Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

2.3. Классификация задач, обеспечивающих практико-ориентированное обучение математике в школе

В процессе конструирования линии практических приложений мате-

матики в школе возникла необходимость в переосмыслении имеющегося методического опыта классификации задач, обеспечивающих ее реализа-

цию, – задач на приложения. В этом параграфе на основе имеющихся клас-

сификаций таких задач, составлена система классификаций задач на при-

ложения, включающая шесть признаков. Представленный далее материал будет использован при конструировании содержательного компонента предлагаемой методической системы подготовки учителя.

2.3.1. Классификационные признаки задач, обеспечивающих практико-ориентированное обучение математике в школе

Проблема классификации школьных математических задач рассмат-

ривалась многими учеными-методистами (Г.А. Балл, Ю.М. Колягин,

Л.М. Лоповок, В.А. Петров, Л.М. Фридман, И.М. Шапиро и др.). Выделя-

лись различные основания для классификации задач, связанных с практи-

ческими приложениями математики в школе. Рассмотрим ряд из них.

Л.М. Лоповок [191, с.193] в соответствии с содержанием и типами учебных математических задач делит их на четыре группы: задачи, иллю-

стрирующие применение теорем (формул); задачи на проверку правильно-

сти применяемых приемов работы; задачи вычислительного характера; за-

дачи на выполнение построений.

Л.Э. Хаймина [339] выделяет две группы таких задач: задачи на фор-

мирование понятия и задачи, связанные с деятельностью учащихся на эта-

пе исследования решения. К последней группе задач автор относит задачи с недостающими и скрытыми данными; задачи с лишними данными; зада-

чи с противоречивыми данными и т.п. Таким образом, первая группа опре-

деляет назначение таких задач в обучении, а вторая – среди задач приклад-

191

ного содержания выделяет задачи, при решении которых выполняются учебные действия исследовательского характера.

И.М. Шапиро, предлагает следующие «разновидности» задач: 1) на вычисление значений величин, встречающихся в практической деятельно-

сти; 2) на составление расчетных таблиц; 3) на построение простейших номограмм; 4) на применение и обоснование эмпирических формул; 5) на вывод формул зависимостей, встречающихся на практике [346, с. 7]. Такое деление задач ориентировано на обучение отдельным приемам использо-

вания математической теории в практической деятельности.

На основе имеющихся методических исследований обобщим клас-

сификационные признаки таких задач. Согласно бинарному назначению задач на приложения, мы выделяем два вида этих задач (по их постанов-

ке): на обучение приложениям математики; на изучение математики с по-

мощью ее приложений.

Задачи этих двух видов в свою очередь характеризуются следующи-

ми основными признаками: по области приложений математики; по ма-

тематическим методам решения; по сложности математизации условия задачи; по назначению в обучении; по способу представления; по полноте данных. Поясним это.

1. По области приложений математики. Этот признак характеризу-

ет фабулу задачи, в которой могут быть отражены научные области зна-

ний; практические области деятельности; бытовые, занимательные и игро-

вые ситуации с реальным сюжетом.

2. По математическим методам решения. Традиционно в школьном курсе математики выделяют три группы методов – арифметический (по действиям или составлением выражения), алгебраический (составлением уравнения, системы уравнений или неравенств), геометрический (исполь-

зование подобия, площадей фигур и т.п.). В настоящее время в связи с вве-

дением в курс математики элементов теории вероятностей и математиче-

ской статистики к существующим добавляется вероятностно-

192

статистический. Еще раз подчеркнем, что основным математическим ме-

тодом решения таких задач является метод математического моделирова-

ния. Перечисленные методы для задач на приложения – это методы внут-

римодельного решения.

3. По сложности математизации условия задачи. Этот признак под-

робно освещен нами ранее (п. 2.1.3) и отражает четыре уровня сложности задач на приложения: в задаче имеется прямое указание на математиче-

скую модель; объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответст-

вующими математическими объектами и отношениями; объекты и отно-

шения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями неоднозначно, требуется учет реально сложившихся условий; объекты и отношения задачи явно не выделены.

