chap_0
.pdf12.5. КОНТРОЛЬНI ПИТАННЯ |
143 |
12.5Контрольнi питання
1.У чому криється суть закономiрностей, об’єднаних спiльною назвою "Закон великих чисел"?
2.Зформулюйте нерiвнiсть Чебишова. У чому полягає її важливiсть?
3.Розкрийте поняття збiжностi за ймовiрнiстю.
4.Зформулюйте теорему Чебишова. У чому полягає її практична цiннiсть?
5.Зформулюйте теорему Бернуллi. У чому полягає її практична цiннiсть?
6.Розкрийте змiст центральної граничної теореми. У чому полягає її важливiсть?
7.Розкрийте поняття асимптотично нормального розподiлу.
8.Як з центральної граничної теореми отримати iнтегральну наближену формулу Лапласа?
9.Назвiть застосування наближених формул Лапласа.
10.Як використовується центральна гранична теорема для оцiнки середнього значення?
11.Як використовується центральна гранична теорема для оцiнки вiдносних частот?
12.У чому суть задачi про технологiчний процес?
12.6Задачi роздiлу
12.1. Монету пiдкидають 1000 разiв. Яка ймовiрнiсть, що модуль вiдхилення частоти появи "герба"вiд числа 0,5 буде менший 0,1?
Вiдповiдь. p > 39=40.
12.2. У ящику 1000 бiлих i 2000 чорних куль. Вийняли по однiй з поверненням 300 куль. Оцiнити ймовiрнiсть того, що число m вийнятих при цьому бiлих куль лежить у межах 80 < m < 120.
Вiдповiдь. p > 5=6.
12.3. Нехай у результатi 100 незалежних випробувань знайденi значення випадкової величини x: x1, x2,. . . ,x100. Нехай математичне очiкування M[x] = 10 i D[x] = 1. Оцiнити ймовiрнiсть того, що
144 |
РОЗДIЛ 12. ГРАНИЧНI ТЕОРЕМИ |
модуль рiзницi мiж середнiм арифметичним знайдених значень i математичним очiкуванням буде менший 0,5.
Вiдповiдь. p > 24=25.
12.4. Кубик пiдкидають 10000 разiв. Оцiнити ймовiрнiсть модуля вiдхилення частоти появи шiстки вiд її ймовiрностi менш нiж 0,01.
Вiдповiдь. p 31=36.
12.5. Довжина деталей – випадкова величина, середнє значення якої ( математичне очiкування) дорiвнює 90 см, а дисперсiя дорiвнює 0,0225 см2. Використовуючи нерiвнiсть Чебишова, оцiнити ймовiрнiсть того, що: а) модуль вiдхилення довжини деталi вiд її середнього значення не перевищить 0,4; б) довжина деталi лежатиме в iнтервалi (89; 7; 90; 3).
Вiдповiдь. p 0; 86; p 0; 75.
12.6. Пристрiй складається з 10 незалежно працюючих елементiв. Ймовiрнiсть вiдмови кожного елемента за час t дорiвнює 0,05. Використовуючи нерiвнiсть Чебишова, оцiнити ймовiрнiсть того, що абсолютна величина рiзницi мiж числом елементiв, що вiдмовили i середнiм числом вiдмов за час t виявиться меншою 2.
Вiдповiдь. p 0; 88: |
|
|
|
|
|
12.7. Величина x задана законом |
x |
0; 3 |
0; 6 |
: Використову- |
|
p |
0; 2 |
0; 8 |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
ючи нерiвнiсть Чебишова, оцiнити ймовiрнiсть нерiвностi jx M[x]j < ".
Вiдповiдь. p 0; 64:
12.8. Ймовiрнiсть подiї при кожному випробуваннi дорiвнює 0,7. Скiльки разiв потрiбно провести випробування, щоб з ймовiрнiстю 0,9 можна було б очiкувати, що модуль вiдхилення частоти появи подiї А вiд її ймовiрностi не бiльше 0,5?
Вiдповiдь. n = 273:
Роздiл 13
Основнi поняття математичної статистики
13.1Основнi теоретичнi положення
Сучасна математична статистика визначається як наука про прийняття рiшень в умовах невизначеностi. Її задача полягає у створенi методiв збору й обробки статистичних даних для отримання висновкiв наукового чи практичного характеру.
Вибiрковою сукупнiстю або просто вибiркою називають сукупнiсть випадково взятих елементiв. Ту ширшу множину, iз якої береться вибiрка, називають генеральною сукупнiстю. Обсягом сукупностi називають число її елементiв. Наприклад, якщо з 1000 деталей для аналiзу якостi вiдiбрали 100, то обсяг генеральної сукупностi N = 1000, а обсяг вибiрки n = 100.
