Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

В этот период наиболее ярко проявляется бинарность в развитии математики: с одной стороны ее развитие определяют задачи практики,

а с другой стороны результаты, полученные в «чистой» математике, позво-

ляют открывать новые закономерности устройства реального мира. Таким образом, для первых трех периодов развития математики, «…характерна убежденность в том, что эта наука непосредственно отражает свойства ре-

ального мира, лишь в несколько идеализированной форме. Ни у кого не возникало сомнения в том, что существует лишь одна геометрия, данная на все времена Евклидом и непосредственно отражающая свойства реаль-

ного пространства, что свойства производной полностью совпадают с из-

вестными из физики свойствами скорости» [49, с. 29].

В четвертый период взаимодействие математики с объективным миром становится более далеким и опосредованным. Как пишет академик Н.Н. Моисеев, неверно связывать доказательство каждой теоремы или воз-

никновение новой математической теории с конкретным техническим фак-

том, созданием нового технического устройства [198, с. 13]. А.Н. Колмого-

ров в свою очередь отмечает, что связь математики с естествознанием приобретает более сложные формы. Новые теории возникают не только непосредственно из запросов практических областей знаний, но также из внутренних потребностей самой математики [141].

Это подтверждается и фактом построения Н.И. Лобачевским геомет-

рии, отличной от евклидовой. «Лобачевский рассматривал свою геомет-

рию как возможную теорию пространственных отношений; однако она ос-

тавалась гипотетической, пока не был выяснен (в 1868 г.) еѐ реальный смысл и тем самым было дано еѐ полное обоснование» [180]. В статье о Н.И. Лобачевском в математическом энциклопедическом словаре указы-

вается, что новое развитие геометрии теперь определяли три принципа,

следовавшие из идей этого ученого. Первый принцип заключался в том, что логически построить возможно не только евклидову геометрию, но и дру-

гие «геометрии». Второй принцип состоял в построении новых геометри-

21

ческих теорий исходя из основных положений евклидовой геометрии.

Третий принцип гласил, что истинность геометрической теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физическим экспериментом. С момента выделения этих принципов геометрия начинает превращаться в разветвленную и быстро развиваю-

щуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изу-

чающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, ри-

маново и т.д.).

Исторические периоды развития математики свидетельствует о на-

личии постоянной связи этой науки с объектами реального мира. Эта связь усложняется, становится более опосредованной, но не теряет своего значе-

ния. В качестве подтверждения сказанному приведем слова Н.Я. Виленки-

на, характеризующие отношения математики и реальности: «Математика есть учение об общих формах, свойственных реальному бытию… Именно это позволяет применять математические методы, разработанные при ре-

шении задач одной области науки, к совершенно непохожим на них зада-

чам, относящимся к совсем иным областям знания». [49, с.30].

Таким образом, отличительной чертой взаимодействия математики с действительным миром является то, что задачи практики то выходят на первый план и ведут за собой развитие математики, то служат средст-

вом проверки истинности вновь созданных теорий.

Все частные математические методы, используемые для решения оп-

ределенных классов прикладных задач, составляют единый математиче-

ский метод познания действительности. Этот метод – некоторая фило-

софская категория, которая характеризуется рядом особенностей.

М. Клайн выделил их в своей работе «Зарождение математики и ее роль в познании» [139, c. 24].

Первая особенность, по его мнению, состоит во введении основных понятий. Причем, одни подсказаны непосредственно материальным ми-

ром, другие являются продуктом человеческого разума. Например, геомет-

22

рическое понятие «точка» – это абстрактное понятие, которое образовано нашим сознанием в результате наблюдения объектов малых размеров (пес-

чинки, капли воды) или кажущихся малыми при определенных условиях

(космические тела). Понятие прямой заимствовано из реального простран-

ства. Например, представление о прямой дает луч света, проходящий через очень маленькое отверстие. Аналогично можно получить реальный прооб-

раз плоскости, например, пропуская поток света через узкую «прямую» щель. Таким образом, основные геометрические понятия (точка, прямая,

плоскость) возникают при рассмотрении реальных объектов.

