Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

1 этап. Формализация (построение математической модели усло-

вия).

2этап. Внутримодельное решение.

3этап. Интерпретация результата.

Учитывая необходимость обучения школьников элементам метода математического моделирования, руководствуясь представленными в нор-

мативных документах требованиями к уровню геометрической подготовки учащихся по использованию приобретенных знаний и умений в практиче-

ской деятельности и повседневной жизни, а также опираясь на принципы конструирования линии практических приложений математики в школе,

нами выделены общие цели ее реализации:

1.Формирование системы математических знаний во взаимосвязи с их практическими приложениями к изучению окружающего мира.

2.Формирование прикладной математической грамотности, пони-

маемой как способность использовать математику для описания дейст-

вительности и решения задач реального мира методом математического моделирования.

3. Демонстрация идей математизации наук через знакомство с теоретическими основами практических приложений математики.

Сформулированные цели достаточно широки и могут быть достиг-

нуты на двух уровнях – прагматическом и исследовательском. Началь-

ный уровень, прагматический, определяется необходимостью ориентации в современном мире для практической жизни, подготовленностью к реше-

нию бытовых и профессиональных задач с использованием математиче-

ского аппарата. Этот уровень посилен для всех учащихся и заложен в стандартах общего математического образования. Продвинутый уровень,

исследовательский, состоит в наличии способности обучаемого матема-

тически исследовать объекты реального мира с различными целями, т.е.

в математическом подходе к явлениям реального мира [13]. Достижение этого уровня доступно не всем учащимся. Обучение на таком уровне воз-

121

можно организовать во внеклассной работе по математике: на занятиях курсов по выбору и элективных курсов, при выполнении школьниками ис-

следовательских и проектных заданий и т.п.

Выделение нами ведущей идеи реализации линии ППМ позволило перейти к конкретизации этой идеи в виде принципов конструирования и следующих из них общих целей реализации линии. Так, например, прин-

цип математизации знаний с одной стороны следует из указанной в веду-

щей идее необходимости формирования у школьников понимания роли математики в изучении реального мира, а с другой стороны лежит в основе всех трех целей реализации линии ППМ.

Этапы реализации линии ППМ. В результате анализа ранее прове-

денных исследований в методике обучения математике выявлено, что в большинстве из них выделяются этапы (ступени) обучения решению за-

дач прикладного характера или этапы обучения элементам метода матема-

тического моделирования (А.Я. Блох, Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович,

В.А. Стукалов и др.). Опираясь на результаты этих исследований, нами выделены четыре этапа реализации линии практических приложений ма-

тематики в школе: пропедевтический, подготовительный, основной и за-

ключительный, сформулированы конкретные задачи каждого этапа для достижения общих целей реализации линии.

Укажем временные рамки для выделенных этапов:

1.Пропедевтический (основная ступень, 5–6 класс)

2.Подготовительный (основная ступень, 7 класс)

3.Основной (основная ступень, 8–9 класс)

4.Заключительный (старшая ступень, 10–11 класс)

При рассмотрении этих этапов применительно к школьному курсу геометрии, нами не подвергался специальному исследованию пропедевти-

ческий этап (временной отрезок, соответствующий 5–6 классам основной ступени общего образования), поскольку этот этап достаточно хорошо изучен и реализован в УМК для 5–6 классов разных авторов. Например,

122

в учебниках математики Н.С. Подходовой и др., а также Л.Г. Петерсон,

Т.Г. Ходот, И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича отражена работа с учащи-

мися по формированию интуитивных представлений о модели, математи-

ческой модели, процессе моделирования.

Так, в учебнике математики для 5 класса И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича [120] изучаются темы «Математический язык», «Мате-

матическая модель». Понятие модели вводится с помощью рассмотрения двух задач, в которых требуется найти значение одного и того же выраже-

ния. Выражение, полученное в процессе решения, согласно авторам, – это математическая модель реальной жизненной ситуации, о которой говорит-

ся в задаче. Авторы обращают внимание учащихся на следующее: «Вы-

полняя задания по переводу «обычной» речи на математический язык, мы каждый раз составляли математическую модель данной ситуации. Однако важно не только уметь составлять математические модели, но и выполнять обратную работу – понимать, какую ситуацию (или обстоятельства) опи-

сывает данная модель» [120]. Таким способом неявно выделяются этапы моделирования: формализация и интерпретация.

Учащиеся приобретают простейшие навыки работы с моделями на примере решения текстовых задач, сопоставления реальных объектов с их математическими прообразами. Таким образом, считаем, что выделен и разработан пропедевтический этап линии практических приложений математики в школе.

