chap_0
.pdfГ.1. ЗАСТОСУВАННЯ КРИТЕРIЮ 2 |
233 |
Чи свiдчать цi данi про зв’язок мiж палiнням i дихальною функцiєю?
Г.34. Гострота зору. У таблицi зiбрано данi про (гостроту зору в 3242 чоловiкiв вiком 30 - 39 рокiв службовцiв Королiвських артилерiйських заводiв Великобританiї (1943 - 1946 рр.) (гострота зору визначається неозброєним оком за ступенями: вищий, другий, третiй, нижчий). Чи можна на пiдставi цих даних зробити висновок про те, що гострота зору правого i лiвого очей не пов’я- занi мiж собою?
Ступiнь |
|
Ступiнь (лiве око) |
|
|
|
(праве око) |
Вищий |
Другий |
Третiй |
Нижчий |
Сума |
Вищий |
821 |
112 |
85 |
35 |
1053 |
Другий |
116 |
494 |
145 |
27 |
782 |
Третiй |
72 |
151 |
583 |
87 |
893 |
Нижчий |
43 |
34 |
106 |
331 |
514 |
Сума |
1052 |
791 |
919 |
480 |
3242 |
Г.35. Катастрофи на вугiльних шахтах. Нижче наведено iнтервали (у днях) мiж послiдовними катастрофами на вугiльних шахтах Великобританiї з 1875 по 1951 р. Катастрофою вважається така ситуацiя, що призводить до загибелi 10 i бiльше чоловiк. (Данi запозиченi з працi Мег’ю, Пiрсона i Вiнна (Маguiге В.А., Pеагsоn Е.S., Wупп А.Н.А. The timе intervals between industrial accidents, Вiотеtriка, 39 (1952), 168 - 180), їх слiд читати по рядках.)
234 |
|
|
ДОДАТОК Г. РОЗРАХУНКОВА РОБОТА 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
378 |
36 |
15 |
31 |
215 |
11 |
137 |
4 |
|
|
15 |
72 |
96 |
124 |
50 |
120 |
203 |
176 |
|
|
55 |
93 |
59 |
315 |
59 |
61 |
1 |
13 |
|
|
189 |
345 |
20 |
81 |
286 |
114 |
108 |
188 |
|
|
233 |
28 |
22 |
61 |
78 |
99 |
326 |
275 |
|
|
54 |
217 |
113 |
32 |
23 |
151 |
361 |
312 |
|
|
354 |
58 |
275 |
78 |
17 |
1205 |
644 |
467 |
|
|
871 |
48 |
123 |
457 |
498 |
49 |
131 |
182 |
|
|
255 |
195 |
224 |
566 |
390 |
72 |
228 |
271 |
|
|
208 |
517 |
1613 |
54 |
326 |
1312 |
348 |
745 |
|
|
217 |
120 |
275 |
20 |
66 |
291 |
4 |
369 |
|
|
338 |
336 |
19 |
329 |
330 |
312 |
171 |
145 |
|
|
75 |
364 |
37 |
19 |
156 |
47 |
129 |
1630 |
|
|
29 |
217 |
7 |
18 |
1357 |
|
|
|
|
Перевiрити гiпотезу про показниковий розподiл iнтервалiв мiж катастрофами.
Г.36. Цифри в десятковому запису числа . Нижче наведено данi про появу цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 серед перших 800 знакiв числа .
k |
nk |
|
k |
nk |
0 |
74 |
|
5 |
73 |
1 |
92 |
|
6 |
77 |
2 |
83 |
|
7 |
75 |
3 |
79 |
|
8 |
76 |
4 |
80 |
|
9 |
91 |
|
|
|
Разом |
800 |
Тут k цифра в десятковому запису числа ; nk кiлькiсть появ цифри серед перших 800 знакiв числа . Чи узгоджується гiпотеза про рiвноймовiрнiсть появ кожної цифри в десятковому запису числа з наведеними даними?
Г.37. Колiр волосся та колiр брiв. У таблицi наведено розподiл кольору волосся та кольору брiв у 46 542 шведських призовникiв.
