chap_0

3.3Контрольнi питання

1.Дайте означення ймовiрностi для елементарних подiй.

2.Дайте означення ймовiрностi для довiльної подiї.

3.Чому дорiвнює ймовiрнiсть достовiрної та неможливої подiї?

4.Як пов’язанi ймовiрностi протилежних подiй?

5.Чому дорiвнює ймовiрнiсть суми двох сумiсних подiй?

6.Чому дорiвнює ймовiрнiсть суми двох несумiсних подiй?

7.При якiй умовi ймовiрнiсть суми двох подiй дорiвнює сумi їх ймовiрностей?

8.При якiй умовi ймовiрнiсть рiзницi двох подiй дорiвнює рiзницi їх ймовiрностей?

9.Чи може ймовiрнiсть суми двох подiй перевищувати суму їх ймовiрностей?

10.Зформулюйте класичне означення ймовiрностi. В чому полягає його недолiк?

11.Зформулюйте статистичне означення ймовiрностi. В чому полягає його недолiк?

12.В чому суть аксiоматичного означення ймовiрностi? Його переваги?

3.4Задачi роздiлу

3.1.Кинутi два кубики. Знайти ймовiрностi таких подiй: a) сума очок, що випали, дорiвнює семи; б) сума очок, що випали, дорiвнює восьми, а рiзниця чотирьом; в) сума очок, що випали, дорiвнює восьми, якщо наперед вiдомо, що їх рiзниця дорiвнює чотирьом; г) сума очок, що випали, дорiвнює п’яти, а добуток – чотирьом. Вiдповiдь. а) 1/6; б) 1/18; в) 1/2; г) 1/18.

3.2.В урнi є 7 бiлих та 5 чорних куль. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) навмання вийнята куля буде чорною; б) двi навмання вийнятi кулi будуть чорними. Вiдповiдь. а) 5/12; б) 5/33.

3.3.У ящику є 15 деталей, iз яких 10 – пофарбованi. Складальник навмання виймає три деталi. Знайти ймовiрнiсть того, що вийнятi деталi виявляться пофарбованими. Вiдповiдь. 24/91.

3.4. У конвертi серед 100 фотокарток знаходиться одна фотокартка що розшукується. З конверта навмання вийнято 10 карток. Знайти iмовiрнiсть того, що серед них буде потрiбна.

Вiдповiдь. 1 C999 =C10010 = 1=10.

3.5.Абонент, що набирає номер телефону, забув три останнi цифри. Пам’ятаючи лише те, що забутi цифри рiзнi, вiн набирає номер навмання. Знайти ймовiрнiсть того, що набранi потрiбнi цифри. Вiдповiдь. 1=(10 9 8) = 1=720.

3.6.У бригадi працює вiсiм чоловiкiв та шiсть жiнок. Для виконання завдання довiльно видiлено десять працiвникiв. Знайти ймовiрнiсть того, що серед призначених буде чотири жiнки.

Вiдповiдь. C64C86=C1410 = 60=143.

3.7.У групi 12 студентiв, серед яких 8 вiдмiнникiв. Навмання вiдiбрано 9 студентiв. Знайти ймовiрнiсть того, що серед вiдiбраних студентiв буде 5 вiдмiнникiв. Вiдповiдь. C85C44=C129 = 14=55.

3.8.Яка ймовiрнiсть того, що у 12 студентiв днi народження припадають на рiзнi мiсяцi? Вiдповiдь. 12!=1212.

3.9.У групi 12 студентiв. Яка ймовiрнiсть того, що принаймнi два з них народились в одному мiсяцi? Вiдповiдь. 1 (12!=1212).

3.10.У групi r студентiв. Обчислити ймовiрнiсть того, що принаймнi два з них народилися в тому самому мiсяцi.

Вiдповiдь. 1 (Ar12=12r).

3.11.У групi є r студентiв. Яка ймовiрнiсть того, що принаймнi у двох iз них збiгаються днi народження? Вiдповiдь. 1 (Ar365=365r).