Остальные три этапа реализации линии практических приложений математики в школе (подготовительный, основной и заключительный)

разработаны нами на уровне учебного предмета (школьного курса геомет-

рии).

Частные образовательные задачи реализации линии ППМ. Для каждого этапа на основании указанных общих целей сформулированы ча-

стные образовательные задачи реализации линии ППМ с учетом содер-

жания курса геометрии в заданный временной отрезок; закономерностями

123

окружающего мира, понятными школьникам в связи с изучением немате-

матических дисциплин и приобретением жизненного опыта; степенью ов-

ладения приемами мыслительной деятельности (синтезирование, анализи-

рование, установление аналогий и т.д.) и учебно-познавательной деятель-

ности школьников; последовательностью изучения элементов метода ма-

тематического моделирования. Перейдем к обоснованию частных задач

подготовительного, основного и заключительного этапов реализации ли-

нии ППМ.

2. Подготовительный этап (основная ступень, 7 класс)

Кседьмому классу у школьников происходит расширение знаний

омире. Количество учебных предметов изучаемых ими увеличивается: ма-

тематика делится на две дисциплины (алгебра и геометрия), начинается изучение физики, продолжается изучение биологии и географии. Значит,

появляется возможность использовать содержательные примеры приложе-

ний геометрии к естествознанию. К этому возрасту у учащихся накоплен определенный практический опыт и в повседневной жизни.

С позиций возрастной психологии в возрасте 12–13 лет активно формируется продуктивное представление, (понимаемое А.А. Реаном как воспроизведение образов предметов, не воспринимаемых в данный момент времени, в контексте новых условий и с учетом всех основных свойств этих предметов [260]), а также произвольное внимание (по Л.С. Выготско-

му, один из видов внимания – психический процесс, который заключается в сознательном и активном сосредоточении субъекта в данный момент времени на каком-либо реальном или идеальном объекте). К этому возрас-

ту также начинает преобладать словесно-логическое, абстрактное мышле-

ние. Эти особенности личности школьников позволяют осуществить под-

готовительный этап реализации линии ППМ.

На подготовительном этапе мы ставим следующие частные образо-

вательные задачи:

124

 создать мотивацию изучения геометрии во взаимосвязи с ее прак-

тическими приложениями к изучению окружающего мира;

 ввести понятие математической модели на геометрическом мате-

риале;

сформировать представление об этапах метода математического моделирования при решении задач, связанных с приложениями геометрии;

нацелить учащихся на выявление возможностей применения ма-

тематического аппарата при изучении естественного блока школьных дис-

циплин.

На этом этапе предполагается развить понятие математической мо-

дели, сформированное у школьников на интуитивном уровне на пропедев-

тическом этапе. В учебнике алгебры 7 класса автора А.Г. Мордковича

[203] это понятие вводится на примере решения текстовой задачи следую-

щего содержания: «В школе четыре седьмых класса. В 7А учатся 15 дево-

чек и 13 мальчиков, в 7Б – 12 девочек и 12 мальчиков, в 7В – 9 девочек и

18 мальчиков, в 7Г – 20 девочек и 10 мальчиков. Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза

придется осуществлять одну и ту же операцию сложения:

После ее решения автор указывает: «Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся

а девочек и b мальчиков, значит, всего учеников а + b. Такова математи-

ческая модель данной реальной ситуации. Алгебра, в частности, занимает-

ся тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реаль-

ными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойст-

ва, законы, выработанные в алгебре» [203, с. 23].

Такой путь введения понятия математической модели есть необхо-

димость повторить на уроках геометрии в 7 классе для обобщения этого

125

понятия. Например, при изучении начальных геометрических понятий предлагаем использовать следующую схему «Угол» (рис. 3), центральным элементом которой является математическая (геометрическая) модель ре-

ального объекта, выраженная словесно и (или) графически. Далее учитель дает учащимся такое уточнение этого понятия: Математическую модель,

отображающую геометрические свойства объекта, называют геометри-

ческой моделью.

Рис. 3. Схема «Угол»

Аналогичным образом (на примере решения текстовой задачи) в

курсе алгебры вводится трехэтапная схема применения метода математи-

ческого моделирования: «первый этап – составление математической мо-

дели, второй этап – работа с математической моделью, третий этап – ответ на вопрос задачи» [203]. Такая работа проводится в самом начале изучения курса алгебры.

На первых уроках геометрии в 7 классе при изучении основных свойств измерения углов есть возможность показать применение метода математического моделирования по четырем этапам, например, при ре-

шении следующей задачи:

126

 Наблюдая на пристани за отплывающим кораблем можно заме-

тить, что по мере удаления от берега его видимый размер уменьшается.

Как объяснить это явление?