Г.1. ЗАСТОСУВАННЯ КРИТЕРIЮ 2 |
|
235 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Колiр волосся |
|
|
||
|
Колiр брiв |
Бiлясте, руде |
|
Темне |
Разом |
|
|
Бiлястi, рудi |
30472 |
|
3238 |
33710 |
|
|
Темнi |
3364 |
|
9468 |
12832 |
|
|
Разом |
33836 |
|
12706 |
46542 |
|
Чи свiдчать цi данi про зв’язок мiж кольором волосся та кольором брiв?
Г.38. При n = 4040 пiдкиданнях монети Ж.Бюффон отримав 2048 випадань "герба"i 1992 випадань "решки". Чи узгоджується з цими даними гiпотеза: ймовiрнiсть випадань "герба"дорiвнює
1=2?
Додаток Д
Розрахункова робота 5
Д.1 Кореляцiя
Короткi теоретичнi вiдомостi. Нехай в результатi n випробувань одержанi точки (x1; y1), (x2; y2),. . . , (xn; yn), якi можна вважати значеннями випадкової величини (x; y). Потрiбно знайти коефiцiєнт кореляцiї цiєї сукупностi випадкових значень.
Обчислення будемо проводити за такою схемою:
1) Знайдемо середнi статистичнi значення для величин x та y:
Pn
x = i=1 xi ; n
Pn
y = i=1 yi : n
2) Обчислимо дисперсiю, середнє квадратичне вiдхилення та коварiацiю:
d(x) = |
n |
x2 |
x |
|
; |
d(y) = |
|
n |
y2 |
y ; |
||||||
P n |
i |
2 |
Pi n |
i |
||||||||||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
2 |
|
|
||||
c(x; y) = Pi |
n |
xy; (x) = pd(x); (y) = pd(y): |
||||||||||||||
|
n=1 xiyi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Знайдемо коефiцiєнт кореляцiї за формулою |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
r(x; y) = |
c(x; y) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x) (y) |
|
|
|
|
|
|
|
||
236
Д.2. IНДИВIДУАЛЬНI ЗАВДАННЯ |
237 |
4) Запишемо рiвняння прямих регресiї, користуючись рiвняннями:
y(x) y = r |
(y) |
(x x); |
x(y) x = r |
(y) |
(y y): |
|
|
|
|
||||
(x) |
(x) |
|||||
Цi прямi одержуються методом найменших квадратiв вiдносно осей OY та OX вiдповiдно. Якщо коефiцiєнт кореляцiї за модулем близький до одиницi, то можна вважати, що величини x, y звязанi мiж собою лiнiйно.
Д.2 Iндивiдуальнi завдання
За даними варiантiв обчислити середнi значення, середнi квадратичнi вiдхилення та коефiцiєнт кореляцiї.
Знайти рiвняння обох лiнiй регресiї.
Побудувати графiки лiнiй регресiї та данi точки (xi; yi).
Табл. Д.1. Початковi данi для варiантiв завдань
Варiант 1
( 0.49; 0.61) |
( 1.09; 0.45) |
( 1.56; -0.48) |
( 2.87; -1.10) |
( 4.34; -2.95) |
( 4.65; -3.88) |
( 5.69; -2.36) |
( 7.20; -5.45) |
( 7.53; -9.39) |
( 8.70; -10.4) |
(10.35; -5.30) |
(11.14; -15.0) |
Варiант 2 |
|
|
|
(-0.09; 2.12) |
( 1.38; 0.95) |
