chap_0
.pdf10.3. ЗАДАЧI РОЗДIЛУ |
103 |
6.Зформулюйте для неперервного випадку критерiй незалежностi випадкових величин.
7.Що називається кореляцiйним моментом випадкових величин?
8.Якi властивостi має кореляцiйний момент?
9.Як за кореляцiйним моментом знайти коефiцiєнт кореляцiї?
10.Якi випадковi величини називаються корельованими, а якi некорельованими?
11.Якi основнi властивостi коефiцiєнта кореляцiї?
12.Чому дорiвнює коефiцiєнт кореляцiї для лiнiйно залежних величин?
13.Яка залежнiсть мiж випадковими величинами, якщо коефiцiєнт кореляцiї дорiвнює 1?
10.3Задачi роздiлу
10.1. Пiдкидають два гральних кубики. Описати простiр елементарних подiй. Нехай – число появ шiстки на першому кубику, а– число появ шiстки на другому кубику. Знайти сумiсний розподiл для i . Довести, що величини i незалежнi.
Вiдповiдь. p( = 0; = 0) = 25=36; p( = 0; = 1) = 5=36; p( = 1; = 0) =
5=36; p( = 1; = 1) = 1=36.
10.2. Пiдкидають два гральних кубики. Описати простiр елементарних подiй. Нехай – число очок на першому кубику, – число очок на другому кубику. Знайти сумiсний розподiл i . Довести, що величини i незалежнi.
Вiдповiдь. p( = i; = j) = 1=36.
10.3. Пiдкидають два гральних кубики. Нехай – число очок на першому кубику, а – максимальне з двох очок. а) Знайти сумiсний розподiл та ; б) обчислити M( ), M( ), D( ), D( ) та коварiацiю (кореляцiйний момент) i .
Розв’язання. Спочатку побудуємо окремо закони розподiлу для
104 РОЗДIЛ 10. СУМIСНИЙ РОЗПОДIЛ
кожної з величин та
p( = k) = 1=6(k = 1; 2; 3; 4; 5; 6); |
||
p( = 1) = pf(1; |
1)g = 1=36; |
|
p( = 2) = pf(1; |
2); (2; 1); (2; 2)g = 3=36; |
|
p( = 3) |
= pf(1; |
3); (2; 3); (3; 3); (3; 1); (3; 2)g = 5=36; |
p( = 4) |
= pf(1; |
4); (2; 4); (3; 4); (4; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3)g = 7=36; |
p( = 5) |
= pf(1; |
5); (2; 5); : : : ; (5; 4)g = 9=36; |
p( = 6) |
= pf(1; |
6); (2; 6); : : : ; (6; 5)g = 11=36: |
Сумiсний розподiл для цих величин буде таким
( ; ) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1=36 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1=36 |
2=36 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1=36 |
1=36 |
3=36 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1=36 |
1=36 |
1=36 |
4=36 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1=36 |
1=36 |
1=36 |
1=36 |
5=36 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1=36 |
1=36 |
1=36 |
1=36 |
1=36 |
6=36 |
Величини та залежнi, оскiльки (див. формулу (10.1)) p( = 2; = 2) = 181 6= p( = 2) p( = 2) = 721 :
Скориставшись формулами (8.1), (8.9) та (8.8), обчислимо математичне очiкування, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення величин та :
|
|
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 7 |
|
|
|
|
||||||||||
m1 = M[ ] = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
M[ 2] = |
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 |
|
= |
|
91 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d1 = D[ ] = M[ 2] M2[ ] = |
35 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
m2 = M[ ] = |
1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66 |
= |
161 |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|||||||
10.3. ЗАДАЧI РОЗДIЛУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
||||||||||
|
|
M[ 2] = |
1 + 12 + 45 + 112 + 225 + 396 |
= |
791 |
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
d2 = D[ ] = |
36 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
36 |
2 |
= 1296 1; 97: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
791 |
|
|
|
161 |
|
2555 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Складемо таблицю розподiлу для добутку |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
8 |
|
9 |
10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
p |
1=36 |
1=36 |
1=36 |
3=36 |
1=36 |
2=36 |
1=36 |
3=36 |
1=36 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
12 |
|
15 |
|
16 |
|
18 |
|
|
20 |
|
|
|
24 |
|
|
25 |
|
30 |
36 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
p |
2=36 |
1=36 |
4=36 |
1=36 |
1=36 |
1=36 |
5=36 |
1=36 |
6=36 |
|
|||||||||||||
Обчислимо математичне очiкування для |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
M[ ] = 61636 = 1549 :
Кореляцiйний момент знайдемо за формулою (10.13)
C( ; ) = M[ ] m1m2 = |
154 |
|
7 |
|
161 |
= |
105 |
: |
9 |
2 |
36 |
72 |
10.4. Iван та Петро навмання виймають по однiй кулi з урни, в якiй знаходяться 5 бiлих, 4 чорних та двi сiрих кулi. Вони по черзi виймають кулi з урни без повертання. Iван виймає першим. Нехай– число бiлих куль в Iвана, а – число чорних куль у Петра. Знайти сумiсний розподiл цих величин.