4. По назначению в обучении. Основное назначение школьных задач связано с формированием математических понятий. Задачи на приложения могут быть классифицированы следующим образом: на актуализацию зна-

ний и умений, необходимых для формирования понятия; на мотивацию введения понятия; на распознавание понятия; на применение понятия; на включение нового понятия в систему известных.

5. По способу представления. Задача на приложения может быть представлена следующими способами: в текстовом виде, который может представлять собой фрагмент учебного или научного текста, инструкцию и т.п.; в графическом виде: таблица, диаграмма, график, схема, чертеж, фо-

тография и т.п.; в комбинированном, объединяющим текстовый и графиче-

ски способы представления.

6. По полноте данных. Этот признак объединяет задачи на приложе-

ния с недостающими и скрытыми данными; с лишними данными; с проти-

воречивыми данными, а также и наиболее распространенные задачи с пол-

ными данными.

Представленные нами классификации таких задач по шести призна-

кам отвечают на вопрос о форме и содержании задач на приложения и по-

193

зволяет определить значение таких задач в учебном процессе. В приведен-

ных ранее примерах (Л.М. Лоповок, И.М. Шапиро, Л.Э. Хаймина) рас-

смотрены классификации по одному-двум признакам и не могут стать, по выражению Ю.М. Колягина, «рабочим инструментом» авторов учебных пособий, учителя и ученика. Соединим эту совокупность классификаций в одну систему классификаций6, в которой два вида задач на приложения,

выделенные по их постановке, характеризуются шестью основными при-

знаками, из которых три (по области приложений математики, по сложно-

сти математизации условия задачи, по способу представления) применимы только к данному виду задач, а оставшиеся три (по математическим мето-

дам решения, по назначению в обучении, по полноте данных) являются общими для всех школьных математических задач. Выделенные классифи-

кационные признаки позволяют дать методическую характеристику зада-

че на приложения. Такую характеристику назовем методическим паспор-

том задачи.

Представим построенную нами систему классификаций задач на приложения в виде графической модели (рис. 18). В центре модели – два вида задач на приложения, которые соединены с выделенными ранее клас-

сификационными признаками. Для каждого признака указано его содержа-

ние в фигурной скобке. Далее будет показано на примере, как по предло-

женной модели студенты смогут составить паспорт конкретной задачи на приложения.

6 Новиков А.М. Методология научного исследования, с.157

194

Рис. 18. Система классификаций задач на приложения математики

195

Рассмотрим более подробно приведенную систему классификаций задач на приложения. Выделенные нами два вида задач на приложения от-

ражают бинарное назначение практических приложений математики в школе в обучении: с одной стороны – обучение приложениям математики,

с другой – обучение математике через ее приложения. Поясним это.

При решении задач, направленных на обучение практическим при-

ложениям математики требуются знания из области приложений. Таковы приведенные нами ранее примеры задач о столбах и тени (закон о прямо-

линейности распространения световых лучей), о точечном источнике света

(зависимость между силой освещения и расстоянием от источника света),

об игре на бильярде (динамика твердого тела). Задачи, предназначенные

для обучения математике через ее приложения, составляют большую часть школьных задач на приложения. Такие задачи служат для актуализации знаний и умений, необходимых для формирования математических поня-

тий; для мотивации введения понятий; для распознавания, применения по-

нятий и включения их в систему известных понятий, что соответствует пя-

тому признаку приведенной классификации. Подобная классификация ма-

тематических задач широко известна и приведена в исследованиях Л.М.

Лоповка [191, с.160], Е.С. Канина [192, с.150], К.И. Нешкова и А.Д. Сему-

шина [210] и др.

Признак классификации, по области приложений математики, по-

зволяет определить тематические направления фабул задач на приложения этих двух видов. Это необходимо для отбора таких задач согласно возрас-

тным интересам и познавательным возможностям школьников, выбранно-

му профилю обучения. В теории и методике обучения математике хорошо известны задачи по следующим тематическим направлениям: экономика

(В.С. Абатурова, А.Г. Еленкин, В.Ф. Любичева, А.С. Симонов), геодезия

(В.Н. Ганьшин, П.Я. Дорф, А.О. Румер, Т. Такидзе), сельское хозяйство

(В.А. Петров), техника (А.Н. Артболевский, А. Ахлимерзаев, И.А. Скосыр-

ская), искусство (А.И. Азевич).