Другие понятия, используемые в математике, созданы человеческим разумом и не имеют реальных прообразов. Это векторы, координаты, мно-

гомерные пространства и т.д. Современная математика оперирует огром-

ным числом именно таких понятий. Они образуются в результате много-

ступенчатого наслоения абстракций. Вот как поясняют процесс абстраги-

рования В.Г. Болтянский и Н.Х. Розов: «Исходные, первичные математи-

ческие понятия возникают из объективной реальности, отражая, абстраги-

руя количественные отношения и пространственные формы объектов дей-

ствительности. Но, возникнув, эти понятия как бы живут своей собствен-

ной жизнью, образуя в сознании человека свой собственный мир, сами по-

рождают дальнейшие отражения и новые абстрактные понятия. Эти абст-

рактные понятия в свою очередь снова порождают новые абстракции, так сказать, более высокого порядка и т.д.» [33, c. 8].

Таким образом, вторая особенность математического метода со-

стоит в абстрактности математических понятий. Математик в своих рассу-

ждениях не обращается каждый раз к реальным объектам и отношениям,

а имеет дело с абстрактными понятиями. Современная математика стала наукой, представляющей собой систему, построенную на различных абст-

рактных понятиях и правилах оперирования с ними. В силу своей высокой абстрактности математика уже не имеет дело ни с конкретной природой объектов, ни с конкретным содержанием отношений между ними. Для нее

23

важна структура возможных количественных отношений объектов во всем их многообразии.

Вот как А.Д. Александров описывает процесс развития понятия гео-

метрического тела. Этот процесс сходен с общим ходом возникновения аб-

стракций в математике. В своей практической деятельности, изучая объек-

тивные процессы и явления, человек сталкивался с многообразием форм реальных предметов. Необходимость систематизации знаний о форме и размерах различных реальных предметов и привела к появлению абст-

рактного понятия геометрического тела. А.Д. Александров так пишет об этом: «Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств. При этом геометрия, как свойственно математике вообще, совершенно отвлекается от неопределѐнности и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и опреде-

лѐнными. Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхно-

сти, линии и точки… Дальше возникает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность» [180].

Анализируемую особенность очень точно иллюстрирует цитата из диалога Платона «Государство», которую приводит в своей работе М. Клайн. Платон так говорит о геометрах: «…ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают… для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили» [139, c.17].

На это же обращает внимание И.М. Сеченов, говоря уже о практиче-

ской деятельности человека: «Столяр, измеряя размеры какой-либо подел-

ки ниткой, очень ясно понимает, что тут дело не в толщине нитки, а только в ее длине. Представление о контуре предмета тоже эквивалентно матема-

тической линии: глаз видит контур как границу между фигурой тела и ок-

24

ружающим ровным фоном; но куда отнести эту границу как линию; к ве-

ществу тела или к окружающему фону? Одна математическая линия без размера в толщину выводит ум из затруднения» [225, c. 34].

Третья особенность, согласно М. Клайну, заключается в возможно-

сти идеализировать исследуемый реальный объект. Это означает, напри-

мер, что математик при решении определенных задач может принять Зем-

лю за идеальную сферу. Идеализация, как специфический вид абстрагиро-

вания, обозначает мысленное образование абстрактных объектов, которых не существует и не может существовать в действительности. Для них име-

ются только прообразы в реальном мире, и эти прообразы могут быть ука-

заны с той или иной степенью приближения.

Вот какой пример по этому поводу приводит И. Яглом. Представле-

ние о плоскости дает отшлифованная металлическая пластина. Конечно, не обо всей плоскости, а лишь о небольшом еѐ участке, т.к. всю плоскость представить себе нельзя, «…так как попытка «далеко» продолжить в вооб-

ражении видимую поверхность пластины сразу же поставит перед нами немыслимо сложные вопросы о глобальном строении вселенной. Но и ма-

ленькую часть плоскости наша пластина представляет весьма приближѐн-

но – ведь если мы захотим отшлифовать еѐ до «полной» гладкости, то не-

избежно придѐм в противоречие с атомным строением вещества, и это ещѐ до того, как перед нами встанет вопрос о природе самих образующих пла-

стину атомов, столь далѐких от привычной нам геометрии, что уж на атом-

ном-то уровне и речи быть не может ни о какой плоскости» [362, с. 41].

Еще одним простейшим примером такого объекта может служить отрезок.

Невозможно в реальном мире найти такой предмет, который обладал бы длиной и прямолинейностью, но был бы лишен толщины.