Розв’язання. Наслiдком дослiду буде розмiщення складу (5, 4, 2), в якому елемент Б (бiла куля) зустрiчається 5 раз, елемент Ч (чорна куля) зустрiчається 4 рази, а елемент С (сiра куля) зустрiчається 2 рази. Число таких розмiщень дорiвнює
A(5; 4; 2) = (5 + 4 + 2)! = 6930: 5!4!2!
Пiдрахуємо для прикладу ймовiрнiсть суми всiх випадкiв, коли Iван вийняв 2 бiлi кулi, а Петро – 2 чорнi. Нижче схематично зображено один iз таких випадкiв.
106 |
РОЗДIЛ 10. СУМIСНИЙ РОЗПОДIЛ |
y |
|
|
1 |
|
|
|
D |
|
0 |
1 |
x |
Рис. 10.1. Геометрична iлюстрацiя областi D
Iван |
Петро |
I |
|
П |
I |
П |
I |
П |
|
|
I |
П |
|
|
I |
|
|
|
|
|
||||
Б |
Ч |
Б |
Ч |
Ч |
Б |
С |
Б |
С |
Б |
Ч |
|
|
|
|
|
|||||||||
p( = 2; = 2) = |
|
A(2; 2; 2)A(3; 2; 0) |
= |
1 |
6! |
5! |
|
= |
900 |
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A(5; 4; 2) |
6930 2!3 2!3! |
6930 |
||||||||||||||||||||
Користуючись цим прийомом, побудуємо таблицю сумiсного розподiлу для величин ,
( ; ) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1=462 |
10=462 |
10=462 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
20=462 |
80=462 |
40=462 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
60=462 |
120=462 |
30=462 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
0 |
40=462 |
40=462 |
4=462 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5=462 |
3=462 |
|
|
|
|
|
|
|
10.5. Точка (x; y) рiвномiрно розподiлена всерединi трикутника з вершинами (0; 0), (1; 0) та (0; 1). Знайти коефiцiєнт кореляцiї мiж x та y.