3.12.Серед N виробiв знаходиться M бракованих. Навмання беруть n виробiв. Яка ймовiрнiсть того, що серед них бiльше, нiж m

3.13. У лотереї є n бiлетiв, серед них m таких, що виграють. Обчислити ймовiрнiсть виграшу для того, хто має r бiлетiв?

Вiдповiдь. Pr Cs Cr s =Cr .

s=1 m n m n

3.14. На екзаменi може бути запропоновано N питань. Студент знає вiдповiдi на n питань. Екзаменатор задає студентовi k питань, а для того щоб скласти екзамен, треба вiдповiсти не менше, як на r питань (r < k). Яка ймовiрнiсть того, що студент складе

екзамен? Вiдповiдь. Pk CsCk s =Ck .

s=r n N n N

3.15.На рiзнi клiтинки шахової дошки довiльним чином поставили двi тури (бiлу та чорну). Яка ймовiрнiсть, що вони опиняться пiд ударом одна одної? Вiдповiдь. 64 14=(64 63) = 2=9.

3.16.На полицi розставленi довiльно 10 книжок, серед яких є три найпотрiбнiшi. Яка ймовiрнiсть, що цi три книжки будуть поряд?

Вiдповiдь. 3! 8!=10! = 1=15.

3.17.Студенти зiбралися у театр. Було куплено 37 квиткiв (ряд у партерi), якi потiм випадковим чином роздали студентам. Яка ймовiрнiсть того, що студент А та студентка В будуть сидiти у театрi поруч? Вiдповiдь. 36! 2=37! = 2=37.

3.18.n дiвчат та n хлопцiв займають довiльним чином 2n мiсць за круглим столом. Яка ймовiрнiсть того, що: а) жоднi двi дiвчини не будуть сидiти поруч; б) усi дiвчата будуть сидiти поруч?

Вiдповiдь. а) 2(n!)2=(2n)!; б) (n + 1)(n!)2=(2n)!.

3.19.Кубик пiдкидають шiсть разiв. Обчислити ймовiрнiсть того, що випадуть всi шiсть граней. Вiдповiдь. 6!=66.

3.20.Пiдкидають 12 кубикiв. Яка ймовiрнiсть того, що кожне з чисел 1; 2; : : : ; 6 випаде двiчi? Вiдповiдь. 12!=(26 612).

3.21.У лiфтi 7 пасажирiв; лiфт зупиняється на 10-ти поверхах. Яка ймовiрнiсть того, що жоднi два пасажири не вийдуть на тому самому поверсi? Вiдповiдь. A710=107.

3.22.Для зменшення загальної кiлькостi iгор 2n команд розбивають на двi пiдгрупи по n команд кожна. Яка ймовiрнiсть того, що двi найбiльш сильнi команди виявляться: а) у рiзних пiдгрупах? б) в однiй пiдгрупi? в) яка ймовiрнiсть того, що чотири найбiльш сильнi команди попадуть по двi в рiзнi пiдгрупи?

Вiдповiдь. а) C21C2nn 12=C2nn = n=(2n 1); б) 2C22C2nn 22=C2nn = (n 1)=(2n 1);

в) C42C2nn 24=C2nn.

3.23. Розглянемо квадртане рiвняння Ax2+Bx+C = 0, де A; B; C визначаються вiдповiдно як результати трьох послiдовних пiдкидань кубика. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) рiвняння має дiйснi коренi; б) рiвняння має рацiональнi коренi.

Вiдповiдь. а) 43=216; б) 5=54.

3.24. Довести, що бiльш ймовiрно при пiдкиданнi чотирьох кубикiв одержати принаймнi одну одиницю, нiж при 24 пiдкиданнях

двох кубикiв одержати принаймнi один раз двi одиницi. (Вiдповiдь вiдома як "парадокс де-Мере". Придворний кавалер i азартний гравець Шевальє де-Мере, сучасник Блеза Паскаля, вважав цi ймовiрностi рiвними i звинувачував математикiв у своїх програшах).

