Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

chap_0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

9.2. КОНТРОЛЬНI ПИТАННЯ

де '(x) – щiльнiсть розподiлу величини .

Дисперсiю зручно обчислювати, користуючись спiввiдношенням

d = D[f( )] = M[f2( )] M2[f( )]:

(9.5)

9.2Контрольнi питання

1.Як розумiти функцiю випадкового аргумента?

2.Як знайти закон розподiлу для функцiї, аргументом якої є дискретна випадкова величина?

3.Як знайти закон розподiлу для функцiї, аргументом якої є неперервна випадкова величина?

4.Чому дорiвнює математичне очiкування функцiї дискретного аргумента?

5.Чому дорiвнює математичне очiкування функцiї неперервного аргумента?

6.Як знайти дисперсiю для функцiї випадкового аргумента?

7.Чи буде лiнiйна функцiя нормально розподiленою, якщо її аргумент нормально розподiлений?

8.Чи буде квадратна функцiя нормально розподiленою, якщо її аргумент нормально розподiлений?

9.Як розумiти функцiю кiлькох випадкових аргументiв?

10.Як знайти закон розподiлу для суми двох дискретних випадкових величин?

11.Як знайти закон розподiлу для суми двох неперервних випадкових величин?

9.3Задачi роздiлу

9.1. Випадкова величина має розподiл

	1	0	1	2
p	0; 2	0; 1	0; 3	0; 4

Знайти функцiю розподiлу, математичне сподiвання та дисперсiю випадкової величини = 2 .

94 РОЗДIЛ 9. ФУНКЦIЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ

Розв’язання. Для знаходження математичного сподiвання i дисперсiї скористаємося формулами (9.3) та (9.5).

m = M[2 ] = 2 1 0; 2 + 20 0; 1 + 21 0; 3 + 22 0; 4 = 2; 4:

d= D[2 ] = M[(2 )2] M2[2 ] =

=2 2 0; 2 + 20 0; 1 + 22 0; 3 + 24 0; 4 2; 42 =

=7; 75 5; 76 = 1; 99:

Розподiл для функцiї = 2 буде такий

	0; 5	1	2	4

p	0; 2	0; 1	0; 3	0; 4

9.2. Нехай – випадкова величина має розподiл

	1	1
p	0; 5	0; 5

Знайти розподiл випадкової величини = sin .

Вiдповiдь. = 0; p = 1.

9.3. Нехай – випадкова величина, яка рiвномiрно розподiлена

на вiдрiзку [ 1; 1]. Знайти розподiл випадкової величини = j j.

Вiдповiдь.

G(x) = p( < x) =	8x; 0 < x 1;
	0;	x 0;
j j	>	x > 1:
	<1;	x > 1:
	>

9.4. Випадкова величина рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [0; 1]. Знайти розподiли випадкових величин: а) = 2; б) = 1 ;

в) = e .

Вiдповiдь.

G(x) = p( 2 < x) =			8px; 0 < x 1;
			>	0;	x 0;
			>
			<1;		x > 1:
			>
G(x) = p(	1	< x) =	:0;		x 0;
G(x) = p(		< x) =			x 0;
			(1 x1 ; x > 0:
G(x) = p(e < x) =			8ln x; 1 < x e;
			>	0;	x 1;
			<1;		x > e:
			>

9.3. ЗАДАЧI РОЗДIЛУ			95
9.5. Щiльнiсть розподiлу випадкової величини дорiвнює
p(x) =	1	1	:

		1 + x2

Знайти розподiл випадкової величини = arctg .

Вiдповiдь.

G(x) =	8x	+ 21 ;		2	< x			2 ;
	0;		x	2			;
	>					:
	<1;		x >		2	:
	>				2
	:

9.6. Випадкова величина рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [0; 2]. Знайти функцiю розподiлу випадкової величини = j 1j.

Вiдповiдь.