При складаннi вибiрки можна користуватися такими двома способами: випадковим чином вiдiбрати об’єкт, провести його дослiдження i повернути або не повернути його назад у генеральну сукупнiсть. У вiдповiдностi iз сказаним вибiрки подiляють на повторнi i безповторнi.
Вибiрка повинна бути репрезентативною, тобто за її даними можна впевнено судити про дослiджувану ознаку генеральної сукупностi.
145
146 РОЗДIЛ 13. ОСНОВНI ПОНЯТТЯ СТАТИСТИКИ
Нехай iз генеральної сукупностi взята вибiрка, причому значення x1 спостерiгалось n1 разiв, x2 n2 разiв, xk nk разiв. Значення x1, x2,. . . , xk називають варiантами, а послiдовнiсть варiант, записаних у зростаючому порядку, варiацiйним рядом. Числа n1, n2,. . . , nk називають частотами, а їх вiдношення до обсягу вибiрки ni=N = wi вiдносними частотами.
Статистичний закон розподiлу дискретної випадкової величини x зручно задати таблицею, що встановлює зв’язок мiж її значеннями та частотами
x |
x1 |
x2 |
x3 |
. . . |
xn |
nx |
n1 |
n2 |
n3 |
. . . |
nn |
Закон розподiлу стверджує, що в данiй серiї випробувань випадкова величина x значення xi прийняла ni разiв. Часто статистичний закон розподiлу задають аналогiчною таблицею, яка встановлює зв’язок мiж значеннями випадкової величини та їх вiдносними частотами.
Якщо x є неперервна випадкова величина, то її статистичний розподiл також можна подати у виглядi таблицi
x |
(x1; x2] |
(x2; x3] |
(x3; x4] |
. . . |
(xn 1; xn) |
nx |
w1 |
w2 |
w3 |
. . . |
wn |
Нехай подiя Ak полягає у тому, що значення випадкової величини x потрапило у промiжок (xk 1; xk). Тодi закон розподiлу стверджує, що в данiй серiї випробувань вiдноснa частота настання подiї Ak дорiвнює wk.
Статистичною функцiєю розподiлу вибiрки F (x) називають функцiю, яка кожному значенню x ставить у вiдповiднiсть вiдносну частоту настання подiї x < x:
F (x) = nNx ;
де nx число варiант, менших x; N обсяг вибiрки. Запишемо цю формулу у детальнiшому виглядi:
|
8 |
|
wk; |
якщо xk < x xk+1; |
|
F (x) = |
|
0; |
якщо x x1; |
|
|
>k xk<x |
|
||||
|
> |
|
|
|
|
|
> j |
P |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
>1; |
якщо x > xn. |
|||
|
> |
|
|
|
|
>
:
(13.1)
(13.2)
13.2. ОЦIНКИ ПАРАМЕТРIВ РОЗПОДIЛУ |
147 |
Приклад 13.1. Побудувати статистичну функцiю для розподiлу
x |
2 |
6 |
10 |
nx |
12 |
18 |
30 |
Р о з в’ я з о к. Знайдемо обсяг вибiрки N = 12 + 18 + 30 = 60.
Якщо x 2, то F (x) = 0, оскiльки не iснує жодного варiанту меншого x. Якщо ж 2 < x 6, то F (x) = 12=60 = 0; 2, бо лише
один варiант x1 = 2 iз частотою n1 = 12 менший за x. Якщо ж
6 < x 10, то F (x) = (12 + 18)=60 = 0; 5, бо уже маємо два
варiанти x1 = 2 та x2 = 6 iз частотами n1 = 12 та n2 = 18, якi меншi за x. Якщо ж x > 10, то F (x) = (12 + 18 + 30)=60 = 1, бо
усi варiанти будуть мешi x.
Статистична функцiя для даного розподiлу буде такою
8
>0; якщо x 2;
>
>
>
F (x) = <0; 2 якщо 2 < x 6; >0; 5 якщо 6 < x 10;
>
>
>
:1; якщо x > 10.
13.2Оцiнки параметрiв розподiлу
Нехай маємо результати n незалежних вимiрювань деякої величини. Вважаємо, що цi результати x1,x2,. . . , xn не мають грубих та систематичних похибок. Потрiбно оцiнити числове значення параметра дослiджуваної величини за результатами вимiрювань. Конкретизуємо поставлену задачу. Оцiнити значення параметраозначає:
а) знайти таку функцiю Q(x1; x2; : : : ; xn), визначену на множинi результатiв вимiрювання, яка забезпечує необхiдне наближення для (така функцiя називається точковою оцiнкою або просто оцiнкою). Наприклад, нехай x1,x2,. . . ,xn результати вимiрювання довжини деталi, а проектована довжина цiєї ж деталi. Тодi середнє арифметичне результатiв вимiрювання буде точковою оцiнкою параметра .
