Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

Таким образом, на подготовительном этапе учителю необходимо ввести понятия «математическая модель» и «метод математического моделирования» на геометрическом и на алгебраическом материале. Такой подход способствует формированию у школьников наиболее полных пред-

ставлений об этих центральных для рассматриваемой линии понятий. При-

веденные примеры демонстрируют возможность выполнения задач перво-

го, подготовительного, этапа реализации линии практических приложений математики в школе.

3.Основной этап (8–9 класс)

Содержанием этого этапа является накопление знаний о практиче-

ских приложениях геометрии и приобретение учащимися опыта примене-

ния метода математического моделирования к решению задач.

На основном этапе решаются следующие частные образователь-

ные задачи, развивающие задачи предыдущего этапа:

поддерживать мотивацию изучения геометрии во взаимосвязи с

еепрактическими приложениями к окружающему миру;

расширить представление об этапах метода математического мо-

делирования при решении задач, связанных с приложениями геометрии

(выделять этапы решения задачи на приложения, строить математическую модель по содержательной модели согласно заданной цели, выбирать ра-

циональный метод решения задачи, интерпретировать полученный резуль-

тат);

 формировать умение выделять математический аппарат, исполь-

зуемый при описании реальных объектов в учебной и научно-популярной литературе. (Здесь имеется в виду процесс взаимодействия личности с ма-

тематическим знанием. Научить всем «рецептам» решения задач невоз-

можно. Необходимо формировать у ученика способность понимать смысл поставленной перед ним задачи, а затем обучать поиску математических методов (или каких-либо других методов), адекватных поставленной про-

блеме).

131

На этом этапе продолжается обучение школьников построению ма-

тематических моделей, адекватных предложенной задачной ситуации.

Школьникам предлагаются для решения задачи на приложения, математи-

ческая модель которых может быть выбрана несколькими способами или с различной степенью точности и т.п.

Рассматривая специально подобранный пример (или серию приме-

ров), учащиеся убеждаются, что математическая модель – это приближен-

ное описание какого-либо класса объектов4 реального мира на языке мате-

матики, при этом один объект может иметь более одной модели. Геомет-

рическая модель описывает геометрические свойства объекта согласно за-

данной цели.

В 8–9 классах обращается специальное внимание учащихся на осо-

бенности работы с моделью на каждом этапе. С этой целью подбираются примеры задач, имеющие несколько внутримодельных решений. Здесь,

в зависимости от требований условия, должна вестись работа по выбору рационального решения. Для иллюстрации особенностей такой работы подбираются задачи, в которых интерпретация ответа нетривиальна – уча-

щимся необходимо выбрать необходимую точность числа, форму его представления и т.п. Также на этом этапе учитель обращает внимание учащихся на то, что одна математическая модель может быть использована для интерпретации различных по своей природе объектов.

4. Заключительный этап (10–11 класс)

На этом этапе происходит обобщение сведений, полученных о прак-

тических приложениях школьного курса геометрии. Такое обобщение про-

изводится по направлениям приложений: приложения геометрии к естест-

вознанию (физика, химия, биология, астрономия); приложения геометрии к практическим дисциплинам (строительство, архитектура, геодезия и т.п.); приложения геометрии к изобразительному искусству (живопись,

4 Здесь термин объект понимается в наиболее широком смысле: объектом может служить не только то, что обычно именуется этим словом, но и любая ситуация, явление, процесс и т. д

132

фотоискусство, скульптура) и т.д., а также по теоретическим основам при-

ложений (сферическая геометрия как основа геодезии, астрономии и кар-

тографии; теория математических бильярдов, применяемая для изучения динамики твердого тела). Такая методическая работа ведется с учетом профиля обучения на старшей ступени общего образования.

