Czarnowski-proceedings-2015

ПЯТЫЕ ЧАРНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов

помощью метода наименьших квадратов получилось восстановить линейную и степенную зависимости между ценой на смартфон и спросом на смартфон при данной цене, которые наиболее точно описывают функцию спроса, и, в конечном итоге, в соответствии с необходимым условием экстремума функции определить оптимальные цены на смартфоны при различных значениях себестоимостей смартфонов.

Задачи статьи:

Собрать информацию о максимально возможной цене (в руб.), которую потребители готовы заплатить за смартфон, опросив определенное количество человек.

На основе данных опроса построить выборочную функцию спроса.

Методом наименьших квадратов восстановить теоретическую функцию спроса, используя линейную и степенную аппроксимацию.

На основе восстановленных линейной и степенной зависимостей найти розничные цены, максимизирующие прибыль, для нескольких различных значений оптовой цены, и сопоставить результаты между собой.

Построение функции спроса

Опрос был проведен в электронном виде [1] среди потребителей рынка смартфонов. В опросе участвовали 50 человек. Каждый из них назвал максимальную цену, которую он готов заплатить за новый смартфон. Ниже представлены все цены, названные потребителями в ходе проведения опроса. Они колеблются в пределах от 12000 руб. до 100000 руб. Цены указаны в рублях:

30000, 100000, 100000, 20000, 28000, 50000, 32000, 38000, 27000, 27000, 22000, 22000, 70000, 12000, 60000, 35000, 35000, 35000, 40000, 40000, 40000, 40000, 40000, 40000, 30000, 30000, 30000, 30000, 30000, 55000, 50000, 15000, 15000, 15000, 15000, 20000, 20000, 20000, 20000, 25000, 25000, 25000, 20000, 20000, 25000, 25000, 25000, 20000, 20000, 25000.

________________________________________________________

361

ПЯТЫЕ ЧАРНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов

Теперь можно перейти к анализу данных опроса. Необходимо составить таблицу исходных данных – пар чисел (p,

D(p)), где:

p – независимая переменная (цена), руб.; D(p) – зависимая от p величина (спрос), шт.

Упорядочим все значения в порядке возрастания далее в таблице 1. В первом столбце – номера различных значений цены в порядке возрастания (i). Во втором столбце приведены сами значения цены (pi). В третьем столбце указано, сколько раз названо то или иное значение цены (fi). В четвертом столбце указан спрос D(pi) на товар при его цене (pi).

Выборочная функция спроса в зависимости от цены представлена в четвертом столбце таблицы 1, который заполняется снизу вверх на основе следующих рассуждений[2].

Если мы будем предлагать товар по ценам свыше 100000 рублей, то его не купит никто. При цене 100000 рублей появляются 2 покупателя. Если цену понизить до 70000 рублей, тогда товар купят трое – один потребитель, для кого максимальная цена равна 70000 рублям, и те двое, которые были согласны на большую цену в 100000 рублей. Таким образом, четвертый столбец заполняется по правилу: значение в клетке 4- го столбца равно сумме значений в находящейся слева клетке 3- го столбца и в лежащей снизу клетке 4-го столбца.

Данный метод построения функции спроса предложен А.И. Орловым в [3].

________________________________________________________

362

ПЯТЫЕ ЧАРНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов

Таблица 1

Функция спроса на смартфон в табличном виде

Таким образом, 50 опрошенных потребителей назвали 17 конкретных максимально для них допустимых значений цены. Каждое из значений, как видно из третьего столбца таблицы 1, названо от 1-го до 9 раз.

Зависимость спроса от цены - это зависимость 4-го столбца D(pi) от 2-го pi. Зависимость можно представить на графике, в координатах "спрос - цена". Ордината - это спрос D(pi), представленный в процентном соотношении, а абсцисса - цена pi. Данную зависимость можно увидеть далее на рисунке.

________________________________________________________

363

ПЯТЫЕ ЧАРНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов

Рис.1. Выборочная функция спроса

Обработка данных опроса с помощью метода наименьших квадратов

Рассмотренная ранее функция спроса построена на использовании тех значений цены, которые были названы при опросе. Пока мы не знаем, какой будет спрос при других значениях цены. Поэтому целесообразно восстановить функцию спроса при всех возможных значениях цены, а затем использовать эту восстановленную зависимость для расчета оптимальной цены при различных значениях издержек[2]. Восстановить зависимость можно с помощью метода наименьших квадратов.