б) знайти межi певного iнтервалу (t1; t2), який з наперед заданою ймовiрнiстю мiстить точне значення параметра . Така
148 РОЗДIЛ 13. ОСНОВНI ПОНЯТТЯ СТАТИСТИКИ
оцiнка вже називається довiрчою оцiнкою, а ймовiрнiсть довiрчою ймовiрнiстю або надiйнiстю оцiнки. При цьому iнтервал (t1; t2) називається довiрчим iнтервалом, а його межi довiрчими границями.
Для забезпечення хорошого наближення оцiнка повинна задовольняти такi вимоги:
1. Бажано, щоб користуючись оцiнкою Q(x1; x2; : : : ; xn) замiсть точного значення , ми не робили похибок у сторону його заниження чи завищення, тобто математичне очiкування оцiнки Q повинно дорiвнювати значенню , тобто
M[Q(x1; x2; : : : ; xn)] = :
Оцiнка, що задовольняє такi вимозi, називається незмiщеною. Незмiщенiсть особливо важлива при малому числi дослiдiв.
2. Бажано, щоб iз збiльшенням числа n випробувань значення випадкової величини Q(x1; x2; : : : ; xn) бiльш тiснiше концентрувались бiля , тобто виконувалась умова
D[Q(x1; x2; : : : ; xn)] ! 0 при n ! 1:
Оцiнка, що задовольняє такiй вимозi, називається слушною.
Оцiнка математичного очiкування. Вивчення оцiнок розпочнемо з важливого випадку оцiнки математичного сподiвання m випадкової величини x. В якостi такої оцiнки виступає середнє арифметичне n значень цiєї величини:
|
n |
: |
(13.3) |
|
x = iP |
||||
|
|
xi |
|
|
|
=1 |
|
|
|
n
Вважаючи x1; x2; : : : ; xn випадковими величинами, що мають спiльний з x розподiл, неважко переконатися у незмiщеностi та слушностi цiєї оцiнки.
Дiйсно, використовуючи вiдомi властивостi (c. 76), знайдемо математичне очiкування оцiнки x
1 |
n |
1 |
|
|||
|
|
Xi |
|
|
|
|
M[x] = n |
M[xi] = nnM[x] = m: |
|||||
=1 |
||||||
|
|
|
|
|
||
13.3. ДОВIРЧI IНТЕРВАЛИ |
149 |
Це означає, що вибiркове середнє x незмiщена оцiнка параметра m.
Аналогiчним чином можна переконатися у справедливостi наступної рiвностi
1 |
n |
1 |
|
D |
||||
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
D[x] = n2 |
D[xi] = n2 nD = n : |
|||||||
=1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Права частина рiвностi прямує до нуля з ростом n, отже i дисперсiя D[x] прямує до нуля, а це i доводить слушнiсть оцiнки.
Оцiнка дисперсiї. Оцiнкою для дисперсiї D[x] служить наступна випадкова функцiя
|
n |
|
2 |
|
|
s2 = |
Pi=1n(xi |
1 x) |
|
: |
(13.4) |
|
|
|
|
|
|
Як i в попередньому випадку можна довести, що розглянута оцiнка незмiщена та слушна. Величину (13.4) називають виправленою статистичною дисперсiєю.
13.3Довiрчi iнтервали
Розглянемо детальнiше питання про оцiнку параметра m (математичне очiкування) деякої нормально розподiленої величини x. Потрiбно на основi дослiдних даних оцiнити параметр m та побудувати для нього довiрчий iнтервал, що вiдповiдає заданiй надiйностi. Ця задача має велике практичне значення, особливо при обробцi результатiв вимiрювань.
Частковий розв’язок задачi дає формула (13.3). Недолiком формули є вiдсутнiсть оцiнки для похибки наближення. Тому значно бiльше значення має довiрча оцiнка, тобто iнтервал (m1; m2), який з наперед заданою ймовiрнiстю мiстить iстинне значення m. Задачу довiрчих оцiнок розглянемо для двох випадкiв: а) параметр вiдомий; б) параметр невiдомий.
150 РОЗДIЛ 13. ОСНОВНI ПОНЯТТЯ СТАТИСТИКИ
Довiрчий iнтервал для m при вiдомому . Розглянемо випадкову величину
x m
u = ; (13.5)
p
n
де x визначається за формулою (13.3), середнє квадратичне вiдхилення вважається вiдомим параметром, а m математичне очiкування невiдомим.