Представленный подход согласуется с особенностями данного воз-

растного периода. Старшеклассники оценивают учебный процесс с пози-

ции своей будущей профессиональной деятельности. Характерной особен-

ностью учебно-познавательной деятельности старшеклассника является ее активизация и возрастающая самостоятельность. Мышление учащихся этого возраста приобретает творческий характер, повышается их способ-

ность к абстрагированию и обобщению изученного. В этот период активно формируется научное мировоззрение и теоретическое мышление, направ-

ленное на познание общих закономерностей окружающего мира [292,

с147]. В связи с этим на уроках и элективных курсах необходимо обратить внимание школьников на теоретические основы приложений, связанные

стакими темами как «Основы сферической геометрии», «Элементы начер-

тательной геометрии», «Теория математических бильярдов» и т.д.

Заключительный этап предполагает решение следующих частных

образовательных задач, которые развивают задачи предыдущих этапов:

обобщить и систематизировать знания учащихся по геометрии как теоретической основы приложений;

показать возможности использования метода математического моделирования для решения широкого круга задач, связанных с практиче-

скими приложениями геометрии, в том числе требующих всестороннего анализа данных и допускающих неоднозначное построение математиче-

ской модели;

 достичь овладения учащимися следующими элементами метода математического моделирования: осуществление анализа содержания за-

дачи, направленного на выявление объектов, подлежащих математизации,

133

установление соответствия между содержательной и математической мо-

делью объекта;

 способствовать формированию прикладной исследовательской деятельности при изучении теоретических основ приложений, которые выходят за рамки школьного курса геометрии.

На основе проведенного нами анализа задач на приложения матема-

тики в школе ([42], [232], [235], [239] и др.) заключим, что сложность поиска их решения, прежде всего, связана с осуществлением нулевого этапа метода математического моделирования – этапа математизации. Частные задачи всех трех этапов реализации линии сформулированы с учетом необходимо-

сти обучения школьников математизации реальных объектов. В связи с этим мы выделяем уровни сложности выполнения этапа математизации при решении задачи на приложения математики, которые и будем считать уровнями сложности таких задач. Мы выделяем четыре уровня:

I. В задаче имеется прямое указание на математическую модель.

II. Прямого указания на модель нет, но объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и от-

ношениями.

III. Объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями, но неоднозначно. Требуется учет реально сло-

жившихся условий.

IV. Объекты и отношения задачи явно не выделены или их матема-

тические эквиваленты неизвестны школьникам.

Задачи первых двух уровней сложности, как правило, не вызывают у школьников затруднений при построении математической модели и гото-

вят к решению задач третьего уровня. Одна из особенностей задач третьего уровня состоит не только в нетривиальности построения математической модели, но и в неопределенности выбора математического аппарата для их решения. Это сближает такие задачи с прикладными задачами, поставлен-

ными в реальной ситуации.

134

Задачи первых двух уровней целесообразно использовать на уроках математики. Задачи третьего и четвертого уровней требуют большего учебного времени для решения, поэтому их предпочтительнее использо-

вать во внеклассном обучении математике. Задачи третьего и четвертого уровня сложности в большинстве составляют задачи, направленные на развитие умения применять метод математического моделирования для решения широкого круга задач, связанных с практическими приложениями геометрии, в том числе требующих всестороннего анализа данных и до-

пускающих неоднозначное построение математической модели. К ним мо-

гут быть отнесены задачи с недостающими, лишними, противоречивыми и скрытыми данными. Рассмотрим эти уровни подробнее.

I. В задаче имеется прямое указание на математическую модель.

На первом уровне рассматриваются такие содержательные модели реальности, объекты и отношения которых практически не требуют мате-

матизации. Математическая модель представлена в явном виде. Например,

такова следующая задача:

 Для определения того, что керамическая плитка имеет квадрат-

ную форму, измеряют и сравнивают ее диагонали. Достаточна ли такая проверка?

При переводе на математический язык, получаем такую задачу:

 Верно ли, что если диагонали прямоугольника равны то этот прямоугольник – квадрат?

Также примером задач этого уровня служат задачи на использование различных инструментов для проведения измерений. В содержательной модели таких задач имеется прямое указание на математическую модель.

Для их решения необходимо только найти подходящий математически ап-

парат, т.е. выполнить внутримодельное решение. Этап интерпретации здесь отсутствует.