Применение различных математических методов (в качестве методов абстракции и идеализации действительности) к изучению конкретных яв-

лений основано на том, что в процессе изучения явлений реального мира исследователь может временно отвлечься от их качественной природы

25

и сосредоточить свое внимание на количественных закономерностях. По-

скольку количественные отношения во многих качественно различных явлениях оказываются одинаковыми, т.е. с математической точки зрения изоморфными, то математические методы становятся широко примени-

мыми для количественной оценки многих различных по своей природе яв-

лений, встречающихся в различных областях человеческого знания.

Итак, особенности математического метода познания реальности состоят в следующем: основные математические понятия возникли при рассмотрении реальных объектов; абстрактные математические поня-

тия являются отражением реальных объектов и отношений между ними;

идеализированные математические понятия имеют прообразы в реальном мире и представляют различные классы реальных объектов.

Перечисленные особенности математического метода познания объ-

единяет используемый математикой метод рассуждения. Основу его со-

ставляет набор аксиом и применение к этим аксиомам дедуктивного дока-

зательства. По утверждению М. Клайна «…именно дедуктивные выводы из аксиом дают нам возможность получать полностью новое знание, вно-

сящее надлежащие поправки в наши чувственные восприятия. Из многих типов рассуждений … только дедуктивное рассуждение гарантирует пра-

вильность заключения» [139, c.19].

Аксиоматический метод как способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), по-

зволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы)

данной теории, возник еще в Древней Греции при построении элементар-

ной геометрии, а сейчас является одним из наиболее общих методов со-

временной математики. Большое значение для развития аксиоматического метода имело уже упомянутое выше открытие Н.И. Лобачевским неевкли-

довой геометрии. Эта гипотетическая теория оказала большое влияние на всю математику того времени. Как известно, Н.И. Лобачевский заменил постулат Евклида о параллельных другим постулатом (через данную точку

26

в данной плоскости можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную прямую), а затем построил законченную геометрию на базе этой аксиомы и остальных аксиом евклидовой геометрии. Этим он показал, что суть аксиоматического метода состоит в том, что все теоремы могут быть выведены логическим путем из конечного числа не доказывае-

мых предложений – аксиом. Если до Н.И. Лобачевского объекты системы аксиом предполагались известными прежде, то формальная аксиоматика исходит из того, что об объектах системы нам ничего не известно. В даль-

нейшем возникли проблемы более общего математического характера, та-

кие как необходимость доказательства непротиворечивости, полноты и не-

зависимости той или иной системы аксиом, над разрешением которых ра-

ботали Д. Гильберт, а затем К. Гедель.

Действенная сила аксиоматического метода в математике заключает-

ся в том, что он увеличивает число и объем математических дисциплин и помогает связывать воедино такие теории, которые первоначально ока-

зались совершенно обособленными. Этот метод имеет большое значение и для развития прикладной математики, т.к. он позволяет выделить чисто формальные свойства изучаемой системы объектов и отношений между ними, необходимых для развития данной теории. Поэтому аксиоматиче-

ский метод широко используется во многих науках (логике, механике и т.д.) и математизируемых дисциплинах (математической экономике, ма-

тематической лингвистике и т.п.), но исторически он возник в математике и является для нее специфичным. С помощью этого метода математика изучает различные структуры, которые могут встречаться в различных предметных областях. Так, оказалось, что, ранее упомянутая геометрия Лобачевского применима в пространстве релятивистских (т.е. близких к скорости света) скоростей. Это открытие позволило сделать ряд важных шагов в освоении космического пространства.

Итак, сущность математического метода познания состоит в сле-

дующем: изучение действительности средствами математики происхо-

27

дит на основе использования идеализированных понятий, систем аксиом в процессе идеализации, обобщения и абстракции реальных явлений.

Представления об особенностях математического метода познания реальности, об используемом математикой методе рассуждения являются фундаментом математической эрудиции учителя. Это положение соответ-

ствует сложившимся условиям реализации новой образовательной пара-

дигмы во ФГОС общего образования, в которой указывается, что предмет-

ные результаты овладения школьным курсом математики должны обеспе-

чить формирование представлений о социальных, культурных и историче-

ских факторах становления математической науки; формирование пред-

ставлений о математике как части общечеловеческой культуры, универ-

сальном языке науки.

Успешной адаптации идей и методов прикладной математики в школьной практике способствует овладение учителем понятием «мате-

матизация наук» Это понятие, как будет показано далее, является одним из центральных в практико-ориентированном обучении математике в школе.