G(x) = p( 1 < x) =	8x; 0 < x 1;
j j	>	0;	x 0;
j j	>
	<1;		x > 1:
	>

9.7. Випадкова величина рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [ 1; 3]. Знайти функцiю розподiлу випадкової величини = j j.

Розв’язання. Запишемо щiльнiсть '(x) i функцiю розподiлу (x) для вiдповiдно:

(0;	для	x	1	x 3:
'(x) = 41 ;	для	1	x 3;
		62

(x) =	8x+14 ;		для	x	1 < x 3;
	>	0;	для	x	1;
	>
	<1;		для	x > 3:
	>		для
	:

Графiки на рис. 9.1 дають уявлення про поведiнку цих функцiй.

96 РОЗДIЛ 9. ФУНКЦIЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ

	1					1
	0:5					0:5
						0:25
1	1	2		3	1	1	2	3
Рис. 9.1. Щiльнiсть			та	функцiя	Рис. 9.2. Щiльнiсть модуля рiвно-
	рiвномiрного розподiлу					мiрного розподiлу

Для x > 0, будемо мати:

p(j j < x) = p( x < < x) = p(( x < 0) [ (0 < < x)) = = (0) ( x) + (x) (0) = (x) ( x) =

((

x+1	; 0 < x	3;	x+1	;
= 4			4
1;	x > 3:		0;

((

x+1	; 0 < x	3;	x+1	;
= 4			4
1;	x > 3:		0;

>x ; 0 < x < 1;

=x+14 ; 1 x 3;

:1; x > 3:

1 < x < 0;

x 1:

0 < x < 1;

x 1:

Вiдповiдь. Функцiя розподiлу F (x) та щiльнiсть розподiлу f(x) для випадкової величини j j запишуться так

F (x) =

f(x) =

2 ;

0 < x < 1;

2 ;

0 < x < 1;

>x+1

;

x 3;

;

x 3;

>1;

x > 3:

>1; x > 3:

На рис. 9.2 поданий графiк функцiї щiльностi для j j. Бачимо, що

9.3. ЗАДАЧI РОЗДIЛУ

модуль рiвномiрно розподiленої величини вже не буде рiвномiрно розподiленим.

9.8. Випадкова величина має розподiл Кошi з щiльнiстю p(x) =

1 1 2 . Знайти функцiю розподiлу й щiльнiсть розподiлу випад-

1+x

кової величини = 1

Вiдповiдь.

a) G(x) = p(	< x) =	8		1	arctg x1 ;	x < 0;
1			1		1 arctg x1 ;	x > 0;
		>1
		>1				x = 0:
		<	2	;		x = 0:
		>	2
		:

9.9.Дiаметр круга – випадкова величина , яка рiвномiрно розподiлена на вiдрiзку [a; b]. Знайти функцiю розподiлу площi круга.

9.10.Нехай O – початок координат, P – випадкова точка на осi

Ox, а Q – точка з координатами (0; 1). Вiдомо, що кут OQP рiвно-

мiрно розподiлений на вiдрiзку [ 2 2 ]. Знайти функцiю розподiлу й щiльнiсть розподiлу для абсциси точки P .

Вiдповiдь. OQP = y, = OP = tg y, F (x) = 1 arctg x + 12 , p (x) = 1 1+1x2 .

9.11. Випадкова величина U має стандартизований нормальний розподiл. Знайти розподiл величини U2.

Розв’язання. Для x > 0 маємо:

Z p

p(U2 < x) = p( px < U < px) =

dt =

Отже, для випадкової величини U2 = 2(1) щiльнiсть розподiлу матиме вигляд

f(x) =	(p12	p1x e 2		;	для x > 0.
	0;		x		для x 0;

Роздiл 10

Сумiсний розподiл

10.1Короткi теоретичнi вiдомостi

Двi випадковi величини x та y називаються незалежними, якщо закон розподiлу однiєї величини не залежить вiд того, яке значення прийняла iнша величина.

