chap_0
.pdfА.1. ЗАДАЧI ТЕОРIЇ ЙМОВIРНОСТЕЙ |
193 |
А.20. Ймовiрнiсть появи деякої подiї у кожному з n незалежних випробувань дорiвнює p. Визначити ймовiрнiсть того, що число m появи цiєї подiї задовольняє такiй нерiвностi:
Варiанти 1–11: k1 m k2. Варiанти 12–21: k1 m. Варiанти 22–31: m k2.
А.21. Дана щiльнiсть розподiлу f(x) випадкової величини x. Знайти параметр , математичне сподiвання M(x), дисперсiю D(x), функцiю розподiлу F (x), ймовiрнiсть виконання нерiвностi x1 < x < x2.
Варiанти 1–8: |
f(x) = (0; |
|
|
x [a; b]: |
|
|
|
1=( |
|
a); x [a; b]; |
|
Варiанти 9–16: |
f(x) = (0; |
x [ ; b]: |
|||
|
|
a; |
x [ ; b]; |
||
Варiанти 17–24: |
f(x) = |
(0; |
x [a; b]: |
||
|
|
; |
x [a; b]; |
||
Варiанти 25–31: |
f(x) = |
(0; |
x [(b |
)=2; (b + )=2]: |
|
|
|
a; x [(b )=2; (b + )=2]; |
|||
Далi подана таблиця початкових даних для розрахункових завдань. У першому стовпчику номери варiантiв, у першому рядку номери задач. У другому рядку параметри, значення яких конкретизуються у рядку, що вiдповiдає варiантовi.
194 ДОДАТОК А. РОЗРАХУНКОВА РОБОТА 1
А.2 |
|
Iндивiдуальнi завдання |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця початкових даних |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
n |
n1 |
n2 |
n3 |
n4 |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
n |
1 |
|
m |
k |
k |
n |
k |
T1 |
T2 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
10 |
2 |
|
4 |
6 |
6 |
4 |
4 |
900 |
1000 |
10 |
|
2 |
|
4 |
2 |
2 |
4 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
10 |
2 |
|
3 |
6 |
7 |
4 |
5 |
900 |
1100 |
20 |
|
3 |
|
5 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
10 |
3 |
|
5 |
7 |
8 |
5 |
6 |
1000 |
1100 |
10 |
|
4 |
|
6 |
1 |
4 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
10 |
3 |
|
5 |
6 |
9 |
5 |
5 |
1000 |
1200 |
20 |
|
5 |
|
7 |
4 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
11 |
2 |
|
5 |
7 |
10 |
6 |
6 |
1100 |
1200 |
15 |
|
6 |
|
8 |
3 |
2 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
11 |
3 |
|
4 |
8 |
11 |
4 |
7 |
1100 |
1300 |
15 |
|
7 |
|
9 |
5 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
11 |
3 |
|
5 |
7 |
12 |
4 |
6 |
900 |
930 |
10 |
|
8 |
|
10 |
2 |
5 |
2 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
12 |
3 |
|
8 |
5 |
13 |
3 |
7 |
900 |
1130 |
20 |
|
9 |
|
3 |
4 |
2 |
3 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
12 |
2 |
|
8 |
3 |
14 |
3 |
8 |
1000 |
1030 |
15 |
|
10 |
|
4 |
3 |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
12 |
2 |
|
5 |
4 |
13 |
4 |
7 |
1000 |
1130 |
15 |
|
11 |
|
5 |
2 |
3 |
