chap_0

5.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.1Дискретна випадкова величина . . . . . . . . . . . . 76

8.2Неперервна випадкова величина . . . . . . . . . . . . 79

8.3Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.3Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

10.2Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10.3Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11.1Нормальний закон розподiлу . . . . . . . . . . . . . . 111

11.2Рiвномiрний закон розподiлу . . . . . . . . . . . . . . 116

11.3Показниковий закон розподiлу . . . . . . . . . . . . . 117

11.4Бiномний розподiл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

11.5Розподiл Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

11.7Розподiл Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11.8Розподiл Фiшера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

11.9Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.10Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

12.1Нерiвнiсть Чебишова . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

12.2Теорема Чебишова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

12.3Теорема Бернуллi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

12.4Центральна гранична теорема . . . . . . . . . . . . . 138

12.5Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

12.6Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

13.3Довiрчi iнтервали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

13.4Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

13.5Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

14.1Поняття статистичних гiпотез . . . . . . . . . . . . . 156

14.2Гiпотези про рiвнiсть середнiх значень . . . . . . . . 161

14.3Гiпотези про середнє значення . . . . . . . . . . . . . 167

14.4Гiпотези про дисперсiю . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

14.5Гiпотеза про рiвнiсть дисперсiй . . . . . . . . . . . . 172

14.6Контрольнi питання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

14.7Задачi роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Останнє зауваження стосується безпосередньо полiграфiї. Зрозумiло, що посiбник складне видання з великою кiлькiстю формул, графiкiв, таблиць, перехресних посилань, рiзноманiтних спискiв i iнших об’єктiв. Тому студентам видавничо-полiграфiчного iнституту буде корисно познайомитися з технологiєю пiдготовки цього друкованого видання. Посiбник вiд першої до останньої сторiнки зформатований системою автоматичного верстання складних видань LATEX 2". Використовуючи посiбник, читач зможе оцiнити можливостi цього програмного продукту. В одному з додаткiв помiщена стаття В.О. Кохановського "Система технiчного редагування LATEX знайомство з якою буде корисним для укладачiв i авторiв технiчно складних фiзико-математичних та iнженерних науково-педагогiчних видань.

Автори висловлюють подяку доктору фiз.-мат. наук професору Братiйчуку М. С. за консультацiї та обговорення рукопису посiбника.

Приклад 1.1. З елементiв a; b; c можна утворити такi перестановки:

(a; b; c); (a; c; b); (c; a; b); (c; b; a); (b; c; a); (b; a; c):

Теорема 1.1. Число всiх перестановок iз n елементiв визначається формулою

Д о в е д е н н я. Уявiмо собi, що маємо n мiсць i будемо розмiщати n елементiв на цих мiсцях.

a1 a2 a3 : : : an 1 an

: : :

Коли будемо помiщати елемент на k-те мiсце, то будемо говорити, що виконуємо операцiю k-того типу.

Очевидно, що кожне розмiщення вiдповiдає певнiй перестановцi. Розмiщення будемо розпочинати вiд першого мiсця (тобто вiд лiвої до правої сторони). На перше мiсце можемо поставити кожний з n елементiв i, отже, маємо n операцiй першого типу. На друге мiсце можемо поставити кожний з решти n 1 елементiв, оскiльки один елемент уже зайнятий (вiн стоїть на першому мiсцi), i, тому, маємо n 1 операцiй другого типу. На третьому мiсцi можемо поставити кожний з решти n 2 елементiв, оскiльки два вже зайнятi. Аналогiчно, на четвертому мiсцi можемо поставити кожний з n 3 елементiв i т.д. На останнє n-те мiсце залишиться лише один елемент. Отже, наше розмiщення складається з n операцiй першого типу, n 1 операцiй другого типу i т.д., однiєї операцiї n-того типу. Тому, згiдно з головним принципом комбiнаторики число всiх розмiщень дорiвнюватиме n(n 1)(n 2) 2 1 = n!.