Розв’язання. Запишемо щiльнiсть рiвномiрного розподiлу
f(x; y) = |
(0; |
для |
(x; y) |
2 D: |
|
2; |
для |
(x; y) |
D; |
|
|
|
|
62 |
Область D зображена на рис. 10.1. За формулами (10.4) та (10.5)
10.3. ЗАДАЧI РОЗДIЛУ |
107 |
знайдемо функцiї щiльностi для кожної з величин x та y: |
|
1 |
1 x |
f1(x) = Z1 f(x; y)dy = 2 Z0 |
dy = 2(1 x); |
1 |
1 y |
f2(y) = Z1 f(x; y)dx = 2 Z0 |
dx = 2(1 y): |
Скориставшись знайденими функцiями, за допомогою формул (8.1), (8.9) та (8.8), знайдемо математичне очiкування, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення величин x та y:
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
mx = M[x] = Z1 xf1(x)dx = 2 Z0 |
|
(x x2)dx = |
|
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= 18: |
|
|
||||
dx = D[x] = M[x2] M2[x] = 2 Z0 |
(x2 x3)dx 9 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Оскiльки розподiли для x та y однаковi, то my = |
1 |
, dy = |
1 |
, |
||||||||||||||
18 |
||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
y = |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
За формулами (10.9) та (10.10) знайдемо вiдповiдно кореляцiйний момент та коефiцiєнт кореляцiї:
xy = 2 Z0 |
x 3 Z0 |
1 |
|
x |
y |
3 dy dx = |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
= Z0 |
1 |
x |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
(x 1)dx = |
|
; |
|||||||||||||||
|
3 |
36 |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
rxy = |
|
|
|
|
= |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
36 |
18 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10.6. На iнтервалi (0; 1) зафiксовано точку a. Випадкова величина x рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [0; 1]. Нехай d – вiдстань вiд точки x до a. Знайти коефiцiєнт кореляцiї мiж x та d. При якому значеннi a величини x i d некорельованi?
108 |
РОЗДIЛ 10. СУМIСНИЙ РОЗПОДIЛ |
10.7. Двi незалежнi випадковi величини U1, та U2 мають стандартизований нормальний розподiл. Знайти розподiл величини
2(2) = U12 + U22.
Розв’язання. Скористаємось вiдомою теоремою:
Теорема 10.1. Нехай незалежнi випадковi величини та мають щiльностi розподiлу f1(x) та f2(x) вiдповiдно. Тодi, функцiя розподiлу F (x) їх суми + виразиться формулою
1 |
|
F (x) = p( + < x) = Z1 f1(t)f2(x t)dt: |
(10.14) |
Згiдно задачi 11 роздiлу 9 випадковi величини U12 та U22 мають одну i ту ж функцiю щiльностi розподiлу f(x):
f(x) = |
(p12 p1x e x2 |
; |
||||||
|
0; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для x 0;
для x > 0.
Скориставшись формулою (10.14), для x > 0 отримаємо
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
p( 2(2) < x) = Z1 f(t)f(x t)dt = Z0 |
|
f(t)f(x t)dt = |
|||||||||||||||||||
= 2 Z0 |
x |
ptpx te |
2 e 2 |
dt = |
2 e 2 |
Z0 |
x |
ptpx t = |
|||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
t |
x |
t |
1 |
|
x |
|
|
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Z0 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
x |
pxdu u2 |
= e |
2 |
|||||||||
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вiдповiдь. |
|
|
|
|
f(x) = (21 e x2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
u arcsinpx
для x 0;
для x > 0.
p
x
= 1e x2 :
0 2
На рис. 10.2 показаний графiк цiєї функцiї. Зазначимо, що розподiл 2(n) вiдiграє важливу роль в математичнiй статистицi.
10.8. Двi незалежнi випадковi величини та рiвномiрно розподiленi на вiдрiзку [0; 1]. Чи буде рiвномiрно розподiлена їх сума?