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
9 |
2 |
|
4 |
6 |
12 |
3 |
8 |
1100 |
1130 |
5 |
|
12 |
|
6 |
1 |
3 |
4 |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
9 |
3 |
|
5 |
6 |
11 |
3 |
5 |
1100 |
1230 |
5 |
|
13 |
|
7 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
9 |
2 |
|
3 |
7 |
10 |
4 |
6 |
1200 |
1300 |
5 |
|
14 |
|
8 |
1 |
2 |
3 |
5 |
1 |
1 |
2 |
3 |
8 |
2 |
|
4 |
5 |
9 |
4 |
7 |
1200 |
1230 |
10 |
|
15 |
|
9 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
8 |
2 |
|
5 |
4 |
8 |
3 |
8 |
1200 |
1330 |
5 |
|
16 |
|
10 |
3 |
2 |
2 |
4 |
2 |
1 |
1 |
1 |
8 |
3 |
|
4 |
5 |
7 |
3 |
9 |
1300 |
1400 |
10 |
|
17 |
|
11 |
4 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
10 |
4 |
|
6 |
5 |
6 |
4 |
8 |
1800 |
1900 |
10 |
|
18 |
|
12 |
3 |
3 |
4 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
10 |
5 |
|
7 |
7 |
7 |
4 |
7 |
1800 |
2000 |
20 |
|
19 |
|
13 |
2 |
4 |
5 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
10 |
4 |
|
6 |
7 |
8 |
5 |
6 |
1700 |
1800 |
10 |
|
20 |
|
14 |
3 |
4 |
3 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
12 |
4 |
|
8 |
6 |
9 |
5 |
5 |
1700 |
1900 |
20 |
|
21 |
|
15 |
2 |
5 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
8 |
2 |
|
3 |
4 |
10 |
6 |
4 |
1900 |
2000 |
15 |
|
22 |
|
16 |
4 |
4 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
8 |
2 |
|
3 |
5 |
11 |
4 |
4 |
1900 |
2100 |
15 |
|
23 |
|
17 |
2 |
7 |
2 |
1 |
1 |
5 |
2 |
1 |
8 |
2 |
|
4 |
3 |
12 |
4 |
5 |
1700 |
1730 |
10 |
|
24 |
|
18 |
3 |
1 |
6 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
8 |
3 |
|
5 |
4 |
13 |
3 |
6 |
1700 |
1830 |
20 |
|
25 |
|
19 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
2 |
8 |
1 |
|
4 |
2 |
14 |
3 |
7 |
1600 |
1630 |
15 |
|
26 |
|
20 |
1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
1 |
9 |
2 |
|
3 |
5 |
12 |
3 |
8 |
1600 |
1730 |
15 |
|
27 |
|
3 |
1 |
4 |
2 |
2 |
0 |
2 |
1 |
1 |
9 |
3 |
|
4 |
4 |
11 |
3 |
9 |
1700 |
1730 |
5 |
|
28 |
|
4 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
0 |
1 |
9 |
2 |
|
6 |
3 |
10 |
4 |
10 |
1700 |
1830 |
5 |
|
29 |
|
5 |
3 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
2 |
9 |
4 |
|
5 |
5 |
9 |
4 |
9 |
1600 |
1700 |
5 |
|
30 |
|
6 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 |
2 |
0 |
9 |
3 |
|
5 |
4 |
8 |
3 |
8 |
1600 |
1630 |
10 |
|
31 |
|
8 |
2 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
0 |
2 |
9 |
2 |
|
3 |
6 |
7 |
3 |
7 |
1600 |
1730 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовження далi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А.2. IНДИВIДУАЛЬНI ЗАВДАННЯ |