( 2.06; 0.32) |
( 2.99; -0.36) |
( 3.61; -0.35) |
( 4.89; -3.34) |
( 5.71; -4.71) |
( 7.30; -2.42) |
( 8.06; -4.16) |
( 8.63; -4.79) |
(10.03; -10.4) |
(11.20; -10.1) |
Варiант 3 |
|
|
|
( 0.41; 2.48) |
( 1.10; 2.30) |
( 2.42; 0.12) |
( 3.41; -1.45) |
( 4.24; -1.84) |
( 4.63; -3.39) |
( 6.06; -5.25) |
( 7.15; -1.38) |
( 7.57; -4.03) |
( 8.91; -9.26) |
(10.31; -11.9) |
(10.81; -8.94) |
Варiант 4 |
|
|
|
238 |
ДОДАТОК Д. РОЗРАХУНКОВА РОБОТА 5 |
( 0.23; 3.68) |
( 1.34; 2.17) |
( 2.50; 1.15) |
( 2.51; 1.12) |
( 4.44; 0.51) |
( 5.20; -2.61) |
( 5.94; -4.58) |
( 7.35; -3.15) |
( 7.85; -0.58) |
( 8.62; -5.31) |
(10.30; -11.0) |
(10.57; -10.1) |
Варiант 5 |
|
|
|
(-0.25; 5.22) |
( 1.36; 3.95) |
( 2.30; 3.13) |
( 2.52; 1.92) |
( 3.67; -0.00) |
( 5.42; -2.17) |
( 5.68; 1.83) |
( 7.36; 0.30) |
( 8.29; -0.36) |
( 9.45; -2.15) |
( 9.50; -2.09) |
(10.68; -10.4) |
Варiант 6 |
|
|
|
(-0.37; 6.54) |
( 0.96; 4.77) |
( 1.79; 3.39) |
( 2.86; 2.36) |
( 3.60; 1.66) |
( 5.40; -1.88) |
( 6.44; -3.41) |
( 7.25; -4.62) |
( 7.80; -2.59) |
( 8.95; -7.14) |
(10.47; -8.74) |
(11.19; -6.72) |
Варiант 7 |
|
|
|
(-0.31; 7.30) |
( 1.22; 5.28) |
( 1.53; 6.07) |
( 2.84; 3.46) |
( 4.02; 1.28) |
( 4.72; 3.83) |
( 5.85; -0.78) |
( 6.80; 1.85) |
( 7.66; 0.04) |
( 9.14; -5.60) |
(10.33; -0.47) |
(10.53; -2.02) |
Варiант 8 |
|
|
|
(-0.38; 8.36) |
( 1.47; 6.72) |
( 2.10; 5.39) |
( 2.64; 4.76) |
( 4.47; 2.67) |
( 4.86; 1.67) |
( 6.29; 3.77) |
( 6.96; -1.73) |
( 8.06; 0.04) |
( 9.40; -3.38) |
(10.12; 0.87) |
(11.38; -4.96) |
Варiант 9 |
|
|
|
(-0.46; 9.66) |
( 0.66; 8.19) |
( 2.38; 6.44) |
( 2.59; 6.57) |
( 3.68; 4.89) |
( 4.97; 4.62) |
( 6.16; 1.27) |
( 6.56; 5.59) |
( 7.53; -0.45) |
( 8.66; -2.09) |
( 9.85; 1.71) |
(10.86; -6.76) |
Варiант 10 |
|
|
|
( 0.35; 9.80) |
( 0.99; 8.90) |
( 1.58; 8.66) |
( 2.81; 7.82) |
( 3.94; 7.51) |
( 4.96; 7.44) |
( 5.84; 3.44) |
( 7.38; 4.40) |
( 8.15; 4.03) |
( 8.90; 0.33) |
( 9.51; -2.21) |
(11.00; 3.04) |
Варiант 11 |
|
|
|
(-0.15; 11.21) |
( 0.86; 10.18) |
( 2.13; 9.42) |
( 3.10; 6.46) |
( 4.08; 8.95) |
( 4.89; 6.74) |
( 5.54; 7.34) |
( 7.48; 3.11) |
( 7.61; 5.63) |
( 9.03; -2.09) |
( 9.79; 4.91) |
(10.52; 1.60) |
Варiант 12 |
|
|
|
Д.2. IНДИВIДУАЛЬНI ЗАВДАННЯ |
239 |
(-0.26; 12.20) |
( 1.15; 10.43) |
( 2.40; 10.08) |
( 3.21; 8.14) |
( 4.49; 6.01) |
( 4.68; 8.81) |
( 5.88; 7.62) |
( 6.90; 4.95) |
( 8.02; 4.31) |
( 9.00; 0.91) |
( 9.64; 5.32) |
(10.99; -2.98) |
Варiант 13 |
|
|
|
( 0.41; 12.48) |
( 0.78; 12.18) |