196

Признак классификации, по математическим методам решения,

рассмотрен в работах многих авторов в связи с типизацией задач различ-

ных разделов школьного курса математики. Так, Ф.А. Орехов исследуя за-

дачи, сводящиеся к решению уравнений первой степени, систематизирует их по видам уравнений. [221]. Н.В. Метельский выделяет виды задач, ко-

торые по своему математическому содержанию соответствуют специфике той или иной математической дисциплины [186]. Система задач любого школьного учебника по математике также служит примером рассматри-

ваемого классификационного признака. Этот признак включен нами в сис-

тему признаков для распределения задач на приложения по разделам школьного курса математики.

Признак, по уровням сложности математизации условия задачи,

необходим для отбора задач по четырем этапам реализации линии практи-

ческих приложений математики в школе (пропедевтический, подготови-

тельный, основной и заключительный) и определяет четыре уровня слож-

ности задач на приложения, выделенные нами и подробно описанные в п. 2.1.3.

Признак классификации, по способу представления, отражает спосо-

бы описания реальных ситуаций, требующих применения математики. За-

дачи на приложения в графической и комбинированной формах встреча-

ются в отечественной учебно-методической литературе нечасто, однако такая форма принята в международных исследованиях достижений школь-

ников (PISA).

Признак классификации, по полноте данных, применим и к учебным математическим задачам. Задачи этого типа рассмотрены, например, в ра-

ботах Г.И. Саранцева [273]. Применительно к задачам на приложения он реализован в работе Л.Э. Хайминой [338].

Ряд описанных классификационных признаков рассмотрены в иссле-

довании более подробно в п.2.1.3 (по сложности математизации условия задачи), в п. 2.3.2 (по назначению в обучении), в п. 2.3.3 (по области при-

197

ложений математики). Предложенное в этих пунктах содержание является основой для проведения лекционных и семинарских занятий при реализа-

ции методической системы подготовки учителя к практико-

ориентированному обучению математике в школе.

Таким образом, любая школьная задача на приложения может быть описана с помощью предлагаемых признаков. Например, рассмотрим сле-

дующую задачу о высоте солнца над горизонтом:

 Определите с помощью лупы высоту солнца над горизонтом.

Кратко представим идею ее решения. Лупа – собирающая линза. Ес-

ли пропустить лучи солнца перпендикулярно поверхности лупы так, чтобы они собрались в фокусе на поверхности земли, то, измерив две стороны получившегося прямоугольного треугольника (рис. 19), найдем угол паде-

ния солнечных лучей на землю или угловую высоту солнца над горизон-

том.

знаем

линия горизонта

измерить

Рис. 19

Определим вид этой задачи и ее признаки, согласно построенной классификации. Это задача на обучение практическим приложениям мате-

матики, т.к. для ее решения требуются знание геометрической оптики.

По области приложений математики эту задачу отнесем к научным облас-

тям знаний, в частности, к физике. Математический метод решения связан с использованием свойств прямоугольного треугольника, а, значит, его можно считать геометрическим. По способу представления – это тексто-

вая задача. По назначению в обучении – задача на распознавание понятия,

т.к. после построения чертежа к задаче, учащемуся необходимо обнару-

жить на нем прямоугольный треугольник, установить его известные эле-

198

менты. Один из углов этого треугольника и является углом, определяю-

щим высоту солнца над горизонтом. Эта задача относится к высокой сложности математизации условия. На первый взгляд, реальные объекты явно выделены – лупа и солнце. Но для решения задачи необходимы дру-

гие объекты, хотя и тесно связанные с перечисленными – фокус лупы, сол-

нечные лучи. Поэтому, считаем, что здесь реальные объекты и отношения явно не выделены. Проиллюстрируем сказанное на модели системы клас-

сификаций задач на приложения математики, отметив на ней выявленные признаки задачи жирным шрифтом (рис. 20).

199

Рис. 20. Вид и классификационные признаки задачи о высоте солнца над горизонтом.

200