195 |
Продовження попередньої сторiнки
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
|
10 |
11 |
12 |
|
|
13 |
|
|
|||
|
R |
S1 |
S2 |
k1 |
k2 |
p1 |
p2 |
n1 |
n2 |
K |
M |
n1 |
n2 |
N1 |
M1 |
N2 |
M2 |
K |
1 |
11 |
2.25 |
3.52 |
71 |
47 |
0.61 |
0.55 |
2 |
3 |
4 |
12 |
100 |
250 |
4 |
1 |
2 |
5 |
3 |
2 |
12 |
2.37 |
3.52 |
78 |
39 |
0.62 |
0.54 |
3 |
2 |
5 |
8 |
430 |
180 |
7 |
3 |
5 |
1 |
4 |
3 |
13 |
2.49 |
3.52 |
87 |
31 |
0.63 |
0.53 |
2 |
3 |
6 |
5 |
170 |
540 |
2 |
3 |
5 |
4 |
1 |
4 |
14 |
2.55 |
1.57 |
72 |
46 |
0.64 |
0.52 |
3 |
2 |
7 |
11 |
520 |
390 |
8 |
2 |
3 |
2 |
5 |
5 |
11 |
2.27 |
5.57 |
79 |
38 |
0.65 |
0.51 |
2 |
3 |
8 |
7 |
360 |
600 |
6 |
4 |
1 |
7 |
2 |
6 |
12 |
2.39 |
5.57 |
86 |
32 |
0.66 |
0.49 |
3 |
2 |
9 |
10 |
700 |
90 |
3 |
2 |
4 |
4 |
2 |
7 |
13 |
2.51 |
1.57 |
73 |
45 |
0.67 |
0.48 |
2 |
3 |
10 |
6 |
240 |
610 |
5 |
5 |
4 |
10 |
6 |
8 |
14 |
2.57 |
3.52 |
81 |
37 |
0.68 |
0.47 |
3 |
2 |
11 |
9 |
80 |
710 |
13 |
12 |
4 |
6 |
10 |
9 |
11 |
2.29 |
3.52 |
85 |
33 |
0.69 |
0.46 |
2 |
3 |
4 |
3 |
630 |
230 |
1 |
9 |
3 |
3 |
4 |
10 |
12 |
2.41 |
3.52 |
74 |
44 |
0.71 |
0.45 |
3 |
2 |
5 |
8 |
500 |
320 |
3 |
7 |
5 |
2 |
3 |
11 |
13 |
2.53 |
3.52 |
82 |
36 |
0.72 |
0.44 |
2 |
3 |
6 |
5 |
810 |
70 |
4 |
6 |
7 |
8 |
5 |
12 |
14 |
2.59 |
5.57 |
84 |
34 |
0.73 |
0.43 |
3 |
2 |
7 |
10 |
450 |
280 |
2 |
3 |
7 |
1 |
2 |
13 |
15 |
2.50 |
8.70 |
75 |
43 |
0.74 |
0.42 |
2 |
3 |
8 |
6 |
270 |
640 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
14 |
16 |
2.60 |
8.50 |
83 |
35 |
0.75 |
0.41 |
3 |
2 |
9 |
9 |
380 |
470 |
2 |
8 |
3 |
1 |
6 |
15 |
11 |
2.20 |
3.50 |
76 |
42 |
0.76 |
0.39 |
2 |
3 |
10 |
4 |
640 |
80 |
4 |
6 |
3 |
3 |
4 |
16 |
12 |
2.40 |
3.50 |
77 |
41 |
0.77 |
0.38 |
3 |
2 |
12 |
7 |
160 |
570 |
5 |
5 |
4 |
3 |
3 |
17 |
13 |
2.50 |
3.50 |
47 |
71 |
0.78 |
0.37 |
2 |
3 |
5 |
5 |
590 |
200 |
25 |
3 |
25 |
2 |
19 |
18 |
14 |
2.60 |
1.80 |
39 |
78 |
0.39 |
0.45 |
3 |
2 |
6 |
11 |
620 |
190 |
20 |
1 |
40 |
7 |
15 |
19 |
15 |
2.70 |
7.90 |
31 |
87 |
0.38 |
0.46 |
2 |
3 |
7 |
9 |
730 |
100 |
20 |
4 |
25 |
5 |
7 |
20 |
16 |
2.70 |
8.20 |
72 |
46 |
0.37 |
0.47 |
3 |
2 |
8 |
6 |
540 |
200 |
50 |
8 |
20 |
6 |
42 |
21 |
11 |
2.30 |
3.50 |
38 |
79 |
0.36 |
0.48 |
2 |
3 |
9 |
12 |
90 |
690 |
40 |
8 |
10 |
2 |
35 |
22 |
12 |
2.40 |
3.50 |
32 |
86 |
0.35 |
0.49 |
3 |
2 |
10 |
8 |
220 |
550 |
25 |
2 |
20 |
4 |
12 |
23 |
13 |
2.50 |
3.50 |
73 |
45 |
0.34 |
0.51 |
2 |
3 |
11 |
10 |
290 |
700 |
20 |
1 |
40 |
5 |
15 |
24 |
14 |
2.60 |
5.60 |
81 |
37 |
0.33 |
0.52 |
3 |
2 |
4 |
7 |
350 |
440 |
25 |
2 |
25 |
6 |