( 2.13; 9.88) |
( 3.37; 8.19) |
( 3.77; 8.47) |
( 5.09; 8.70) |
( 6.35; 7.13) |
( 6.64; 7.13) |
( 7.59; 4.90) |
( 9.25; 7.31) |
( 9.65; 3.65) |
(11.21; -0.60) |
Варiант 14 |
|
|
|
(-0.49; 14.51) |
( 0.62; 13.24) |
( 1.83; 11.94) |
( 3.16; 10.48) |
( 4.27; 8.38) |
( 5.11; 8.51) |
( 5.59; 10.14) |
( 6.97; 7.32) |
( 8.11; 8.01) |
( 8.51; 6.06) |
(10.26; -0.47) |
(10.96; -0.69) |
Варiант 15 |
|
|
|
( 0.36; 14.61) |
( 0.69; 14.55) |
( 1.84; 13.58) |
( 2.68; 13.26) |
( 4.46; 11.73) |
( 4.56; 9.97) |
( 6.41; 9.90) |
( 7.00; 9.89) |
( 8.18; 4.78) |
( 8.83; 5.50) |
( 9.73; 0.71) |
(11.06; 8.27) |
Варiант 16 |
|
|
|
( 0.21; 15.77) |
( 0.67; 15.14) |
( 2.32; 14.48) |
( 3.02; 12.19) |
( 4.09; 11.26) |
( 5.05; 8.56) |
( 5.68; 12.39) |
( 6.66; 6.33) |
( 8.39; 8.44) |
( 9.03; 2.93) |
( 9.99; 4.40) |
(10.72; 8.97) |
Варiант 17 |
|
|
|
( 0.23; 16.80) |
( 0.74; 16.00) |
( 1.94; 14.83) |
( 3.10; 13.88) |
( 4.13; 13.70) |
( 5.29; 12.49) |
( 6.06; 12.75) |
( 6.90; 7.77) |
( 8.16; 12.28) |
( 9.35; 12.32) |
(10.22; 4.66) |
(11.20; 2.83) |
Варiант 18 |
|
|
|
( 0.37; 17.52) |
( 0.73; 17.22) |
( 1.52; 15.97) |
( 2.72; 14.33) |
( 3.58; 13.43) |
( 4.58; 13.59) |
( 6.44; 11.00) |
( 7.24; 8.55) |
( 8.48; 6.59) |
( 8.52; 11.06) |
(10.36; 5.35) |
(10.85; 3.98) |
Варiант 19 |
|
|
|
( 0.01; 18.99) |
( 0.56; 18.48) |
( 2.34; 16.05) |
( 3.06; 15.19) |
( 4.04; 16.52) |
( 4.81; 14.11) |
( 6.28; 12.32) |
( 6.65; 10.51) |
( 8.46; 9.61) |
( 9.03; 12.20) |
(10.26; 8.94) |
(11.34; 5.80) |
Варiант 20 |
|
|
|
240 |
ДОДАТОК Д. РОЗРАХУНКОВА РОБОТА 5 |
( 0.45; 19.51) |
( 0.99; 19.37) |
( 2.39; 18.72) |
( 3.36; 17.15) |
( 4.16; 14.74) |
( 4.58; 16.52) |
( 5.75; 15.93) |
( 6.70; 12.91) |
( 7.66; 9.62) |
( 8.85; 14.08) |
( 9.86; 12.72) |
(11.31; 9.45) |
Варiант 21 |
|
|
|
( 0.20; 20.75) |
( 0.75; 20.01) |
( 2.29; 19.78) |
( 2.96; 18.74) |
( 3.82; 16.35) |
( 4.76; 15.98) |
( 5.67; 17.55) |
( 7.08; 15.61) |
( 8.23; 13.32) |
( 9.29; 14.57) |
( 9.98; 14.88) |
(11.28; 10.87) |
Варiант 22 |
|
|
|
( 0.02; 21.98) |
( 0.90; 21.44) |
( 2.21; 18.93) |
( 2.73; 19.77) |
( 4.18; 17.08) |
( 5.33; 16.56) |
( 6.23; 18.14) |
( 7.37; 16.10) |
( 7.93; 14.76) |
( 9.37; 12.13) |
(10.05; 11.58) |
(10.91; 13.45) |
Варiант 23 |
|
|
|
(-0.11; 23.08) |
( 0.52; 22.35) |
( 2.41; 20.18) |
( 2.66; 19.10) |
( 3.52; 20.25) |
( 5.46; 18.82) |
( 5.58; 19.18) |
( 7.14; 12.61) |
( 7.87; 11.22) |
( 9.31; 13.73) |
( 9.59; 10.88) |
(10.52; 7.37) |
Варiант 24 |
|
|
|
(-0.28; 24.33) |