Величина u буде нормально розподiленою з математичним очiкуванням рiвним нулевi та середнiм квадратичним вiдхиленням рiвним одиницi (нормована величина). За формулою (11.3) будемо мати
p( t < u < t ) = (t ) ( t ) = 2 (t ) = :
Таким чином, задавши деяке значення ймовiрностi , можна знайти (наприклад, скориставшись таблицею Е.2) вiдповiдне йому число t як розв’язок рiвняння
2 (t ) = : |
(13.6) |
Отримавши шукане число t , можна стверджувати, що ймовiрнiсть подiї t < u < t дорiвнює .
Скориставшись означенням величини u, можна записати нерiвнiсть t < u < t у рiвносильному виглядi
|
|
|
|
|
(13.7) |
|||
x t |
p |
|
|
< m < x + t |
p |
|
: |
|
n |
|
n |
||||||
Ця формула означає, що iнтервал
x t pn |
; x + t pn |
(13.8) |
||
|
|
|
|
|
з надiйнiстю мiстить невiдомий параметр m.
Приклад 13.2. Проведено 5 незалежних спостережень нормально розподiленої величини x iз невiдомим параметром m та = 2. Результати дослiджень записанi в таблицi
13.3. ДОВIРЧI IНТЕРВАЛИ |
|
151 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
Знайти оцiнку |
nx |
25 |
34 |
20 |
10 |
21 |
|
|||
x для математичного очiкування та побудувати |
||||||||||
для неї 90% довiрчий iнтервал. |
|
|
|
|
||||||
Р о з в’ я з о к. Скориставшись табличними даними, будемо |
||||||||||
мати |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
( 25 |
+ 34 20 + 10 + 21) = 4: |
||||||||
x = |
|
|||||||||
5 |
||||||||||
За допомогою таблицi Е.2 знайдемо, що t = 1; 65, де t розв’язок
рiвняння 2 (t ) = . За формулою (13.8) |
обчислимо довiрчий |
||||||||
iнтервал |
; x + t pn |
|
4 1; 65p5 |
; 4 + 1; 65p5 |
|
||||
x t pn |
= |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
(4 1; 47; 4 + 1; 47) = (2; 53; 5; 47):
Таким чином, можемо з надiйнiстю 90% стверджувати, що невiдоме значення параметра m лежить в iнтервалi (2; 53; 5; 47).
Довiрчий iнтервал для m при невiдомому . Припустимо, що вiдома лише певна кiлькiсть незалежних спостережень нормально розподiленої випадкової величини x, для якої є невiдомими обидва параметри m та . Як i в попередньому пунктi, потрiбно оцiнити m, побудувавши для нього довiрчий iнтервал, що вiдповiдає заданiй надiйностi. Для цiєї мети застосовують випадкову величину
t = |
x m |
; |
(13.9) |
|||
|
s |
|
|
|
||
|
p |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
де |
|
|
|
|||
|
n |
; |
|
(13.10) |
||
x =iP |
|
|||||
|
xi |
|
|
|
||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
||
|
(xi x)2 |
(13.11) |
||||
s2 =iP |
|
: |
||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
n 1
152 РОЗДIЛ 13. ОСНОВНI ПОНЯТТЯ СТАТИСТИКИ
Доведено, що закон розподiлу цiєї величини не залежить вiд параметра i пiдлягає закону розподiлу Стьюдента з n 1 ступенями вiльностi (див. с. 124).
Нагадаємо, що щiльнiсть розподiлу Стьюдента виражається формулою
1 |
(n ) |
x2 |
|
n2 |
||
dt(x; n 1) = p(n 1) (n2 |
1 ) |
1 + n 1 |
: (13.12) |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
Той факт, що величина t пiдлягає закону розподiлу Стьюдента з n 1 ступенями вiльностi, дає можливiсть обчислити ймовiрнiсть попадання її значень у довiльний iнтервал (a; b), зокрема,
t |
t |
p( t < t < t ) = Z t dt( ; n 1) d = 2 Z0 |
dt( ; n 1) d : |
Аналогiчно попередньому випадковi, для заданої надiйностi
знайдемо число t , яке служить розв’язком рiвняння |
|
||||
2 Z0t dt( ; n 1) d = : |
(13.13) |
||||
Тодi, будемо мати довiрчий iнтервал |
|
||||
x t |
psn |
; x + t |
psn |
; |
(13.14) |
який з надiйнiстю служить оцiнкою для параметра m.
Для знаходження числа t за даним можна скористатися
таблицею Е.3 або функцiєю qt( ; n) iз Mathcad (див. с. 124). При цьому t = qt(1+2 ; n 1).
Приклад 13.3. Термiн служби освiтлювальних ламп пiдлягає нормальному законовi розподiлу, параметри m та якого невiдомi. Для оцiнки цих параметрiв провели 16 контрольних випробувань, на основi яких знайшли, що
x = 3000 год, s = 20 год.
Для невiдомого параметра m потрiбно побудувати довiрчий iнтервал iз надiйнiстю 0,9.