15 |
25 |
15 |
2.50 |
8.70 |
33 |
85 |
0.32 |
0.53 |
2 |
3 |
5 |
3 |
470 |
360 |
10 |
3 |
50 |
11 |
7 |
26 |
11 |
2.30 |
5.60 |
44 |
74 |
0.31 |
0.54 |
3 |
2 |
6 |
6 |
680 |
230 |
20 |
1 |
20 |
4 |
15 |
27 |
12 |
2.40 |
5.60 |
36 |
82 |
0.29 |
0.55 |
2 |
3 |
7 |
9 |
710 |
160 |
25 |
3 |
25 |
7 |
17 |
28 |
13 |
2.50 |
3.50 |
84 |
34 |
0.28 |
0.56 |
3 |
2 |
8 |
4 |
180 |
270 |
40 |
5 |
50 |
8 |
12 |
29 |
14 |
2.60 |
5.60 |
75 |
43 |
0.27 |
0.57 |
2 |
3 |
9 |
7 |
260 |
620 |
40 |
8 |
20 |
4 |
27 |
30 |
15 |
2.70 |
7.90 |
83 |
35 |
0.26 |
0.58 |
3 |
2 |
10 |
5 |
650 |
140 |
25 |
3 |
40 |
2 |
14 |
31 |
12 |
2.25 |
3.52 |
76 |
42 |
0.25 |
0.59 |
2 |
3 |
11 |
8 |
230 |
480 |
20 |
1 |
50 |
6 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовження далi |
|
|
|
|
|
|
|
||||
196 |
|
|
|
|
ДОДАТОК А. РОЗРАХУНКОВА РОБОТА 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовження попередньої сторiнки |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
16 |
17 |
|
|
||||
|
|
k |
l |
m |
n |
m1 |
m2 |
m3 |
n1 |
n2 |
n3 |
j |
n |
m |
p |
N |
|
||||
|
1 |
8 |
10 |
|
3 |
2 |
50 |
30 |
20 |
|
70 |
80 |
90 |
1 |
3 |
|
2 |
0.3 |
|
10 |
|
|
2 |
7 |
6 |
|
2 |
3 |
50 |
30 |
20 |
|
70 |
80 |
90 |
2 |
7 |
|
3 |
0.3 |
|
14 |
|
|
3 |
6 |
8 |
|
3 |
1 |
50 |
30 |
20 |
|
70 |
80 |
90 |
3 |
4 |
|
7 |
0.3 |
|
13 |
|
|
4 |
12 |
5 |
|
3 |
2 |
60 |
20 |
20 |
|
70 |
80 |
90 |
1 |
4 |
|
3 |
0.3 |
|
12 |
|
|
5 |
13 |
11 |
|
2 |
4 |
60 |
20 |
20 |
|
70 |
80 |
90 |
2 |
3 |
|
6 |
0.3 |
|
11 |
|
|
6 |
6 |
7 |
|
1 |
4 |
60 |
20 |
20 |
|
70 |
80 |
90 |
3 |
6 |
|
4 |
0.2 |
|
20 |
|
|
7 |
9 |
8 |
|
2 |
2 |
40 |
40 |
20 |
|
90 |
80 |
70 |
1 |
5 |
|
7 |
0.2 |
|
15 |
|
|
8 |
10 |
6 |
|
2 |
3 |
40 |
40 |
20 |
|
90 |
80 |
70 |
2 |
7 |
|
2 |
0.2 |
|
16 |
|
|
9 |
7 |
9 |
|
3 |
1 |
40 |
40 |
20 |
|
90 |
80 |
70 |
3 |
3 |
|
4 |
0.2 |
|
17 |
|
|
10 |
5 |
5 |
|
3 |
2 |
30 |
30 |
40 |
|
90 |
80 |
70 |
1 |
4 |
|
6 |
0.2 |
|
18 |
|
|
11 |
8 |
4 |
|
2 |
2 |
30 |
30 |
40 |
|
90 |
80 |
70 |
2 |
5 |
|
4 |
0.1 |
|
30 |
|
|
12 |
9 |
7 |
|
2 |
1 |
30 |
30 |
40 |
|
90 |
80 |
70 |
3 |
6 |
|
2 |
0.1 |
|
24 |
|
|
13 |
7 |
8 |
|
1 |
2 |
20 |
30 |
50 |
|
80 |
90 |
70 |
1 |
2 |
|
3 |
0.1 |
|
25 |
|
|
14 |
10 |
5 |
|
2 |
3 |
20 |
30 |
50 |
|
80 |
90 |
70 |
2 |
7 |
|
6 |
0.1 |
|
26 |
|
|
15 |
11 |
13 |
|
3 |
2 |
20 |
30 |
50 |
|
80 |
90 |
70 |
3 |
3 |
|
5 |
0.1 |
|
27 |
|
|
16 |
8 |
10 |
|
1 |
3 |
10 |
50 |
40 |
|
70 |
90 |
80 |
1 |
4 |
|
5 |
0.3 |
|
40 |
|
|
17 |
12 |
6 |
|
2 |
2 |
10 |
50 |
40 |
|
70 |
90 |
80 |
2 |
7 |
|
4 |
0.3 |
|
36 |
|
|
18 |
9 |
5 |
|
3 |
1 |
10 |
50 |
40 |
|
70 |
90 |
