Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

Во-вторых, представление практико-ориентированного обучения ма-

тематике в виде линии позволит органично встроить связанное с ней со-

держание методической подготовки учителя в сложившийся курс методи-

ки обучения математике в педвузе.

В-третьих, в рамках настоящего исследования не представляется возможным полностью представить содержание, описать все возможные формы и методы практико-ориентированного обучения математике в шко-

ле. Поэтому представление практико-ориентированного обучения матема-

тике в виде линии позволит задать структуру и идеологию такого обуче-

ния. В результате методической подготовки учитель сможет для заданной структуры (линии), согласно определенным методическим требованиям,

конструировать новые элементы (собственные образовательные продукты).

В школьном курсе математики выделены ряд содержательно-

методических линий. Так в курсе геометрии к стержневым линиям тради-

ционно относят следующие: геометрических фигур и их свойств, геомет-

рических величин, геометрических преобразований на плоскости и в про-

странстве, векторно-координатную и элементов тригонометрии. В кур-

се алгебры и начал анализа к таким линиям отнесены числовая, функцио-

нально-графическая, тождественных преобразований, уравнений и нера-

венств. Отдельно рассматривают и стохастическую линию.

Основой для выделения содержательно-методических линий, по мнению А.Я. Блоха, служат «крупные блоки математического знания и те фрагменты учебного материала, к которым эти блоки особенно удачно применимы с целью их методического изучения» [31]. Нами не обнаруже-

но точного определения понятия «содержательно-методическая линия» в методике обучения математике. На основании того, что «каждая из ли-

ний имеет некоторое количество характерных для нее представлений, по-

нятий и методов применений» [31]. Е И. Лященко выделены составляющие элементы линии: «а) содержание учебного материала в выделенной линии

(понятия и их определения, утверждения и их обоснование, правила и ал-

111

горитмы); б) некоторые методические требования к содержанию и после-

довательности расположения учебного материала (избранная в учебнике трактовка понятий, структура расположения материала и др.); в) наборы математических задач (характеристика их познавательной и обучающей функции)». [172] «Внутри каждой из содержательно-методических линий могут быть использованы различные средства по приданию самой линии

целостности, но они чаще всего будут локальны и применимы для кон-

кретной линии…» [172, с.129]. Таким образом, автором фактически выде-

лена общая структура линии.

В школьном курсе математики Е.И. Лященко отдельно выделяет раз-

личные содержательно-методологические линии [172]. К ним отнесены,

например, линии математического языка, доказательств. От содержа-

тельно-методических они отличаются наличием понятий и методов, кото-

рые изучаются не только внутри линии, но могут быть использованы для раскрытия содержания и установления связей между объектами других линий. Например, линия доказательств, группирует скорее не математиче-

ское, а логическое и эвристическое содержание. Соответствующее содер-

жание объединено аксиоматическим методом, играющим важнейшую роль и в школьной и в вузовской математике. Базовое понятие этой линии, до-

казательство, не только фундаментальное понятие математики-науки, но и общенаучное понятие.

Аналогично рассуждая, заключим, что конструируемая линия прак-

тических приложений математики в школе также является содержательно-

методологической. Методологическая функция линии состоит в изучении понятий и методов, объединяющих содержание не только методических,

но и предметных линий всего школьного курса математики. Линия ППМ объединяет содержание, которое нельзя назвать только математическим.

Это общие сведения о возможных областях приложений математики, зна-

ния о сущности процесса установления соответствия между реальными и математическими объектами и т.п. Математическим методом, интегри-

112

рующим это содержание, очевидно, является метод математического мо-

делирования.

Путем сравнения структур содержательно-методических и содержа-

тельно-методологических линий мы установили, что они характеризуются

базовыми понятиями, содержанием учебного материала, наборами задач,

математическими методами их решения, временем и этапами реализации линий в учебном процессе.

В нашем исследовании сконструируем линию практических прило-

жений математики в школе, представив ее содержательную характеристи-

ку по этим составляющим. Такую линию необходимо и возможно сконст-

руировать для каждого раздела школьного курса математики (алгебра,

геометрия, начала математического анализа и т.д.) на основании единых принципов отбора содержания, этапов, методических приемов обучения и т.п. Раскроем это для школьного курса геометрии. Ряд формулируемых да-

лее положений, очевидно, являются общими для всего школьного курса математики.