 Можно ли пользоваться чертежным угольником как центроис-

кателем? Каким образом?

135

 Если под рукой не оказалось чертежного угольника, то прямой угол можно получить двукратным перегибанием листа бумаги любой формы. Объясните, почему в данном случае получаются прямые углы?

II. Объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответст-

вующими математическими объектами и отношениями.

На втором уровне объекты и отношения задачи хорошо знакомы учащимся из жизненного опыта или в результате изучения других школь-

ных дисциплин. Поэтому школьники могут легко соотнести их с соответ-

ствующими математическими объектами и отношениями. Это наиболее многочисленная группа задач. Большинство задач этой группы составляют задачи, назначение в обучении которых связано с формированием мате-

матических понятий.

Приведем содержательную модель такой задачи, которая может стать основой для нескольких задач:

 Лестница прислонена к стене дома.

Составим следующий набор задач по этой содержательной модели:

 На какую высоту можно подняться по лестнице длиной L, от-

стоящей от стены на расстояние b.

Какой длины должна быть лестница, чтобы по ней можно было взбираться на высоту h? Ее нижний конец при этом отстоит от стены на расстояние b.

Фонарь висит на стене дома на высоте h. Можно ли в нем заме-

нить лампочку, воспользовавшись лестницей длины L. Лестница не съез-

жает со стены, если прислонена к ней под углом α.

У этих задач одна математическая модель – прямоугольный тре-

угольник, но для их внутримодельного решения используется разный ма-

тематический аппарат: для первых двух задач – теорема Пифагора, для по-

следней – определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике. Та-

ким образом, подобный набор задач позволяет во взаимосвязи формиро-

вать ряд понятий, объединѐнных понятием прямоугольного треугольника.

136

В условии следующей задачи уже сделаны необходимые упрощения.

Все объекты задачи имеют математические эквиваленты, поэтому состав-

ление математической модели такой задачи, как правило, не вызывает за-

труднений у школьников.

 Человек среднего роста на совершенно ровном месте видит во-

круг себя не далее 4,5 км. Как велика в градусной мере, та дуга земной по-

верхности, которую он видит? Радиус Земли принять равным 6400км.

III. Объекты и отношения задачи соотносимы с математически-

ми объектами и отношениями неоднозначно. Требуется учет реально сложившихся условий.

На третьем уровне объекты и отношения содержательной модели неоднозначно соотносимы с их математическими эквивалентами. Соответ-

ствующая математическая модель выбирается в зависимости от реальных условий, описанных в задаче.

Например, на карте Московской области Москва и другие города за-

нимают определенную площадь, а, значит, их математической моделью может служить некоторая геометрическая фигура. Но на политической карте Европы столицы государств, в том числе и Москва, отмечены не-

большими кружочками. В этом случае математическая модель города – точка, которая, как известно, не имеет размеров.

В следующих примерах построение математической модели услож-

нено тем, что в условии задачи есть объекты, математические интерпрета-

ции которых также неоднозначны.

 Найдите расстояние между двумя соседними меридианами на экваторе.

Если принять, что Земля имеет форму геоида, то такая модель Земли не позволит решить задачу средствами школьного курса геометрии. Если моделью формы Земли будет сфера, тогда для решения задачи будет ис-

пользована известная школьникам формула длины дуги окружности.

137

 На какой широте Земли длина параллели в два раза меньше, чем длина экватора?

Казалось бы, понятия широта, параллель, экватор хорошо знакомы учащимся. Эти понятия изучаются в курсе географии 6 класса [73]. Однако понятие широты может быть определено по-разному. Часто встречается такое определение:

Географической широтой заданной точки называется величина в градусах дуги меридиана от экватора до параллели, проходящей через эту точку.

Приведенное определение является, по сути, наглядной иллюстраци-

ей широты на глобусе, который, как известно, имеет форму шара. Если принять, что Земля – геоид, то строгое определение широты таково:

Географическая широта точки М это величина угла м между отвес-

ной линией в данной точке и плоскостью экватора, отсчитываемый от 0 до

90° в обе стороны от экватора, причем к северу от экватора широта счита-

ется положительной, а к югу – отрицательной, –90° м 90°.