10.3. ЗАДАЧI РОЗДIЛУ |
109 |
2(2)
0:5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
x |
|||||||||||
Рис. 10.2. Графiк функцiї 2(2)
Розв’язання. Величини та мають однакову щiльнiсть розподiлу
(
1; для 0 x 1;
f(x) =
0; для iнших значень x:
Розглянемо область
(
0 t 1;
D =
0 x t 1:
На рис. 10.3 ця область зображена графiчно. Якщо точка (t; x) 2 D, то добуток функцiй f(t)f(x t) = 1, в iншому випадку цей добуток дорiвнює нулю. Розглянемо два випадки x 2 [0; 1] i x 2 [1; 2]. Якщо 0 x 1, то
|
1 |
x |
|
p( + < x) = Z1 f(t)f(x t)dt = |
Z0 |
dt = x: |
|
t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
D |
|
|
0 |
1 |
2 |
x |
Рис. 10.3. Геометрична iлюстрацiя областi D |
|||
110 |
РОЗДIЛ 10. |
|
СУМIСНИЙ РОЗПОДIЛ |
|||||||
Якщо 1 x 2, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
p( + < x) = Z1 f(t)f(x t)dt = Zx 1 dt = 2 x: |
||||||||||
Отже, сума + матиме таку щiльнiсть |
|
|
|
|||||||
g(x) = |
8x; |
|
для 0 |
|
x |
|
1; |
|||
|
> |
0; |
|
для x 62[0; 2]; |
||||||
|
|
|
x; |
|
1 |
|
x |
|
2: |
|
|
<2 |
|
для |
|
|
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Як бачимо, сума рiвномiрно розподiлених величин не буде рiвномiрно розподiленою.
Роздiл 11
Основнi закони розподiлу
11.1Нормальний закон розподiлу
Нормальний закон розподiлу широко застосовується для розв’я- зання рiзноманiтних практичних задач. Пояснити причини цього вперше удалось А.М. Ляпунову. Вiн показав, якщо випадкова величина може розглядатись як сума великої кiлькостi iнших випадкових величин, то при досить загальних умовах закон розподiлу суми близький до нормального розподiлу, незалежно вiд того, як розподiленi окремi доданки. Бiльшiсть практично важливих випадкових величин є сума великої кiлькостi причин (випадкових величин), що й обумовлює широке застосування нормального розподiлу.
Стандартизований нормальний закон розподiлу. Щiльнiсть стандартизованого нормального закону розподiлу визначається формулою
f(x) = |
1 |
e |
x2 |
: |
(11.1) |
||
2 |
|||||||
|
|
||||||
|
p2 |
||||||
Ця крива симетрична вiдносно осi ординат i при x = 0 має максимум рiвний p12 0; 4 та двi точки перегину при x = 1. Для x ! 1 крива щiльностi наближаються до осi абсцис, при-
111
112 |
|
|
РОЗДIЛ 11. ОСНОВНI ЗАКОНИ РОЗПОДIЛУ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f; F |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
F |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0:5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
2 x |
||||||||||||
Рис. 11.1. Стандартизований нормальний розподiл
чому таке наближення вiдбувається досить швидко. Наприклад, f(3) = 0; 0044; f(4) = 0; 00013.
Вiдповiдна iнтегральна функцiя стандартизованого нормального розподiлу матиме вигляд
1 |
x |
t2 |
|
|||
F (x) = |
p |
|
Z1 e |
|
dt: |
(11.2) |
|
2 |
|||||
2 |
||||||
Функцiя F (x) при x = 0 дорiвнює 0; 5, симетрична вiдносно точки (0; 0; 5) i при зростаннi аргумента дуже швидко наближається до одиницi. Так F (2) = 0; 9773; F (3) = 0; 99865 i т.д.
Графiки щiльностi розподiлу та функцiї розподiлу показанi на рис. 11.1 вiдповiдно суцiльною та штриховою лiнiями. Таблиця Е.1 на с. 243 мiстить значення функцiї щiльностi.
Основнi параметри стандартизованого нормального розподi-
лу:
|
|
|
|
|
M[x] = 1 |
1 te t22 dt = 0; |
|||||
Математичне очiкування |
|
p |
|
|
R |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
1 |
|||||||||
|
D[x] = |
1 |
1 t2e t22 dt = 1; |
|
|
|
|||||
Дисперсiя |
|
p |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
p |
|
|
||
Середнє квадратичне вiдхилення = |
|
= 1. |
|||||||||
|
d |
||||||||||
Теорема 11.1. Якщо випадкова величина x пiдлягає стандартизованому нормальному розподiлу, то ймовiрнiсть того, що її значення попаде на вiдрiзок [ ; ] визначається формулою
p( x ) = F ( ) F ( ): |
(11.3) |