80 |
3 |
6 |
|
5 |
0.3 |
|
37 |
|
|
19 |
7 |
8 |
|
3 |
2 |
70 |
20 |
10 |
|
90 |
80 |
70 |
1 |
3 |
|
7 |
0.3 |
|
38 |
|
|
20 |
5 |
9 |
|
1 |
3 |
70 |
20 |
10 |
|
90 |
80 |
70 |
2 |
2 |
|
5 |
0.3 |
|
39 |
|
|
21 |
6 |
10 |
|
2 |
3 |
70 |
20 |
10 |
|
90 |
80 |
70 |
3 |
5 |
|
2 |
0.2 |
|
21 |
|
|
22 |
5 |
7 |
|
3 |
3 |
20 |
30 |
50 |
|
70 |
80 |
90 |
1 |
4 |
|
2 |
0.2 |
|
22 |
|
|
23 |
8 |
8 |
|
2 |
1 |
20 |
30 |
50 |
|
70 |
80 |
90 |
2 |
2 |
|
6 |
0.2 |
|
23 |
|
|
24 |
7 |
6 |
|
1 |
2 |
20 |
30 |
50 |
|
70 |
80 |
90 |
3 |
5 |
|
6 |
0.2 |
|
31 |
|
|
25 |
9 |
4 |
|
2 |
2 |
20 |
60 |
20 |
|
80 |
70 |
90 |
1 |
5 |
|
3 |
0.2 |
|
32 |
|
|
26 |
10 |
9 |
|
2 |
3 |
20 |
60 |
20 |
|
80 |
70 |
90 |
2 |
7 |
|
5 |
0.1 |
|
33 |
|
|
27 |
6 |
8 |
|
2 |
1 |
20 |
60 |
20 |
|
80 |
70 |
90 |
3 |
3 |
|
8 |
0.1 |
|
34 |
|
|
28 |
7 |
10 |
|
3 |
2 |
40 |
20 |
40 |
|
90 |
70 |
80 |
1 |
8 |
|
3 |
0.1 |
|
35 |
|
|
29 |
8 |
7 |
|
3 |
1 |
40 |
20 |
40 |
|
90 |
70 |
80 |
2 |
4 |
|
8 |
0.1 |
|
41 |
|
|
30 |
9 |
5 |
|
2 |
2 |
40 |
20 |
40 |
|
90 |
70 |
80 |
3 |
8 |
|
4 |
0.2 |
|
44 |
|
|
31 |
5 |
9 |
|
3 |
2 |
30 |
50 |
20 |
|
70 |
80 |
90 |
2 |
5 |
|
8 |
0.3 |
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовження далi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А.2. IНДИВIДУАЛЬНI ЗАВДАННЯ |
197 |
Продовження попередньої сторiнки
|
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
|
20 |
|
|
21 |
|||
|
n |
n1 |
n2 |
p1 |
p2 |
M |
n |
p |
n |
p |
k1 |
k2 |
a |
b |
x1 |
x2 |
1 |
15 |
1 |
2 |
0.10 |
0.20 |
7 |
2000 |
0.003 |
800 |
0.01 |
3 |
12 |
-3 |
5 |
-4 |
4 |
2 |
15 |
2 |
1 |
0.15 |
0.15 |
6 |
3000 |
0.002 |
700 |
0.01 |
7 |
10 |
-10 |
2 |
-6 |
0 |
3 |
15 |
2 |
2 |
0.15 |
0.15 |
5 |
4000 |
0.001 |
600 |
0.01 |
5 |
15 |
-20 |
40 |
0 |
50 |
4 |
15 |
1 |
1 |
0.10 |
0.15 |
8 |
5000 |
0.001 |
500 |
0.01 |
4 |
13 |
0.6 |
2.4 |
1 |
3 |
5 |
15 |
3 |
2 |
0.20 |
0.25 |
4 |
2000 |
0.002 |
400 |
0.01 |
2 |
14 |
18 |
34 |
12 |
25 |
6 |
20 |
2 |
2 |
0.10 |
0.20 |
3 |
1000 |
0.006 |
300 |
0.01 |
6 |
11 |
100 |
200 |
110 |
210 |
7 |
20 |
1 |
1 |
0.10 |
0.15 |
3 |
6000 |
0.001 |
300 |
0.02 |
9 |
16 |
-45 |
-13 |
-30 |
0 |
8 |
20 |
2 |
3 |
0.15 |
0.15 |
7 |
2000 |
0.004 |
200 |
0.01 |
3 |
6 |
-60 |
60 |
-70 |
50 |
9 |
20 |
1 |
2 |
0.20 |
0.25 |
8 |
2500 |
0.002 |
200 |
0.02 |
7 |
14 |
0.2 |
10 |
-2 |
6 |
10 |
20 |
3 |
2 |
0.15 |
0.20 |
5 |
1500 |
0.004 |
200 |
0.03 |
5 |
16 |
0.5 |
20 |
18.3 |
21 |
11 |
10 |
2 |
1 |
0.10 |
0.20 |
6 |
3000 |
0.001 |
200 |
0.04 |
10 |
20 |
0.4 |
12 |
10.3 |
15 |
12 |
10 |
1 |
3 |
0.10 |
0.25 |
3 |
4000 |
0.002 |
30 |
0.01 |