Целесообразность практико-ориентированного обучения математике и выделения соответствующей линии подтверждается следующим. Как из-

вестно, математика отражает в своих понятиях и утверждениях объекты окружающего мира и их свойства. Такой метод познания действительно-

сти, опирающийся на построение и изучение моделей реальных явлений,

позволил математике проникнуть во все сферы деятельности и стать уни-

версальным инструментом для описания многих объектов реального мира.

Проявления этого метода в изучении реальности служат теоретическим основанием практико-ориентированного обучения математике в школе.

Целесообразность организации практических приложений математики в школе именно в линию следует из потребности систематизировать такие приложения, определить цели и результаты их изучения школьниками.

Содержание школьного курса геометрии позволяет показывать ее практические приложения. Такой вывод сделан нами на основании истори-

113

ческого анализа, приведенного в первой главе исследования. Традиционны-

ми приложениями, которые встречаются почти во всех учебных пособиях по геометрии для школы, являются построения и измерения на местности.

В советский период этот материал выделялся в отдельный, довольно боль-

шой блок, где изучались и принципы работы ряда геодезических приборов.

Необходимости в изучении элементов геодезии с такой подробностью в на-

стоящее время нет. Овладение приемами решения конкретных практиче-

ских задач, знание принципов работы различных приборов и умения ими пользоваться отнесено к сфере профессионального обучения. Однако это не означает отказа от изучения практических приложений геометрии в целом, а

только переводит этот вопрос на новый, более высокий уровень, подразуме-

вающий формирование у учащихся способности применять научные знания

(и не только математические) для разрешения проблем, возникающих при взаимодействии человека с реальным миром.

Подтверждение следованию этому направлению находим в совре-

менных нормативных документах школьного образования. В концепции

«фундаментального ядра» содержания общего образования ставится «ак-

цент на достижение учащимися способности эффективно использовать на практике полученные знания и навыки» [337, с.7]. Здесь же в пояснитель-

ной записке к содержанию школьного предмета «Математика» прямо ука-

зывается на необходимость овладения таким общематематическим поня-

тием как математическая модель, а в содержании курса геометрии от-

дельным пунктом выделено – «Приложения геометрии».

Таким образом, требования нормативных документов, с одной сто-

роны, исторически сложившаяся практика обучения геометрии, с другой,

позволяют сделать вывод о необходимости и возможности практико-

ориентированного обучения и выделения линии практических приложений в школьном курсе геометрии (и математики, в целом).

К базовому понятию линии естественно отнести понятие математи-

ческой модели, т.к. оно проявляется во всех средствах обучения практиче-

114

ским приложениям математики в школе. Математическим методом выде-

ляемой линии является метод математического моделирования, который одновременно является специальным (частно-методическим) методом обу-

чения и методом решения задач на приложения математики в школе.

Изучение методики реализации линии ППМ в школе, ее теоретиче-

ских основ составляет базовую часть содержания разрабатываемой мето-

дической системы подготовки учителя.

2.1.2. Принципы конструирования линии практических приложений математики в школе

Выделенная нами методологическая функция линии ППМ позволяет сформулировать ведущую идею и принципы ее конструирования. Накоп-

ленный педагогический опыт свидетельствует, что практические приложе-

ния геометрии для их использования в обучении должны быть подобраны неслучайным образом. В этом вопросе мы разделяем мнение автора школьных учебников по геометрии В.А. Гусева. В пояснительной записке к программе своего курса автор пишет: «Мы не хотим превратить геомет-

рию в естественнонаучную дисциплину, мы решаем следующую методи-

ческую задачу: показать, как геометрия помогает познавать окружающий мир, как с помощью геометрии понять его закономерности, как использо-

вать геометрию в практической жизни» [87, с.4].