3.5Геометричнi ймовiрностi

Iснує клас практично важливих задач, у яких подiї трактуються як пiдмножини прямої, площини чи простору. Якщо множина A є частина деякої унiверсальної множини M, то ймовiрнiсть подiї A визначається як вiдношення мiри множини A до мiри множини

M:

де – мiра множини. Зокрема, мiрою може бути довжина вiдрiзка, площа або об’єм фiгури.

Приклад. У круг радiуса R навмання кидають точку. Тодi, ймовiрнiсть того, що точка опиниться всерединi вписаного в коло ква-

драта дорiвнюватиме вiдношенню площi квадрата S1 = 2R2 до площi круга S2 = R2, тобто 2 .

3.25.На площинi проведенi два концентричних кола, радiуси яких 5 та 10 см. Знайти ймовiрнiсть того, що точка, кинута навмання на великий круг, попаде також i в кiльце, утворене концентричними колами. Вiдповiдь. 3=4.

3.26.Стержень довжиною l навмання розламали на двi частини. Яка ймовiрнiсть того, що довжина меншої частини не перевищуватиме l=3? Вiдповiдь. 2=3.

3.27.У круг радiуса R вписано правильний n-кутник. У круг кидають навмання точку. Яка ймовiрнiсть того, що точка попаде всередину n-кутника?

3.28.На паркетну пiдлогу навмання кидають монету дiаметром d. Паркет має форму квадратiв iз стороною a (a > d). Яка ймовiрнiсть того, що монета не перетне жодної зi сторiн квадратiв паркету?

Вiдповiдь. (1 d=a)2.

3.29. На площинi проведено паралельнi прямi, вiдстанi мiж якими 2a. На площину навмання кидають круг радiуса r (r < a). Яка ймовiрнiсть того, що круг не перетне жодну з прямих?

Вiдповiдь. 1 r=a.

3.30. Вiдрiзок довжиною a довiльним чином ламають на три частини. Яка ймовiрнiсть, що з цих частин можна скласти трикутник?

Розв’язання. Нехай x – довжина першої частини вiдрiзка, y – довжина другої частини. Тодi, довжина третьої частини вiдрiзка дорiвнюватиме a (x + y). Очевидно, що x, y та a x y – додатнi величини, кожна з яких менша a. Зазначенi умови описують множину допустимих точок M:

Для того щоб iз трьох частин вiдрiзка можна було побудувати трикутник, необхiдно й достатньо, щоб кожна сторона трикутника була менша суми двох iнших сторiн. Вiдповiдна цiй умовi множина A буде множиною сприятливих точок:

На рис. 3.1 зображенi множини M та A. Скориставшись формулою (3.5), будемо мати вiдповiдь.

3.31. Яка ймовiрнiсть того, що з трьох навмання взятих вiдрiзкiв довжиною не бiльше a можна побудувати трикутник?

Вiдповiдь. 1=2.

3.32. На одиничному вiдрiзку навмання взяли двi точки. Яка ймовiрнiсть того, що вiдстань мiж ними менша k, де 0 < k < 1?

Рис. 3.1. Якщо точка (x; y) попаде в область А, то з вiдрiзкiв x, y та a x y можна побудувати трикутник

Рис. 3.2. Якщо точка (x; y) належить А, то модуль рiзницi її координат менший k

Розв’язання. Позначимо через x та y взятi точки. Вимога, щоб вiдстань мiж x та y була менша k, рiвносильна нерiвностi

jx yj < k , x k < y < x + k:

На рис. 3.2 зображена вiдповiдна множина точок, що задовольняють цю нерiвнiсть. Скориставшись формулою (3.5), отримаємо вiдповiдь p = 1 (1 k)2:

3.33. Два судна повиннi пiдiйди до одного причалу. Появи суден – незалежнi випадковi подiї, рiвноможливi протягом доби. Знайти ймовiрнiсть того, що одному iз суден доведеться чекати звiльнення причалу, якщо час стоянки першого судна – одна година, а другого – двi години.

