт обязательного изучения эле-

ментов геодезии в курсе школьной геометрии. В отдельных учебных посо-

биях имеются попытки систематизации, определения методики составле-

ния и использования задач, связанных с практическими приложениями ма-

тематики.

Расположим по степени значимости основные цели использования приложений в обучении математике в этот период времени (ХIХ–ХХ вв.):

–подготовка к получению профессии;

–обучение применению изученного теоретического материала на практике;

67

– получение полезных для дальнейшей жизни сведений дополни-

тельно к изучаемому математическому материалу;

– помощь в изучении теоретического материала.

Наш анализ показал, что подготовка к профессиональной деятельно-

сти занимает по-прежнему лидирующую позицию. Но теперь теоретиче-

ское направление в обучении выдвинуто на первый план. Практическая со-

ставляющая математики в школе стала выполнять иллюстративную роль,

служить основой для получения теоретических выводов.

1.3.3. Политехническая и прикладная направленность обучения математике в школе во второй половине ХХ века

Зарождение принципа политехнического обучения произошло еще в начале ХХ века, как мы убедились ранее. В 50-е–60-е годы этот принцип в школьном математическом образовании снова занял главенствующие по-

зиции. Известный математик и методист, академик Б.В. Гнеденко считал,

что в школе необходимо уделять значительное внимание вопросам поли-

технического образования. Реализация принципа политехнизма, по его мнению, должна означать ряд педагогических действий, которые могли бы способствовать подготовке учащихся к профессиональной деятельности в области промышленности и производства. В качестве одного из средств реализации этого принципа снова предлагается «…ознакомление учащихся на практике с простейшими приборами и инструментами, практическими устройствами и развитие начальных навыков обращения с ними…» [77,

с.45].

Политехническое обучение, как указывает Б.В. Гнеденко,

проводилось по трем основным линиям: осознанное усвоение теоретических знаний; овладение техникой математических вычислений,

преобразований, геометрических построений; умение прилагать математические знания к решению прикладных задач. По нашему мнению,

повышенное внимание к приложениям математики в школе было вызвано

68

успехами нашей страны, тогда СССР, в технике и атомной энергетике,

началом космической эры. Так, в частности, в 1953 году под руководством

C.А. Лебедева в Московском институте точной механики и вычислительной техники АН СССР была создана первая отечественная универсальная цифровая быстродействующая электронная счетная машина БЭСМ. 27 июня 1954 года в Обнинске была пущена первая в мире атомная электростанция мощностью 5 МВт. 4 октября 1957 года в СССР был запущен в космос первый в мире искусственный спутник Земли [35].

Эти события нашли отражение и в содержании задач по геометрии.

Приведем несколько примеров таких задач, фабулы которых иллюстрируют технические достижения нашей страны в исследовании космического пространства.

В соответствии с программой исследования космического пространства 3 апреля 1973 гола в Советском Союзе произведен запуск орбитальной научной станции «Салют-2» Длина орбиты автоматической станции равна 41500 км. Считая орбиту станции круговой, вычислите радиус орбиты. [41]

Наибольшее расстояние от поверхности Земли искусственного спутника «Интеркосмос-10», запуск которого осуществлен в Советском Союзе 30 октября 1973 года, равно 1477 км, наименьшее – 265 км.

Вычислите длину орбиты спутника, считая ее круговой. [41]

В этот исторический период, как пишет академик А.Н. Крылов,

одним из факторов, повлиявшим на развитие техники и производства стало широкое применение математических теорий в инженерной практике

[4, с. 579]. На производстве и в сельском хозяйстве возникла острая потребность в квалифицированных рабочих кадрах и грамотных инженерно-технических работниках. Высокая популярность технических вузов среди абитуриентов того времени связана именно с таким положением в стране. Поэтому, появление принципа политехнизма было вызвано, прежде всего, необходимостью обучения основам производства.

69

Все вышесказанное нашло отражение в методической науке. Так В.М. Брадис в учебном пособии для студентов педвузов [38] рассматривает

вопрос о роли практических приложений в преподавании математики.

«Вопрос о приложениях математики имеет первостепенное значение для преподавания математики: нельзя плодотворно изучать математику,

отрывая теорию от ее практических приложений. Важно правильно понимать связь между «чистой» математической наукой и ее

приложениями» [38, с.15]. При изложении вопросов, связанных

с методикой обучения геометрии В.М. Брадис подчеркивает, что успешность овладения школьной геометрией заключается в гармоничном развитии «трех сторон дела» – пространственного воображения,

логического мышления и «выработки навыка в практических приложениях» [38, c.329]. В восьмой главе автор отводит два коротких параграфа практическим приложениям школьной тригонометрии к физике,

топографии и астрономии.

В тоже время В.М. Брадис отмечает, что в сборниках задач и школьных учебниках геометрии недостаточно задач, «действительно возникающих в различных отраслях науки и техники». По мнению автора,

подобные задачи «вносят хорошее оживление, приучают ориентироваться в разнообразной жизненной обстановке, вырабатываю правильное воззрение на геометрию как науку о свойствах реально существующих форм» [38, с.16], поэтому их присутствие в обучении необходимо.

Примерно в это же время была написана книга «Методика преподавания математики» под общей редакцией С.Е. Ляпина [196].

В разделе «Методика преподавания геометрии» авторы указывают на необходимость усиления внимания к практическому применению знаний

«в связи со стоящими перед школой задачами политехнического обучения» [196, с.336]. В подтверждение этому при изложении методики обучения отдельных тем приводятся примеры «практических задач».

Следует отметить, что таких примеров очень немного. Это связано с тем,

70