chap_0

Розглянемо добуток подiй AB та AC.

AB =fдва рази випаде 1g = f(1; 1)g;

AC =f(1; 1); (1; 2)g:

Простим пiдрахунком знаходимо ймовiрностi розглянутих подiй:

p(A) = 1=6; p(B) = 1=6; p(C) = 1=12; p(AB) = 1=36; p(AC) = 1=18;

а тому

p(AB) = p(A)p(B);

що означає, що подiї A та B є незалежними. Оскiльки

p(AC) 6= p(A)p(C);

то подiї A та C є залежними.

Мають мiсце такi властивостi незалежних подiй.

Теорема 4.1. Якщо подiї A та B незалежнi, то незалежними

Д о в е д е н н я. а) Скориставшись властивостями 2) та 3) теореми 3.1, переконуємося у справедливостi наступних рiвностей:

[

A = AB AB;

б) Скориставшись законом де Моргана (теорема 2.1) та властивостями 2) та 7) теореми 3.1, будемо мати

Означення 4.1 стосується двох подiй. Для бiльшої кiлькостi подiй уводиться складнiше поняття подiй незалежних у сукупностi.

Для прикладу, три подiї A, B та C називаються незалежними в сукупностi, якщо виконуються наступнi умови:

p(AB) = p(A)p(B);

p(AC) = p(A)p(C);

(4.2)

p(BC) = p(B)p(C);

p(ABC) = p(A)p(B)p(C):

4.2Умовнi ймовiрностi

Розпочнемо з прикладу. Нехай експеримент полягає у троєкратному пiдкиданнi монети. Вважатимемо, що вiдбулась подiя A, якщо герб випав не бiльше одного разу (випадання герба позначимо буквою Г, а цифри буквою Ц).

A = {(ЦЦЦ), (ГЦЦ), (ЦГЦ), (ЦЦГ)}.

Неважко побудувати простiр елементарних подiй.

= {(ЦЦЦ), (ЦЦГ), (ЦГЦ), (ЦГГ), (ГЦЦ), (ГЦГ), (ГГЦ), (ГГГ)}.

Оскiльки лише чотири елементарних подiї сприяють подiї A, то p(A) = 1=2.

Нехай тепер про експеримент додатково вiдомо, що вiдбулась наступна подiя B = {кiлькiсть гербiв непарна} = {(ЦЦГ),(ЦГЦ),(ГЦЦ),(ГГГ)}. Яка тепер ймовiрнiсть подiї A при тiй додатковiй iнформацiї?

Подiя B складається з 4 елементарних подiй, а подiя A має лише 3 подiї елементарнi якi входять до B. В рамках класичного означення ймовiрностi нова ймовiрнiсть подiї A буде рiвна 3/4.

Запишемо це так

3

p(A=B) = 34 = 84 : (4.3)

8

Якщо врахувати, що p(AB) = 3=8, а p(B) = 4=8, то вираз (4.3) можна записати так

Цей вираз служить поясненням для наступного визначення умовної ймовiрнiстi.

Означення 4.2. Нехай A та B є двi довiльнi подiї i p(B) > 0. Умовна ймовiрнiсть подiї A, при умовi, що вiдбулась подiя B, означається наступним чином

Формули (4.6), (4.7) називаються формулами ймовiрностi добутку подiй.

Приклад 4.4. Маємо урну з кулями: 6 бiлих та 3 чорних. Витягаємо по черзi двi кулi, причому пiсля витягання не повертаємо кулi до урни. Знайти ймовiрнiсть того, що будуть витягнутi двi бiлi кулi.

Р о з в’ я з о к. Нехай подiї A1 та A2 означають, що за першим та вiдповiдно другим разом з урни взята бiла куля. Тодi

p(A1A2) = p(A1)p(A2=A1):

Зрозумiло, що p(A1) = 6=9 = 2=3. Якщо за першим разом була витягнута бiла куля, то в урнi залишилось 5 бiлих та 3 чорних кулi i умовна ймовiрнiсть подiї A2=A1 буде дорiвнювати

p(A2=A1) = 5=8:

Тому

2 5 5 p(A1A2) = 3 8 = 12:

Умовна ймовiрнiсть має наступнi властивостi:

1)0 p(A=B) 1;

2)p( =B) = 1;

3)p(B=B) = 1;

4)Якщо подiї A, B є незалежними, то p(A=B) = p(A);

5)Якщо A1A2 = ;; то p(A1 [ A2=B) = p(A1=B) + p(A2=B):

Властивiсть 4 можна трактувати так: якщо двi подiї незалежнi, то ймовiрнiсть настання однiєї подiї не залежить вiд настання iншої.