3 |
|
0.8 |
5 |
4 |
4.5 |
13 |
10 |
2 |
2 |
0.15 |
0.15 |
4 |
800 |
0.01 |
70 |
0.01 |
4 |
|
1 |
6.5 |
2 |
6.1 |
14 |
10 |
2 |
3 |
0.10 |
0.15 |
8 |
400 |
0.015 |
60 |
0.10 |
13 |
|
0.25 |
8 |
6.1 |
7.3 |
15 |
10 |
1 |
1 |
0.20 |
0.25 |
7 |
500 |
0.008 |
50 |
0.10 |
9 |
|
2 |
0 |
-0.8 |
-0.1 |
16 |
25 |
1 |
2 |
0.10 |
0.25 |
5 |
3000 |
0.002 |
40 |
0.10 |
7 |
|
0.1 |
53 |
50 |
60 |
17 |
25 |
2 |
2 |
0.05 |
0.10 |
6 |
2000 |
0.003 |
40 |
0.20 |
5 |
|
-20 |
10 |
-7 |
7 |
18 |
25 |
2 |
1 |
0.05 |
0.15 |
4 |
4000 |
0.002 |
30 |
0.02 |
4 |
|
41 |
4.9 |
30 |
42 |
19 |
25 |
1 |
3 |
0.10 |
0.30 |
3 |
5000 |
0.001 |
30 |
0.03 |
2 |
|
13 |
17 |
13 |
14 |
20 |
25 |
3 |
2 |
0.15 |
0.20 |
8 |
6000 |
0.001 |
90 |
0.01 |
8 |
|
25 |
35 |
0 |
30 |
21 |
30 |
1 |
1 |
0.20 |
0.25 |
7 |
7000 |
0.001 |
90 |
0.10 |
14 |
|
-10 |
-6 |
-7 |
0 |
22 |
30 |
1 |
2 |
0.20 |
0.30 |
6 |
700 |
0.01 |
900 |
0.01 |
|
13 |
16 |
26 |
19 |
20 |
23 |
30 |
2 |
1 |
0.10 |
0.15 |
5 |
600 |
0.01 |
800 |
0.01 |
|
12 |
5 |
50 |
45 |
100 |
24 |
30 |
1 |
3 |
0.15 |
0.20 |
3 |
500 |
0.01 |
700 |
0.01 |
|
11 |
-40 |
30 |
0 |
40 |
25 |
30 |
2 |
2 |
0.05 |
0.30 |
4 |
400 |
0.01 |
600 |
0.01 |
|
10 |
0.2 |
7.5 |
-4 |
8 |
26 |
20 |
2 |
1 |
0.05 |
0.10 |
8 |
300 |
0.02 |
500 |
0.01 |
|
9 |
0.5 |
19 |
18.4 |
30 |
27 |
20 |
1 |
3 |
0.10 |
0.30 |
7 |
200 |
0.03 |
400 |
0.01 |
|
8 |
0.4 |
6 |
5.9 |
6.1 |
28 |
20 |
1 |
1 |
0.20 |
0.30 |
6 |
200 |
0.02 |
300 |
0.02 |
|
7 |
0.8 |
0 |
-0.1 |
2 |
29 |
20 |
1 |
2 |
0.10 |
0.10 |
5 |
200 |
0.015 |
200 |
0.02 |
|
6 |
1 |
0.5 |
-10 |
0.2 |
30 |
20 |
3 |
2 |
0.20 |
0.25 |
4 |
1500 |
0.002 |
100 |
0.03 |
|
5 |
0.25 |
-6 |
-5 |
5 |
31 |
40 |
2 |
1 |
0.10 |
0.20 |
3 |
500 |
0.04 |
60 |
0.10 |
|
4 |
2 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кiнець таблицi |
|
|
|
|
|
|
|||
Додаток Б
Розрахункова робота 2
Б.1 Знаходження нормального розподiлу
Короткi теоретичнi вiдомостi. Розглянемо деякий статистичний розподiл
x |
( 0; 1) |
( 1; 2) |
. . . |
( k 1; k) |
n |
n1 |
n2 |
. . . |
nk |
Суть розподiлу полягає в тому, що в k-му iнтервалi ( k 1; k) лежать nk значень випадкової величини x. Виходячи з характеру експерименту, форми гiстограми або iнших мiркувань, можна висловити гiпотезу про те, що величина x пiдлягає певному законовi розподiлу. Далi висунуту гiпотезу перевiряють на основi спецiально розроблених критерiїв. У даному роздiлi будемо важати, що дослiджуванi величини мають нормальний закон розподiлу. Наша задача знайти параметри такого розподiлу i перевiрити на певному рiвнi значущостi узгодженiсть мiж емпiричними даними та гiпотезою.