Рис. 3.3. Геометрична iлюстрацiя задачi Бюфона

Вiдповiдь. (242 0; 5 (222 + 232))=242 0; 12.

3.34. (Задача Бюфона). На площинi проведенi паралельнi прямi, вiдстань мiж якими дорiвнює 2a. На цю площину кидають голку довжиною 2l. Яка ймовiрнiсть, що вона перетне одну з прямих? Розв’язання. Розглянемо систему випадкових величин (x; '), де x

– вiдстань вiд середини голки до найближчої прямої, а ' – кут мiж голкою та цiєю прямою (див. рис. 3.3). Областю допустимих значень точки (x; ') є прямокутник M

0 x a; 0 ' :

Неважко переконатись, що голка перетне одну з прямих лише у випадку, коли

x l sin ':

На рис. 3.3 зображена множина A точок, що задовольняють цю нерiвнiсть. Скориставшись формулою (3.5), отримаємо вiдповiдь1

1У науковiй лiтературi згадується факт про серiю пiдкидань голки реально виконану одним дослiдником. Для експерименту була взята голка довжиною 7,2 см, а вiдстань мiж сусiднiми паралельними прямими становила 9 см. Дослiдник пiдкинув голку 500 разiв, при цьому частота перетину голки з паралельними прямими виявилась рiвною 0,5064. Можна спробувати на основi рiвностi p = a2l знайти наближене число

Отримане значення досить близьке до реального.

Рис. 3.4. Модель падiння монети

p = R0 l sin ' d' = 2l :a a

3.35.Iз множини всiх можливих трикутникiв навмання взяли один. Яка iмовiрнiсть, що вiн гострокутний? Вiдповiдь. 1=4.

3.36.Якої товщини повинна бути монета, щоб iмовiрнiсть падiння її на ребро дорiвнювала 1=3?

Розв’язання. Монету можна розглядати як цилiндр iз дiаметром основи d i висотою h. Упишемо цей цилiндр у кулю радiуса R. Якщо перпендикуляр, опущений з центра кулi до поверхнi землi, перетне бiчну поверхню цилiндра, то можна припустити, що монета впаде на ребро (див. рис. 3.4). Скориставшись формулами для площi сфери S = 4 R2 та площi поверхнi сферичного сегмента2 S = 2 R(R h=2), послiдовно будемо мати:

2Площа сферичної поверхнi сегмента дорiвнює добутку довжини великого кола на висоту сегмента

3.37. У коло вписано правильний трикутник. а) Яка ймовiрнiсть того, що точка, яка кинута навмання всередину кола, попаде всередину трикутника? б) У середину кола кинуто навмання 13 точок. Яка ймовiрнiсть того, що в кожному iз сегментiв буде по 3 точки, а всерединi трикутника – 4 точки?

Роздiл 4

Умовнi ймовiрностi

4.1Незалежнiсть подiй

Означення 4.1. Подiї A та B називаються незалежними, якщо

Приклад 4.1. Подiя та довiльна подiя A є незалежними, оскiльки

p( A) = p(A) = 1 p(A) = p( )p(A):

Приклад 4.2. Якщо p(A) = 0, то для довiльної подiї B подiї A та B є незалежними.

Дiйсно, оскiльки p(AB) p(A) = 0, то p(AB) = 0. Далi маємо p(AB) = 0 p(B) = p(A)p(B):

Приклад 4.3 (двократне пiдкидання кубика). У цьому випадку= f(i; j); i; j = 1; : : : ; 6g. Розглянемо подiї:

A =fпри першому пiдкиданнi випаде 1g = f(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6)g;

B =fпри другому пiдкиданi випаде 1g = f(1; 1); (2; 1); (3; 1); (4; 1); (5; 1); (6; 1)g;

C =fсума очок менша вiд 4g = f(1; 1); (1; 2); (2; 1)g:

42