1.1.2. О прикладной математике и математизации наук

На современном этапе развития математика играет все возрастаю-

щую роль для изучения и преобразования реального мира. Сегодня нет та-

кой области знаний, где в той или иной степени не использовались бы ма-

тематические понятия и методы. Проблемы, решение которых раньше счи-

талось невозможным, успешно решаются благодаря применению матема-

тики, тем самым расширяются возможности научного познания. Совре-

менная математика объединяет различные области знания в единую систе-

му. Этот процесс в школьной практике нашел отражение в виде реализа-

ции идеи изучения и описания реальности с помощью математики, т.е.

в виде обучения практическим приложениям математической теории. Для этого учителю, в частности, необходимо уметь выделять простейшие ма-

тематические закономерности в окружающей действительности, оценивать

28

возможность и необходимость применения математических сведений к разрешению конкретных реальных проблем и готовить к такой деятель-

ности учащихся.

Поэтому в процессе методической подготовки учителю математики необходимо предоставить сведения о сути подобных процессов и сформи-

ровать у него соответствующие профессиональные умения.

Процесс проникновения методов математики в другие науки, упоря-

дочение научных знаний с помощью математики принято называть мате-

матизацией. Как отмечает Г. Фройденталь, сущность математизации со-

стоит в построении математических моделей процессов и явлений и разра-

ботке методов их исследования. С философской точки зрения под матема-

тизацией наук понимают одно из культурных явлений, которое влияет на наши общие представления о мире, о процессе познания, определяет от-

ношение человека к реальности, его понимание возможностей преобразо-

вания объективного мира.

Г. Фройденталь называет математизацию процессом «упорядочения действительности» [335, с. 42]. Необходимость в таком упорядочении воз-

никает вследствие накопления научных знаний в определенной области.

Явление математизации наук довольно сложный и многоаспектный про-

цесс, который может быть изучен с многих точек зрения. Изучение значе-

ния математизации, как средства описания, упорядочения и обобщения достижений различных наук является значимым и в методической подго-

товке учителя.

Когда и почему стал возможен процесс математизации? Как отмеча-

ет Г. Фройденталь, это могло произойти в тот период, когда математиче-

ские методы, используемые другими науками, стали для них не только способами вычислений, но и одним из основных путей проникновения в сущность изучаемых закономерностей. Процесс математизации, как ут-

верждают Р. Курант и Г. Роббинс, зародился в то время, когда математика,

как наука, делала свои первые шаги. Исторические факты свидетельству-

29

ют, что уже Платон имел представление о математике как об организую-

щей силе для других наук, т.к. математическое знание рассматривалось им как наиболее прочное и доказательное. Об этом же свидетельствует, как указывают авторы, утверждение Пифагора о том, что именно числа выра-

жают сущность всего, что есть в мире. С помощью математических зако-

номерностей, например, золотого сечения, проверялась гармоничность и красота произведений архитектуры и искусства в древности.

По мнению Р. Куранта и Г. Роббинса, высокий статус математики

иматематического взгляда на действительность был сохранен и расширен

ив Новое время. Р. Декарт и Г. Лейбниц рассматривали математическое знание как идеал научного знания. Важнейшей составляющей понимания природы, складывавшегося в эпоху научной революции XVII века, было представление о том, что все происходящие в природе процессы носят точный характер и должны быть выражены математически. Эту идею очень точно и образно выражают слова Галилея – «книга Природы написа-

на на языке математики» [159].

Готовые математические структуры, разработанные внутри матема-

тики, как отмечает И.М. Яглом, получают широкое применение в других науках (например, риманова геометрия – в общей теории относительности,

теория линейных операторов в гильбертовом пространстве – в квантовой механике). Более того, математика способна направлять развитие, и даже появление другой науки, «предугадывая» результаты практических иссле-

дований. «Сила математики в первую очередь заключается в том, что воз-

никшие в еѐ рамках числовые системы и формальные схемы доставляют нам некоторый «универсальный ключ», годный для отпирания всех на све-

те замков: они равно приложимы к физике и биологии, технике и социоло-

гии, астрономии и лингвистике» [363, c. 3].

Н.Н. Моисеев утверждает, что существует и обратный процесс в ма-

тематизации наук. Возникновение новых естественнонаучных концепций часто оказывалось связанным с появлением нового математического аппа-

30