Продолжая мысль автора, отметим, что приобретенные школьниками умения применять геометрию проявляются при изучении ряда школьных предметов: физики, химии, географии и т.д. Для развития таких умений в курс геометрии традиционно включаются межпредметные задачи. Для того чтобы уроки геометрии не подменяли уроки других дисциплин, при подборе задач межпредметного содержания основной акцент делается на построение математической модели, на выбор подходящего математи-

ческого аппарата. Используемые при этом физические, химические или ка-

кие-либо другие модели задачи достаточно просты. Этот подход перено-

115

сится на подбор всех видов задач на приложения математики. Ведь на уро-

ках математики школьники, прежде всего, обучаются математике.

Руководствуясь изложенным мнением, сформулируем ведущую идею

реализации линии практических приложений математики в школе

и практико-ориентированного обучения математике в целом.

Содержание и методы обучения, используемые при реализации ли-

нии ППМ, направлены на: формирование у школьников понимания роли математики в решении широкого круга проблем, возникающих в учебной,

научной и профессиональной деятельности, в повседневной жизни; фор-

мирование способности использовать полученные знания вне рамок учеб-

ного процесса.

Опираясь на ведущую идею и на известные общедидактические принципы связи обучения с жизнью, теории с практикой [282], нами выде-

лены принципы конструирования линии практических приложений

математики в школе.

1.Математизации знаний.

2.Соответствия областей практических приложений математики познавательным возможностям и интересам учащихся.

3.Доступности для изучения на школьном уровне средств матема-

тизации знаний.

4. Достоверности содержания практических приложений матема-

тики.

5. Открытости содержания линии.

Раскроем, что мы понимаем под каждым из выделенных принципов.

1. Принцип математизации знаний.

Этот принцип означает, что процесс применения математики для изучения и преобразования реальных объектов является методологической основой конструирования линии ППМ. Напомним, что процесс проникно-

вения методов математики в другие науки, упорядочение научных знаний с помощью математики принято называть математизацией. Сущность

116

математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и разработке методов их исследования. [335, с. 42] К основной

особенности процесса математизации мы относим необходимость выделе-

ния из общей ситуации проблемы, которая может быть разрешена средст-

вами математических теорий. Далее строится ее содержательная модель –

непосредственно прикладная задача.

Итак, в процессе познания действительности математика играет все возрастающую роль. Сегодня нет такой области знаний, где в той или иной степени не использовались бы математические понятия и методы. Пробле-

мы, решение которых раньше считалось невозможным, успешно решаются благодаря применению математики, тем самым расширяются возможности научного познания. Современная математика объединяет различные об-

ласти знаний в единую систему. Этот процесс отражен в содержании обу-

чения и в его целях, направленных на овладение учащимися способами изучения и описания реальности с помощью математики. Согласно этому,

школьники должны уметь выделять математические закономерности в ок-

ружающей действительности и понимать возможность и необходимость применения математических сведений к разрешению ситуаций, возникаю-

щих в реальном мире. Учет в обучении математике сформулированного нами принципа математизации знаний позволит обеспечить целостное восприятие учащимися идей прикладной математики и сформирует у них понимание роли математических знаний для решения широкого круга про-

блем.

Этим принципом мы утверждаем, что у каждого выпускника школы должна быть сформирована способность к формализации действительно-

сти, т.е. к выделению математических свойств реальных объектов. Таким образом, формируется «математический взгляд» на окружающий мир. При этом учащийся может не обладать широкими математическими знаниями,

но он должен понимать, что в решении стоящей перед ним проблемы (бы-

товой или профессиональной) может принять участие математика, исполь-

117

зованы присущие ей приемы мыслительной деятельности (синтез, анализ,

аналогия и т.д.).

2. Принцип соответствия областей практических приложений ма-

тематики познавательным возможностям и интересам учащихся.

Принцип означает, что отбор таких областей производится из науч-

ных областей знаний, практических сфер деятельности, среди бытовых и занимательных ситуаций с реальным сюжетом с учетом возрастных инте-

ресов и познавательных возможностей учащихся. Подробнее этот принцип будет раскрыт при формулировании методических требований к фабуле задач, связанных с практическими приложениями математики в школе.

3. Принцип доступности для изучения на школьном уровне средств математизации знаний.