Значит, при поиске математического эквивалента понятия широты учащиеся могут встретить два приведенных выше определения. Школьни-

кам необходимо выбрать, каким из них целесообразно воспользоваться при решении данной задачи.

Приведем пример задачи, в которой выбор подходящего математиче-

ского аппарата для внутримодельного решения зависит от конкретных ус-

ловий, имеющих место в реальности.

 На плоскости обозначены три точки А, В, С, не лежащие на од-

ной прямой. Через точку А проложите прямую, параллельную ВС.

Эта задача имеет несколько решений. Выбор подходящего матема-

тического аппарата для внутримодельного решения зависит от условий,

которые могут появиться в реальной ситуации прокладывания этой парал-

лельной прямой. Например, если необходимо построить забор, параллель-

но имеющемуся, то возможно предположить, что для построений на мест-

138

ности мы будем ограничены шириной улицы. Также ограничения могут возникнуть со стороны возможности использования геодезических инст-

рументов. А если построения проводятся не на местности, а, например, в

плотницком деле для разметки деревянных деталей, то и математическая модель будет соответствовать этим реальным условиям.

IV. Объекты и отношения задачи явно не выделены или их ма-

тематические эквиваленты неизвестны школьникам.

На четвертом уровне объекты и отношения, подлежащие математи-

зации, в содержательной модели не выделены. Проиллюстрируем это на примере следующей задачи:

 Определите, на какой табурет (рис. 6 а, б) можно сесть без рис-

ка оказаться на полу?

В тексте задачи речь идет о табурете, а объектами, которые необхо-

димо математизировать, являются его ножки и сидение, точнее их взаим-

ное расположение. Математическими эквивалентами этих объектов явля-

ются отрезки, которые на рис. 6б образовывают треугольник. Т.к. эта фи-

гура является жесткой, то именно на такой табурет можно садиться. Ясно,

что, пользуясь жизненным опытом, школьники могут указать правильное решение. Однако просьба воспроизвести необходимые математические рассуждения вызывает затруднения даже у студентов старших курсов ма-

тематического факультета МПГУ.

В следующей задаче требуется выделить нужные характеристики объекта и учесть их при ее решении.

139

 В магазине имеются чайники четырех моделей. Выберите тот чайник, в котором вода будет остывать дольше всего.

При такой формулировке задачи учащиеся исследуют вопросы об объеме чайников и материале, из которого они изготовлены. Если эти па-

раметры совпадают, то решение задачи сводится к сравнению их площадей поверхностей.

К этому уровню также относим задачи, в содержании которых встре-

чается непонятная или неизвестная школьникам терминология. Например,

для решения следующей задачи учащимся необходимо вспомнить или изу-

чить заново понятия «курс корабля» и «ортодромия», «географические ко-

ординаты точки».

 Вычислить начальный курс корабля при движении по ортодромии из пункта А в В, если известны географические координаты этих точек

А, А и В, В.

Определение уровня сложности задачи на приложения в практиче-

ской работе учителя целесообразно проводить по двум критериям: новизна для школьников объектов и отношений содержательной модели задачи;

сложность подбора математических эквивалентов к этим объектам и отношениям.

Выбор этих критериев обоснован тем, что у учащихся имеется неко-

торая сумма знаний и жизненный опыт, соответствующие их возрасту и содержанию школьной программы. Так, поиск решения задачи о табуре-

тах у учащихся старшего школьного возраста не вызовет затруднений.

Ими уже накоплены для этого необходимые предметные знания и жизнен-

ный опыт. Поэтому для них эта задача не будет задачей высокого уровня сложности. Следовательно, уровень сложности задачи на приложения – характеристика непостоянная. Так, одной и той же задаче, решенной, на-

пример, в 7 классе на уроке и в 9 классе на итоговой аттестации, может быть присвоен разный уровень сложности. Это может быть связано,

например, с изменением оценивания первого критерия (степени новизны

140