( 0.78; 23.30) |
( 1.70; 22.19) |
( 2.92; 21.96) |
( 3.92; 20.55) |
( 5.05; 20.73) |
( 6.21; 19.53) |
( 7.42; 16.73) |
( 8.13; 15.83) |
( 9.49; 12.34) |
( 9.55; 15.03) |
(10.97; 8.91) |
Варiант 25 |
|
|
|
(-0.17; 25.23) |
( 1.21; 23.62) |
( 1.74; 23.92) |
( 3.11; 23.32) |
( 3.69; 21.61) |
( 5.43; 18.95) |
( 6.13; 21.53) |
( 7.40; 15.44) |
( 8.13; 17.59) |
( 8.60; 16.72) |
(10.41; 17.29) |
(10.82; 12.30) |
Варiант 26 |
|
|
|
( 0.39; 25.71) |
( 1.39; 24.03) |
( 2.04; 23.75) |
( 2.87; 22.76) |
( 3.69; 21.10) |
( 5.49; 19.92) |
( 5.87; 20.18) |
( 7.48; 16.90) |
( 7.93; 18.51) |
( 9.20; 12.30) |
(10.16; 15.13) |
(10.83; 11.07) |
Варiант 27 |
|
|
|
( 0.47; 26.63) |
( 0.85; 26.17) |
( 1.87; 25.40) |
( 2.85; 23.31) |
( 4.42; 22.53) |
( 5.02; 21.85) |
( 6.30; 22.14) |
( 6.66; 18.44) |
( 8.15; 16.70) |
( 8.54; 15.60) |
( 9.98; 18.86) |
(10.73; 13.44) |
Варiант 28 |
|
|
|
Д.2. IНДИВIДУАЛЬНI ЗАВДАННЯ |
241 |
( 0.09; 27.91) |
( 1.43; 26.45) |
( 1.95; 26.56) |
( 2.89; 25.74) |
( 3.91; 24.53) |
( 5.46; 21.20) |
( 6.26; 22.89) |
( 7.17; 19.99) |
( 7.94; 22.64) |
( 8.69; 19.54) |
( 9.90; 16.39) |
(11.39; 11.76) |
Варiант 29 |
|
|
|
( 0.00; 29.00) |
( 0.75; 28.24) |
( 1.92; 27.70) |
( 2.63; 26.48) |
( 4.44; 22.35) |
( 4.90; 23.04) |
( 5.98; 20.78) |
( 7.50; 18.95) |
( 7.53; 21.98) |
( 9.00; 19.10) |
(10.08; 23.63) |
(11.17; 18.78) |
Варiант 30 |
|
|
|
( 0.22; 29.89) |
( 1.18; 28.27) |
( 1.73; 27.95) |
( 3.30; 26.22) |
( 4.10; 27.27) |
( 5.42; 24.06) |
( 6.36; 21.79) |
( 6.66; 22.75) |
( 7.77; 21.56) |
( 8.86; 16.92) |
(10.07; 15.66) |
(10.73; 20.25) |
Додаток Е
Основнi таблицi
Е.1 Нормальний розподiл
Нормальний закон розподiлу широко застосовується для розв’язання найрiзноманiтнiших задач. Пояснити причини цього вдалось А.М. Ляпунову. Вiн показав, якщо випадкова величина може розглядатись як сума великої кiлькостi iнших випадкових величин, то при досить загальних умовах закон розподiлу такої величини близький до нормального, незалежно вiд того як розподiленi окремi доданки. Бiльшiсть практично важливих випадкових величин є саме такими.
Щiльнiсть стандартизованого нормального закону розподiлу задається формулою
f(x) = |
1 |
e |
x2 |
: |
(Е.1) |
||
2 |
|||||||
|
|
||||||
|
p2 |
||||||
Графiк функцiї показаний на рис. 11.1, a таблиця Е.1 мiстить її значення.
Користуючись функцiєю Лапласа
1 |
Z0 |
x |
t2 |
|
|||
(x) = |
p |
|
e |
|
dt; |
(Е.2) |
|
|
2 |
||||||
2 |
|||||||
можна знайти ймовiрнiсть попадання значень нормально розпо-
242