Закон розподiлу системи (x; y) двох випадкових величин x та y можна задати у виглядi такої таблицi

(x; y)	y1	y2		ym
x1	p11	p12		p1m
x2	p21	p22		p2m
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
xn	pn1	pn2		pnm

Записи в таблицi означають, що випадкова величина (x; y) приймає значення (xi; yj) з ймовiрнiстю pij.

Властивостi закону розподiлу

1.pij 0 для всiх i та j.

Pm Pn

2.j=1 i=1 pij = 1.

За вiдомим сумiсним розподiлом можна знайти розподiли для кожної з величин x та y окремо. Для цього введемо позначення.

10.1. КОРОТКI ТЕОРЕТИЧНI ВIДОМОСТI								99
			j		i=1		P	m
			j		i=1		P	j=1 pij, а су-
Суму ймовiрностей i-го рядка позначимо як pi						=		j=1 pij, а су-
му ймовiрностей j-го стовпчика – як p =					n		pij. Тодi закон
розподiлу для кожної з величин	x	та	y можна подати вiдповiдно
розподiлу для кожної з величин		та		P

таблицею

x	x1	x2		xn
p	p1	p2		pn

y	y1	y2		yn
p	p 1	p 2		p n

Знаючи закони розподiлу, для величин x та y можна знаходити потрiбнi параметри: математичне очiкування, дисперсiю i т.д.

Для незалежностi випадкових величин x та y необхiдно та достатньо виконання умови

pij = pi p j

(10.1)

для всiх i та j.

Закон розподiлу для системи ( ; ) двох неперервних випадкових величин та , тобто ймовiрнiсть того, що значення ( ; ) буде належати областi D, можна задати за допомогою функцiї f(x; y)

– щiльностi розподiлу

p( ; ) 2 D = f(x; y)dxdy: (10.2)

Щiльнiстю розподiлу може бути будь-яка невiд’ємна функцiя f(x; y), для якої справедлива рiвнiсть

Z Z

f(x; y)dxdy = 1:

(10.3)

1 1

За вiдомою щiльнiстю f(x; y) сумiсного розподiлу ( ; ) можна знайти щiльностi для кожної величини та окремо:

	1
f1(x) =	Z	f(x; y)dy	(щiльнiсть для );	(10.4)
	1
	1
f2(y) =	Z	f(x; y)dx	(щiльнiсть для ):	(10.5)

100	РОЗДIЛ 10. СУМIСНИЙ РОЗПОДIЛ

Знаючи щiльностi розподiлу, можна для величин та знаходити потрiбнi параметри: математичне очiкування, дисперсiю i т.д.

Для незалежностi випадкових величин та необхiдно й достатньо, щоб щiльнiсть системи ( ; ) сумiсного розподiлу дорiвнювала добутку щiльностей складових величин:

f(x; y) = f1(x)f2(y):

(10.6)

Кореляцiйний момент. Нехай m та m означають математичне очiкування для величин та вiдповiдно. Кореляцiйним моментом випадкових величин та називають математичне очiкування добутку їх вiдхилень:

= M[( m ) ( m )]:

(10.7)

Для обчислення кореляцiйних моментiв для дискретного та неперервного випадкiв користуються вiдповiдно такими формулами:

n		m
Xi	X		(10.8)
=		(xi m )(yj m )pij ;	(10.8)
=1 j=1
1		1
= Z 1 Z 1 f(x; y)(x m )(y m ) dxdy:			(10.9)

Коефiцiєнтом кореляцiї r називається вiдношення кореляцiйного моменту до добутку середнiх квадратичних вiдхилень:

r =	:	(10.10)

Якщо величини та незалежнi, то їх кореляцiйний момент дорiвнює нулевi.

Двi величини та називаються корельованими, якщо їх кореляцiйний момент не дорiвнює нулевi.

Двi величини та називаються некорельованими, якщо їх кореляцiйний момент дорiвнює нулевi.

