Оглавление

2.1.Приближение функций. Метод наименьших квадратов в классе полиномиальных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.Задание к лабораторной работе «Метод наименьших квадратов» . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.Численные методы вычисления интеграла . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1.Квадратурные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2.Формулы средних прямоугольников, трапеций и Симп-

3.2.3.Составные квадратурные формулы . . . . . . . . . . . . 24

3.2.4.Правило Рунге практической оценки погрешности . . . 27

3.3. Задание к лабораторной работе . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

Оглавление

4.1.Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.Численные методы решения задачи Коши . . . . . . . . . . . . 34

4.2.3. Правило Рунге практической оценки погрешности . . . 37

4.3.Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных

3

Глава 1

Лекция 1 (1-й час)

1.1.Численные методы алгебры. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ)

вида

Перепишем ее в развернутом виде

a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = a1;n+1;

a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = a2;n+1;

(1.1.1)

:::

an1x1 + an2x2 + ::: + annxn = an;n+1:

4

Глава 1. Лекция 1 (1-й час)

1.1.1. Прямой ход метода Гаусса

Предположив, что a11 6= 0, разделим первое уравнение системы (1.1.1) на

a11. Получим

n

Из каждого из оставшихся уравнений в (1.1.1) (i = 2; 3; : : : ; n) вычтем уравнение (1.1.2), умноженное на соответствующий коэффициент ai1. Полу-

чим

n

Предположив, что a122 6= 0, разделим первое уравнение системы в (1.1.3)

Из каждого из оставшихся уравнений в (1.1.3) (i = 3; 4; : : : ; n) вычтем уравнение (1.1.4), умноженное на соответствующий коэффициент a1i2. Полу-

чим

n

=i+1

5

Глава 1. Лекция 1 (1-й час)

Количество арифметических операций при использовании метода Гаусса

составляет порядка const n3.

Для того, чтобы повысить точность вычислений и избежать возможного деления на ноль (см. выше: «Предположив, что a11 6= 0:::»), используют

метод Гаусса с выбором главного элемента.

1.1.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента

Пусть на k-ом шаге (при k = 0 это исходная система уравнений) получена

система уравнений:

Переставляем местами l-ю и (k + 1)-ю строки. Если при этом jakl;k+1j = 0 , то

это означает, что определитель матрицы A равен нулю и система уравнений

либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много (теорема Кронекера-

Капелли).

Далее продолжаем применять стандартный метод Гаусса, пока не спу-

стимся на ступеньку ниже, после чего повторяем процедуру.

Пример. Рассмотрим систему уравнений

6

Глава 1. Лекция 1 (1-й час)

Решение.

1 шаг. Так как ja31j = 8 = max ja0i;1j > ja11j = 1, то переставляем местами

i=1;:::;4

первую и третью строки:

Поделим первую строку на a0011 = 8 и вычтем получившуюся строку из второй, третьей и четвёртой строк, домножив первую строку на a0021 = 3, a0031 = 1, a0041 = 6, соответственно. В результате получим

2 шаг. Так как ja142j = 92 = max ja1i;2j > ja122j = 174 , то переставляем места-

i=2;3;4

ми вторую и четвертую строки:

Поделим вторую строку на a0122 = 92 и вычтем получившуюся строку из

7

Делим третью строку на a0233 = 143 и вычитаем ее из четвёртой строки, домножив третью строку на a0243 = 23. Будем иметь

8

Глава 1. Лекция 1 (1-й час)

1.2.Задание к лабораторной работе «Метод Гаусса с выбором главного элемента»

1.Решить СЛАУ аналитически методом Гаусса с выбором главного элемента (табл. 1.1).

2.Написать программу решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента. Решить с ее помощью СЛАУ.

3.Оформить отчет по лабораторной работе:

а) теоретическая часть, б) аналитическое решение системы,

9

Глава 1. Лекция 1 (1-й час)

в) текст программы, г) результаты решения СЛАУ.

Таблица 1.1. Варианты задания для решения СЛАУ ~ с четырьмя неиз-

A~x = b

вестными в виде j~ методом Гаусса

)

b

A

(

10

11

Глава 1. Лекция 1 (1-й час)

Окончание табл. 1.1.

12