Формулу 4.7 можна поширити на довiльну кiлькiсть подiй. Зокрема,

4.3Контрольнi питання

1.Якi подiї називаються незалежними? Наведiть приклади залежних та незалежних подiй.

2.Якi подiї називаються попарно незалежними? Наведiть приклади.

3.Поняття подiй незалежних у сукупностi. Приклади попарно незалежних подiй, якi не є незалежними у сукупностi.

4.Чи будуть залежними несумiснi подiї?

5.Якi ймовiрностi називають умовними?

6.За якою формулою можна обчислити умовну ймовiрнiсть?

7.Чому дорiвнює ймовiрнiсть добутку двох подiй?

8.При якiй умовi ймовiрнiсть добутку кiлькох випадкових подiй дорiвнює добутку їх ймовiрностей?

9.Назвiть властивостi умовних ймовiрностей.

10.При якiй умовi справедлива формула p(A=B) = p(A)?

4.4Задачi роздiлу

4.1.Двiчi пiдкидають монету. а) Описати простiр елементарних подiй; б) описати подiї: A при першому пiдкиданнi випав герб; B при другому пiдкиданнi випав герб; в) обчислити p(A), p(B), p(AB), p(B=A).

4.2.Тричi пiдкидають монету. а) Описати простiр елементарних подiй; б) описати подiї: A двiчi випав герб; B принаймнi один раз випав герб; в) обчислити p(B), p(AB), p(A=B).

4.3.Пiдкидають два гральних кубики. Яка ймовiрнiсть того, що випаде принаймнi одна шiстка, коли вiдомо, що сума очок дорiвнює 8? Вiдповiдь. 2=5.

4.4.Знайти умовну ймовiрнiсть p(A=B), якщо подiї A та B несумiснi.

4.5.Навмання вибраний хлопчик виявився членом сiм’ї з двома дiтьми. Яка ймовiрнiсть того, що друга дитина теж хлопчик?

4.6.Серед родин з трьома дiтьми обрали одну родину. Нехай A в родинi є хлопчик та дiвчинка; B в родинi не бiльше однiєї дiвчинки. Вважаючи, що всi елементарнi подiї однаково ймовiрнi, обчислити p(A), p(B), p(AB) i довести, що подiї A та B незалежнi.

4.7.Пiдкидають три гральних кубики. Яка ймовiрнiсть того, що принаймнi один раз випаде шiстка, якщо на всiх трьох кубиках випали рiзнi гранi?

Розв’язання. Уведемо позначення: А – шiстка випала принаймнi

один раз; В – на всiх трьох кубиках випали рiзнi гранi. Неважко переконатись в правильностi наступних рiвностей, першi двi з яких обчислюються на основi головного принципу комбiнаторики, а третя – за означенням умовної ймовiрностi:

4.8. Пiдкидають два гральних кубики. Розглянемо випадковi подiї: A1 –на першому кубику випало парне число очок; A2 – на другому кубику випало непарне число очок; A3 – сума очок на кубиках непарна. Довести, що подiї A1, A2, A3 попарно незалежнi, але не є незалежними в сукупностi.

48 РОЗДIЛ 4. УМОВНI ЙМОВIРНОСТI

Розв’язання. Запишемо у виглядi матрицi всi можливi наслiдки пiдкидання двох кубикiв:

Безпосереднiм пiдрахунком варiантiв, неважко переконатись в справедливостi таких рiвностей:

Рiвнiсть p(A1A2A3) = p(A1)p(A2)p(A3) не виконується, отже, подiї A1, A2, A3 будучи попарно незалежними не будуть незалежними в сукупностi (див. формулу (4.2)).

4.9. З урни, яка мiстить m бiлих та n чорних куль, беруть послiдовно двi кулi. Вiдомо, що перша куля бiла. Яка ймовiрнiсть, що друга куля також буде бiлою?

50 РОЗДIЛ 5. ЙМОВIРНIСТЬ СУМИ ТА ДОБУТКУ ПОДIЙ

5. Для групи довiльних подiй A1, A2,. . . , An формула для ймовiрностi їх об’єднання матиме такий вид

X

p(Ai1 Ai2 Ai3 ) : : : + ( 1)n 1p(A1A2 : : : An): (5.4)

i1<i2<i3

6. Ймовiрнiсть подiї A при умовi, що настала подiя B, визначається формулою

7. Для добутку двох довiльних випадкових подiй A1 та A2 справедливi формули:

Цi формули можна поширити на довiльну кiлькiсть подiй, зокрема:

p(A1A2 : : : An) = p(A1)p(A2=A1) : : :

(5.9)

p(An=(A1A2 : : : An 1)):

5.2Контрольнi питання

1.Який змiст у теорiї ймовiрностi вкладається в поняття "стохастичний експеримент" та "випадкова подiя"?