Приведем пример поиска решения задачи согласно выделенным эта-

пам, который учащиеся осуществляют вместе с учителем. Предварительно сделаем следующее замечание. Рассмотренные общий подход к построе-

нию математической модели реального объекта в прикладной математике

(А.Д. Мышкис, А.Н. Тихонов, Г.И. Рузавин), методические исследования по использованию математического моделирования в обучении математи-

ке (А.Я. Блох, А.Г. Мордкович, В.А. Стукалов) показывают, что процесс математизации реального объекта, т.е. перевод условия задачи на матема-

тический язык, определяет выбор математического аппарата для решения задачи. Для того чтобы этот выбор был сделан в соответствии с реальной ситуацией задачи, предлагаем этап математизации проводить по следую-

щему плану:

1.Уяснение смысла нематематических понятий, входящих в условие

задачи.

2.Выделение реальных объектов, значимых для решения задачи. Ус-

тановление связей между этими объектами.

3. Подбор математических интерпретаций, адекватных выделенным реальным объектам.

0 этап. Математизация.

1. Уяснение смысла нематематических понятий, входящих в условие задачи.

Начнем с пояснения, что означают слова «видимый размер». В про-

тивном случае не понятно, что за явление надо объяснить. Мы хорошо знакомы с линейными размерами предметов. Сколько их? Как их принято называть?

(Ответ: три размера – длина, ширина и высота.)

127

При описании свойств математических объектов встречается поня-

тие видимого размера. Часто оно используется в упрощенном виде. Мы го-

ворим, например: «Из точки А отрезок а виден под углом » Такой угол принято называть видимым или угловым размером предмета.

Понятие углового размера очень важно в астрономии. Знание угло-

вого размера (астрономы говорят углового диаметра или видимого диа-

метра) небесного тела позволяет вычислить его линейные размеры. Угло-

вых размеров у предмета может быть бесконечно много, так как имеется бесчисленное число точек наблюдения – вершин углов зрения, под кото-

рыми виден предмет. Иначе говоря, угловой размер предмета зависит от выбранной точки наблюдения. Для решения практических задач выбирают

«удобный» угол зрения, например тот, под которым видна высота рассмат-

риваемого предмета.

2. Выделение реальных объектов, значимых для решения задачи. Ус-

тановление связей между этими объектами.

Теперь выделим объекты условия задачи: наблюдатель, корабль, рас-

стояние от берега до корабля. Они все связаны между собой. Есть еще объ-

екты (берег, пристань), которые не влияют на поиск решения задачи. Но на первоначальном рисунке мы их изобразим. (Возможно предложить школь-

никам и готовый рисунок к условию).

3. Подбор математических интерпретаций, адекватных выделен-

ным реальным объектам.

По этому рисунку сделаем чертеж, отбирая нужные объекты и уста-

навливая к ним подходящие геометрические эквиваленты (рис. 4). Изобра-

зим на одном чертеже два положения корабля по мере удаления от берега.

Точкой О обозначим наблюдателя (точнее его глаз), отрезки АВ и А1В1 –

корабль (или его высота над поверхностью воды), отрезки ОА и ОА1

(ОА<ОА1) – расстояние от наблюдателя до корабля.

128

В В1

Рис. 4

В этом примере этап математизации описан достаточно подробно.

Его изложение может быть сокращено с учетом уровня математической подготовки школьников, их интересов, жизненного опыта и наличия учеб-

ного времени. Однако план реализации этого этапа необходимо довести до сведения учащихся.

1 этап. Формализация. Построенный чертеж и есть геометрическая модель условия задачи. Однако не хватает вопроса задачи. Сформулируем задачу так: луч ОВ1 проходит между сторонами угла АОВ. Какой угол больше: АОВ или А1ОВ1? Почему? В приведенной формулировке зада-

ча встречается в учебнике автора Погорелова А.В. [243, с. 19, зад. 29].

2 этап. Внутримодельное решение. Так как на рис.4 луч ОВ1 прохо-

дит между сторонами угла АОВ и пересекает отрезок АВ с концами на его сторонах, то по свойству измерения углов (градусная мера угла равна сум-

ме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, прохо-

дящим между его сторонами) АОВ> А1ОВ1.

3 этап. Интерпретация. Так как угол, под которым виден корабль с увеличением расстояния уменьшается, тот и его видимые размеры умень-

шаются.

На примере решения этой задачи учитель имеет возможность проде-

монстрировать все четыре этапа метода математического моделирования.

Специальное внимание здесь уделено обучению этапу математизации, его выполнение является наиболее сложным. Содержание этого этапа также нацеливает учащихся на применение математики при изучении физики.

129