Для знаходження параметрiв нормального розподiлу (m середнє значення, середнє квадратичне вiдхилення) побудуємо нову таблицю
x |
x1 |
x2 |
x3 |
. . . |
xk |
w |
w1 |
w2 |
w3 |
. . . |
wk |
198
Б.1. ЗНАХОДЖЕННЯ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДIЛУ 199
де xk середина iнтервалу ( k 1; k), а wk вiдповiдна вiдносна частота.
Знайдемо математичне очiкування та середнє квадратичне вiдхилення випадкової величини x:
X
k p
m = M[x] = xiwi; d = D[x] = M[x2] M2[x]; = d:
i=1
За цими параметрами можна записати щiльнiсть нормального розподiлу
1 |
(x m)2 |
||||
f(x) = |
p |
|
e |
2 2 |
: |
2
Для малих h (h = k k 1) теоретичнi значення ймовiрностей pi можна знайти за формулою
pi = p(&i 1 x &i) f(xi) h; (i = 1; 2; : : : ; k):
У загальному випадку, для їх знаходження можна скористатись функцiєю Лапласса
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) = |
p |
|
Zx |
e |
|
dt: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
При цьому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p |
|
= p(& |
i 1 |
|
x |
& ) = |
&i m |
|
|
|
|
&i 1 m |
: |
||||
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Якщо висловлена гiпотеза про нормальний розподiл вiрна, то вiдноснi частоти wi i вiдповiднi їм теоретичнi ймовiрностi pi повиннi бути близькими мiж собою. Для вияснення питання узгодженостi мiж емпiричними та теоретичними даними можна скористатись критерiями Пiрсона, Романовського, Колмогорова та iн.
Критерiй Пiрсона. Домовимось про такi позначення: wi вiдноснi частоти, отриманi на базi статистичних даних; pi обчисленi теоретичнi ймовiрностi;
k число груп таблицi;
200 |
ДОДАТОК Б. РОЗРАХУНКОВА РОБОТА 2 |
n об’єм вибiрки;
t число умов, що накладаються на частоти wi; r = k t ступiнь волi.
Розглянемо величину
2 = n k (wi pi)2 : (Б.1)
X
i=1 pi
Ця величина випадкова, оскiльки в рiзних дослiдах вона приймає рiзнi, наперед невiдомi значення. Далi, зрозумiло, що чим менша рiзниця мiж величинами wi та pi, тим меншим буде значення виразу (Б.1). Доведено, що при достатньо великих n закон розподiлу величини (Б.1) буде близький до розподiлу 2 ("хi. квадрат") з r = k t ступенями вiльностi незалежно вiд того, якому закону розподiлу пiдпорядкована величина x. Тому, розглянуту величину використовують як критерiй при перевiрцi статистичних гiпотез згiдно методики розглянутої у роздiлi 16.
Наприклад, вiзьмемо певний рiвень значущостi i побудуємо вiдповiдну правобiчну критичну область S (с. 171). Критичну точку 20 можна обчислити рiзними способами. Зокрема, якщо скористатися функцiєю qchisq(p; k), то її можна знайти за формулою 20 = qchisq(1 ; r). Таблиця функцiї qchisq(p; k) мiститься в додатках (с. 248). Далi, використовуючи статистичнi данi, обчислимо значення 2 виразу (Б.1). Якщо 2 < 20, то гiпотезу про нормальний розподiл статистичних даних приймають. Якщо2 > 20, то зазначену гiпотезу вiдхиляють.
Критерiй Романовського. Суть критерiю полягає в слiдуючому. Розглядають величину
= j 2 rj: |
(Б.2) |
p2r |
Якщо 3, то розбiжнiсть мiж теоретичними та дослiдними даними слiд вважати не випадковою. Якщо < 3, то таке розходження можна вважати випадковим.
З а у в а ж е н н я. Взагалi кажучи, яким би критериєм прийняття гiпотези ми не користувались, прийняття гiпотези H не
Б.1. ЗНАХОДЖЕННЯ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДIЛУ 201
означає, що ця гiпотеза в дiйсностi вiрна, а лише констатує факт вiдсутностi протирiч мiж результатами спостережень та прийнятою гiпотезою.
Приклад. Таблиця Б.1 мiстить данi про зрiст 1000 учнiв старших класiв. Перевiрити, чи не протирiчать статистичнi данi нормальному законовi розподiлу.