2.Якi подiї називаються несумiсними?

3.Що називається простором елементарних подiй?

4.Як визначається сума, добуток та рiзниця двох подiй?

5.Як визначається сума та добуток кiлькох подiй?

6.Якi подiї називаються протилежними?

7.Чи завжди двi несумiснi подiї є протилежними?

8.Зформулюйте класичне означення ймовiрностi.

9.Зформулюйте статистичне означення ймовiрностi.

10.Зформулюйте аксiоматичне означення ймовiрностi.

11.Якi переваги та недолiки класичного, статистичного та аксiоматичного типiв означення ймовiрностi?

12.У яких випадках користуються статистичним, а не класичним означенням ймовiрностi?

13.Якi подiї називаються незалежними, а якi залежними?

14.Чи iснує певний зв’язок мiж незалежними та несумiсними подiями?

15.Чи будуть залежними несумiснi подiї?

16.Якi ймовiрностi називаються умовними?

17.Наведiть основнi властивостi умовних ймовiрностей?

18.Яка ймовiрнiсть буде бiльшою: умовна чи звичайна?

19.Дайте означення подiй незалежних у сукупностi.

20.Чи правильне твердження: якщо подiї попарно незалежнi, то вони незалежнi у сукупностi?

21.Чи правильне обернене твердження: якщо подiї незалежнi у сукупностi, то вони попарно незалежнi?

22.Чому дорiвнює ймовiрнiсть суми несумiсних подiй?

23.Чому дорiвнює ймовiрнiсть суми довiльних випадкових подiй?

24.При якiй умовi ймовiрнiсть суми кiлькох випадкових величин дорiвнює сумi їх ймовiрностей?

25.Чому дорiвнює ймовiрнiсть добутку двох незалежних випадкових подiй?

26.Чому дорiвнює ймовiрнiсть добутку двох довiльних випадкових подiй?

27.При якiй умовi ймовiрнiсть добутку кiлькох випадкових величин дорiвнює добутку їх ймовiрностей?

28.Чому дорiвнює ймовiрнiсть суми кiлькох випадкових подiй?

29.Чому дорiвнює ймовiрнiсть добутку кiлькох випадкових подiй?

30.Як пов’язанi ймовiрностi протилежних подiй? У яких випадках зручно визначати ймовiрнiсть не самої подiї, а їй протилежної?

52 РОЗДIЛ 5. ЙМОВIРНIСТЬ СУМИ ТА ДОБУТКУ ПОДIЙ

5.3Задачi роздiлу

5.1. На полицi випадковим чином розставлено 15 пiдручникiв, причому п’ять iз них у палiтурках. Бiблiотекар бере навмання чотири пiдручники. Знайти ймовiрнiсть того, що не менше двох з узятих пiдручникiв виявиться у палiтурках (подiя A).

Розв’язання. Подiя A вiдбудеться, якщо вiдбудеться одна з трьох попарно несумiсних подiй: B – два пiдручники у палiтурках, C – три пiдручники у палiтурках, D – чотири пiдручники у палiтурках. Отже, A = B + C + D, причому BC = BD = CD = За теоремою додавання для несумiсних подiй маємо

p(A) = p(B) + p(C) + p(D):

Знайдемо ймовiрностi подiй B, C та D. Для обчислення цих ймовiрностей можна скористатись формулою (3.3).

Тодi P (A) = 30=91 + 20=273 + 1=273 = 111=273:

5.2.Ймовiрнiсть того, що пiсля сонячного дня знов буде сонячний, дорiвнює p1, а пiсля хмарного – хмарний, дорiвнює p2. Сьогоднi сонячно. Яка ймовiрнiсть, що пiслязавтра буде: а) сонячно; б) хмарно? Вiдповiдь. а) p21 + (1 p1)(1 p2); б) (1 p1)(p1 + p2).

5.3.Для сигналiзацiї про аварiю встановлено два незалежно працюючих пристрої. Ймовiрнiсть того, що при аварiї пристрiй спрацює, дорiвнює 0,95 для першого пристрою та 0,9 для другого. Знайти ймовiрнiсть того, що при аварiї спрацює лише один пристрiй.

Вiдповiдь. p = 0; 95 0; 1 + 0; 9 0; 05 = 0; 14.

5.4. Два спортсмени стрiляють по мiшенi. Ймовiрнiсть влучення у мiшень при одному пострiлi для першого стрiльця дорiвнює 0,7, а