З а у в а ж е н н я. Оскiльки перестановки то просто упорядкування елементiв даної множини, то теорема 1.1 може бути такою:

Теорема 1.2. Множину з n рiзних елеметiв можна упорядкувати n! рiзними способами.

Приклад 1.2. Знайти скiльки п’ятицифрових чисел можна утворити з цифр 3; 5; 7; 2; 6.

Ро з в’ я з о к. Оскiльки серед даних чисел немає однакових i нуля, то переставляючи цифри в числi 35726, ми щоразу будемо отримувати нове п’ятизначне число. Отже, нам потрiбно знайти число перестановок iз 5 елементiв, тобто

P5 = 1 2 3 4 5 = 120:

Приклад 1.3. Знайти скiльки п’ятицифрових чисел можна утворити з цифр 3; 5; 7; 0; 6:

Р о з в’ я з о к. Оскiльки серед даних чисел є нуль, то на вiдмiну вiд попереднього прикладу не всi перестановки нас улаштовують. Так, число 03576 не є п’ятизначним. Отже, вiд числа всiх можливих рiзних перестановок з 5 елементiв нам потрiбно вiдняти число тих у яких нуль стоїть на першому мiсцi, а таких перестановок буде рiвно P4 = 24. Вiдповiдь буде така:

P5 P4 = 5! 4! = 120 24 = 96.

Згiдно означення 1.1 перестановки мiстять стiльки ж елементiв, що й сама множина. Однак, в комбiнаторицi часто виникає потреба розглядати впорядкованi записи з меншою кiлькiстю елементiв. Так, наприклад, якщо множина складається з п’яти елементiв, то можна поставити питання, скiльки iснує впорядкованих записiв, що складаються iз трьох елементiв цiєї множини?

Означення 1.2. Нехай дано множину n рiзних елементiв. Упорядкований запис iз k (1 k n) елементiв даної множини називається варiацiєю k-елементовою з множини n-елементової. Число всiх таких варiацiй позначають Akn.

Якщо число k дорiвнюватиме n, то така варiацiя спiвпаде з перестановкою. Для варiацiй, так само як i для перестановок, порядок запису елементiв є iстотний. Так, наприклад, упорядкованi пiдмножини (1; 2; 3), (3; 2; 1) iз множини f1; 2; 3; 4; 5g є рiзними варiацями. Нагадаємо, що варiацiї ще часто називають розмiщеннями.

Приклад 1.4. З множини H = fa; b; cg можемо утворити наступнi 2-елементовi варiацiї:

(a; b); (b; a); (a; c); (c; a); (b; c); (c; b):

Приклад 1.5. Скiльки натуральних чисел можна утворити з цифр 3; 5; 7; 2?

Р о з в’ я з о к. Iз даних цифр можна утворювати чотирицифровi, трицифровi, двоцифровi та одноцифровi числа. Тому потрiбно пiдрахувати сумарне число можливих варiацiй

N = A44 + A34 + A24 + A14:

Оскiльки

A44 = 24; A34 = 24; A24 = 12; A14 = 4;

то вiдповiдь буде така

N = 24 + 24 + 12 + 4 = 64:

Нехай маємо множину з n рiзних елементiв i довiльне натуральне число k. Розглянемо впорядкований запис, що складається з k елементiв даної множини, причому можливе повторення цих елементiв. Такi записи називаються варiацiями з повтореннями. Якщо, наприклад, множина складається з двох елементiв a та b, то наступнi записи

(a; a; a); (b; b; b); (a; a; b); (a; b; a); (b; a; a); (a; b; b); (b; a; b); (b; b; a)

будуть 3-елементовi варiацiї з повтореннями. Число таких варiа-

цiй позначатимемо k . Неважко переконатися в справедливостi

An

наступної формули

Нехай ми маємо деяку множину елементiв, в якiй елемент a1 повторюється n1 разiв, елемент a2 повторюється n2 разiв i т.д., елемент ak повторюється nk разiв. Виникає питання, скiльки рiзних перестановок можна утворити, переставляючи данi елементи?