Пусть есть набор из n пар чисел (pi, D(pi)), i = 1,2,…, n, где pi – независимая переменная (цена), а D(pi) – зависимая (спрос). Предполагается, что переменные связаны зависимостью:

где a и b – параметры, которые неизвестны статистику и подлежат оцениванию, а ek – погрешности, которые искажают

________________________________________________________

364

ПЯТЫЕ ЧАРНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов

зависимость. Среднее арифметическое названных опрашиваемыми цен

введено в модель для облегчения дальнейших выкладок[3].

Параметры a и b линейной зависимости обычно оценивают методом наименьших квадратов, и затем восстановленную зависимость можно использовать для точечного и интервального прогнозирования.

Согласно методу наименьших квадратов, для расчета наилучшей функции, приближающей линейным образом зависимость x от t, следует рассмотреть функцию двух переменных:

Оценки метода наименьших квадратов – это такие значения a* и b*, при которых функция f(a, b) достигает минимума по всем значениям аргументов. Чтобы найти эти оценки, необходимо вычислить частные производные от функции f(a, b) по аргументам a и b, приравнять их к нулю[4]. Затем из полученных уравнений путем внутриматематических преобразований можно найти оценки a* и b*:

(1)

(2)

Таким образом, восстановленная функция, с помощью которой можно прогнозировать, имеет вид

(3)

Итак, теперь можно перейти непосредственно к анализу данных опроса с помощью метода наименьших квадратов. Для начала составим таблицу с исходными данными – парами чисел (p, D(p)) в порядке возрастания значении параметра p. В таблице также укажем значения величин, необходимых для расчета

________________________________________________________

365

ПЯТЫЕ ЧАРНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов

оценок a* и b*. n = 50 – число ответов участников опроса. Данная таблица представлена далее в работе.

Таблица 2

Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов

________________________________________________________

366

ПЯТЫЕ ЧАРНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов

На основе данных таблицы 2 теперь можно найти оценки параметров a* и b* с помощью формул (1) и (2):

Теперь с помощью формулы (3) можно записать восстановленную линейную функцию:

Изобразим на одном графике построенную ранее выборочную функцию спроса и найденную линейную зависимость

(рис.2).

Рис.2. Графики выборочной функции спроса и восстановленной линейной зависимости

Можно заметить, что восстановленная функция хорошо описывает выборочную функцию спроса.

________________________________________________________

367

ПЯТЫЕ ЧАРНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов

Нелинейная зависимость

Вслучае, когда функция спроса не является линейной, существует два подхода для ее построения – параметрический и непараметрический. Рассмотрим первый подход.

Для начала необходимо подобрать семейство функций и по результатам опроса оценить необходимые параметры. Степенной семейство выглядит следующим образом:

Вданной формуле будет полезным преобразование переменных, приводящее задачу к линейному виду. В случае со степенным семейством необходимо прологарифмировать обе части последнего равенства. Получим следующее выражение:

Введем некоторые обозначения:

у = ln D(p), x = ln p, b =ln c.

Исходя из введенных обозначений, имеем линейное уравнение вида:

Таким образом, задача оценивания параметров степенной зависимости сведена к ранее рассмотренной задаче оценивания параметров линейной функции с помощью метода наименьших квадратов. Оценки параметров a* и b*:

Тогда восстановленная линейная функция имеет вид:

Зная, что b =ln c, находим параметр c":

Тогда восстановленная степенная зависимость имеет вид:

Также, как и в примере с линейной аппроксимацией, составляется таблица исходных пар чисел (x = ln p, у = ln D(p)) в порядке возрастания значений параметра x. Далее расчет

________________________________________________________

368

ПЯТЫЕ ЧАРНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов

прогностической степенной функции идет подобным линейной зависимости образом [3], поэтому не имеет смысла снова составлять таблицу с рассчитанными величинами. Вместо этого можно сразу записать конечный ответ – восстановленную степенную функцию, имеющую следующий вид:

Далее на рис.3 можно увидеть графики выборочной и степенной функции спроса.

Рис.3. Графики выборочной функции спроса и восстановленной степенной зависимости

Критерий правильности проведенных расчетов

При отсутствии ошибок в вычислениях сумма исходных значений должна равняться сумме восстановленных. На основе этого условия можно сформулировать критерий для проверки правильности проведенных расчетов:

т.е. сумма D(pi) и сумма D*(pi) должны быть близки друг к

другу.

________________________________________________________

369

ПЯТЫЕ ЧАРНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов

Далее в таблице 3 указаны значения, необходимые для проверки правильности всех расчетов. Некоторые данные взяты из таблицы 2.

Таблица 3

Проверка правильности проведенных расчетов

В соответствии с данными таблицы 3 и формулой (6):

Полученное значение можно считать вполне приемлемым, т.к. в процессе нахождения линейной зависимости некоторые полученные значения были округлены.

________________________________________________________

370