Корельованi величини – залежнi. Обернене твердження невiрне. Можна навести приклади залежних величин, для яких кореляцiйний момент дорiвнює нулевi.

10.1. КОРОТКI ТЕОРЕТИЧНI ВIДОМОСТI

101

Якщо коефiцiєнт кореляцiї дорiвнює 1, то мiж та iснує лiнiйна залежнiсть.

Абсолютна величина кореляцiйного моменту не перевищує добутку їх середнiх квадратичних вiдхилень:

j j :

(10.11)

Абсолютна величина коефiцiєнта кореляцiї не перевищує одиницi:

				jr j 1:						(10.12)
Кореляцiйний момент можна знаходити за такою формулою
	= M[ ] M[ ] M[ ]:									(10.13)
падку i			P		n		m
падку i			P		i=1	P
В цiй формулi M[ ] =					i=1		j=1 xiyjpij для дискретного ви-
	M[ ] = xyf(x; y)dxdy для неперервного випадку.
Приклад. ДляRRсумiсного розподiлу системи (x; y), заданої та-
блицею
		(x; y)			0		0; 5	1

		0		1=6			1=6	1=6	;

		0; 5		1=6			1=6	0
		1		1=6			0	0

знайти коефiцiєнт кореляцiї.

Розв’язання. Для кожної з величин x та y побудуємо таблицi розподiлу

x	0	0; 5	1

p	1=2	1=3	1=6

y	0	0; 5	1

p	1=2	1=3	1=6

Обчислимо математичне очiкування, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення для кожної величини x, y. Оскiльки розподiли цих величин однаковi, то вiдповiднi параметри для величин

102												РОЗДIЛ 10.										СУМIСНИЙ РОЗПОДIЛ
x та y будуть рiвнi.
										1							1					1			1
mx = my = 0													+ 0; 5					+ 1						=			:
mx = my = 0										2			+ 0; 5				3	+ 1					6	=		3	:
										1								1						1				1		5
	dx = dy = 02												+ 0; 52							+ 12									=			:
	dx = dy = 02									2			+ 0; 52						3	+ 12				6				9	=	36		:
							p
							p		5
	x = y =									:
	x = y =					6				:
За формулою (10.8) знайдемо кореляцiйний момент
3						3					yi			3 pij =
xy = i=1		xi 3 j=1									yi			3 pij =
X					1	X								1
										+						3 + 1 3												6+
		3 3								+				2		3 + 1 3												6+
		1				1								1			1								1			1
		2						3 3 + 2														3 6+
				1				1							1						1	1			1
																															9
			1 3 3													6 =						6		6	+ 36 +						9		= 72:
						1								1		1						1		1				1		2			5

Скориставшись формулою (10.10), знайдемо коефiцiєнт кореляцiї

r =		=	5		5		=	1	:
			72		36			2

10.2Контрольнi питання

1.Розкрийте поняття незалежностi випадкових величин.

2.Як можна задати закон розподiлу системи двох випадкових величин?

3.Назвiть властивостi закону розподiлу системи випадкових величин.

4.Як за вiдомим законом розподiлу системи (x; y) знайти розподiли для x та y?

5.Зформулюйте для дискретного випадку критерiй незалежностi випадкових величин.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.07.201959.9 Кб2Business_and_environment_Unit_7.doc
#
12.05.201511.12 Mб199C _Учебник_МОНУ.pdf
#
12.05.20153.23 Mб10calimera_guidlines_ukrainian.pdf
#
17.03.20164.23 Mб3Catalog_NEO.pdf
#
12.05.2015495.9 Кб9chapter1.pdf
#
17.03.20162.06 Mб72chap_0.pdf
#
12.05.201585.5 Кб190characteristic_5_course.doc
#
16.09.2019401.41 Кб2chast_3.doc
#
12.11.2019396.8 Кб3chyselni_metody.doc
#
16.11.20192.3 Mб2Cikl_3.doc
#
12.05.2015779.22 Кб20Comp Model io_palevo.pdf