Принцип означает, что математические понятия и методы, исполь-

зуемые для изучения выбранных прикладных областей, не должны выхо-

дить за рамки школьного курса математики. Его содержание может рас-

сматриваться как теоретическая основа практических приложений. Напри-

мер, школьная геометрия является теоретической основой некоторых раз-

делов геодезии и астрономии. Такой подход мотивирует изучение матема-

тики и повышает ее значимость для освоения других дисциплин, способст-

вует формированию математического восприятия действительности («ма-

тематический взгляд» на окружающий мир).

4. Принцип достоверности содержания практических приложений м атематики.

Этот принцип означает необходимость достоверного отражения ре-

альных объектов в сюжетах задач и прикладных иллюстраций. Отобран-

ные для обучения практические приложения математики должны демонст-

рировать школьникам действенность математических методов для изуче-

ния процессов и явлений действительного мира. В практике обучения опи-

сание реальных объектов из-за их сложности и многоаспектности часто возможно дать только в упрощенном, «очищенном» виде. Однако недопус-

118

тимо выхолащивание сути описываемой реальной ситуации и использова-

ние ее только в дидактических целях. Это искажает представления школь-

ников об изучении реальности с помощью математики, делает их недоста-

точно достоверными.

5. Принцип открытости содержания линии ППМ.

Принцип означает, что обеспечивающие реализацию линии ППМ наборы задач, исследовательские и проектные задания, методические раз-

работки элективных и курсов по выбору допускают возможность их до-

полнения образовательными продуктами, созданными учителем. В резуль-

тате методической подготовки студентов к реализации линии ППМ буду-

щие учителя математики должны приобрести опыт создания таких продук-

тов и их использования в своей будущей профессиональной деятельности.

2.1.3. Цели, задачи и этапы реализации линии практических приложений математики в школе

Сформулированные нами принципы конструирования линии ППМ позволяют определить цели, задачи и этапы ее реализации.

Так как базовым понятием линии ППМ является понятие математи-

ческой модели, а математическим методом – метод математического моде-

лирования, то прежде чем перейти к рассмотрению целей, задач и этапов реализации этой линии, представим наше понимание последовательности изучения школьниками элементов метода математического моделирова-

ния. Использованию элементов метода математического моделирования в школе посвящено немало методических исследований, в большинстве из которых выделялись различные этапы и уровни обучения этому методу.

В нашем исследовании мы опираемся на результаты Н.Я. Виленкина [218].

Им выделены «в порядке нарастающей сложности» следующие уровни обучения математическому моделированию, определяющие последова-

тельность изучения понятий, связанных с этим методом. Приведем их. Это обучение:

119

1)«языку», на котором будет вестись моделирование;

2)«переводу» реальной ситуации на данный математический язык;

3)выбору существенных переменных и построение схемы их взаи-

мосвязей;

4)составлению математических выражений реально существующих отношений и связей;

5)решению математически выраженных отношений и связей, истол-

кованию полученного ответа;

6) исследованию полученного решения, и, в частности, простейшим навыкам самоконтроля.

Проанализировав содержание этих уровней, мы сделали вывод о не-

обходимости и целесообразности выделения четырех этапов метода мате-

матического моделирования в обучении математике в школе: математи-

зация (анализ условия), формализация (построение математической моде-

ли условия), внутримодельное решение, интерпретация результата. Чаще выделяют только три этапа: формализация (построение математической модели); внутримодельное решение; интерпретация результата. Но при решении ряда задач не всегда возможно сразу предъявить математическую модель условия. Например, в фабуле задачи присутствует непонятная или неизвестная учащимся нематематическая терминология. Поэтому считаем целесообразным выделить еще один этап – этап математизации, на ко-

тором будет проделана подготовительная работа к составлению мате-

матической модели: проведен предварительный анализ условия задачи с целью установления возможности применения математики для ее реше-

ния, определены все нематематические термины, дана им математическая интерпретация, выявлены отношения между объектами условия задачи,

уяснен смысл задачи в целом.

Итак, в нашем исследовании в качестве этапов метода математиче-

ского моделирования выделяются следующие:

0 этап. Математизация (анализ условия).

120