Табл. Б.1. Данi про зрiст учнiв
i |
Зрiст (в см.) |
Число учнiв |
wi |
xi |
pi |
(wi pi)2=pi |
0 |
143–146 |
1 |
0,001 |
144,5 |
0,0005 |
2,2E 05 |
1 |
146–149 |
2 |
0,002 |
147,5 |
0,002 |
|
2 |
149–152 |
8 |
0,008 |
150,5 |
0,009 |
|
3 |
152–155 |
26 |
0,026 |
153,5 |
0,028 |
1; 4E 04 |
4 |
155–158 |
65 |
0,065 |
156,5 |
0,066 |
1; 5E 05 |
5 |
158–161 |
120 |
0,120 |
159,5 |
0,121 |
8; 3E 06 |
6 |
161–164 |
181 |
0,181 |
162,5 |
0,175 |
2; 1E 04 |
7 |
164–167 |
201 |
0,201 |
165,5 |
0,197 |
8; 1E 05 |
8 |
167–170 |
170 |
0,170 |
168,5 |
0,175 |
1; 4E 04 |
9 |
170–173 |
120 |
0,120 |
171,5 |
0,121 |
8; 3E 06 |
10 |
173–176 |
64 |
0,064 |
174,5 |
0,066 |
6; 1E 05 |
11 |
176–179 |
27 |
0,027 |
177,5 |
0,028 |
3; 6E 05 |
12 |
179–182 |
10 |
0,010 |
180,5 |
0,009 |
|
13 |
182–185 |
3 |
0,003 |
183,5 |
0,002 |
5; 4E 04 |
14 |
185–188 |
1 |
0,001 |
186,5 |
0,0005 |
|
|
P |
1000 |
1,00 |
|
1,00 |
1; 26E 03 |
Якщо xi = a + bi (i = 0; 1; : : : ; k 1), то будемо мати: |
|
||
M[xi] = M[a + bi] = a + bM[i]; |
(Б.3) |
||
D[xi] = D[a + bi] = b2D[i]; |
(Б.4) |
||
[xi] = jbjp |
|
: |
(Б.5) |
D[i] |
|||
Нехай x випадкова величина, що характеризує зрiст. Неважко помiтити, що xi = 144; 5+3i (i = 0; 1; 2; : : : ; 14). Обчислимо середнє значення m, та серднє квадратичне вiдхилення величини x, скориставшись формулами (Б.3 Б.5):
202 |
ДОДАТОК Б. РОЗРАХУНКОВА РОБОТА 2 |
14
X
M[i] = t wt = 7; 00;
t=0
14
X
M[i2] = t2 wt = 53; 08;
t=0
D[i] =M[i2] M2[i] = 53; 08 49; 00 = 4; 08;
m = M[x] =144; 5 + 3M[i] = 144; 5 + 3 7; 00 = 165; 50;
pp
|
= [x] = 3 |
D[i] = 3 |
4; 08 = 6; 06: |
|
||||||
Щiльнiсть розподiлу матиме вигляд |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(x 165;50)2 |
u2 |
|
|||
|
1 |
|
|
e |
|
|
= 0; 066e |
2 ; u = |
x 165; 50 |
|
f(x) = |
|
|
2 6;062 |
|
: |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
6; 06p2 |
|
|
|
|
6; 06 |
|
|||
Для прикладу, обчислимо виправлену (теоретичну) ймовiрнiсть того факту, що зрiст старшокласника попаде в iнтервал
(170; 173)
|
9 |
|
9 |
|
|
|
|
1 |
171;5 165;5 |
2 |
|
|||
p |
|
|
e 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
= P (170 < x < 173) = f(x ) |
h = 3 0; 066 |
|
6;06 |
|
= 0; 123: |
|||||||
|
|
|
Скориставшись функцiєю Лапласса, подiбне обчислення мо- |
|||||||||||
жна провести iнакше, а саме |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
9 |
|
|
|
6; 06 |
6; 06 |
|||||||
p |
|
= P (170 < x < 173) = |
173 |
165; 50 |
|
|
|
|
170 |
|
165; 5 |
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= (1; 24) (0; 74) = 0; 3925 0; 2704 = 0; 122:
Аналогiчно обчислюються iншi значення pk. Порiвнявши вiдповiднi значення wi та pi в колонках таблицi бачимо, що статистичнi данi близькi до теоретичних. Переконатись, що дослiднi данi не протирiчать припущенню про їх нормальний розподiл, можна скориставшись критерiєм Пiрсона. При обчисленнi величини 2, рекомендується групи, що мiстять по кiлька елементiв,