chap_0

0:5

Рис. 11.3. Графiки щiльностей нормальних кривих для рiзних значень математичних очiкувань: M[x] = 0, M[x] = 2, M[x] = 2 i фiксованого середнього квадратичного вiдхилення = 1.

тобто площа вiдповiдної необмеженої криволiнiйної трапецiї дорiвнює 1.

На рис. 11.2 та 11.3 показанi графiки щiльностей нормальних розподiлiв для рiзних значень параметрiв.

Функцiя Лапласа. Iнтеграл iз змiнною верхньою межею

називають функцiєю або iнтегралом Лапласа. Функцiї 11.5 та 11.2 пов’язанi простою залежнiстю

F (x) = (x) + 12:

В науковiй лiтературi можна зустрiти ще одну функцiю

яку називають iнтегралом ймовiрностi. Очевидно, що

(x) =

2 (x). На рис. 11.4 показанi графiки цих iнтегралiв.

Розглянутi функцiї не можна виразити через елементарнi, тому для них побудованi таблицi. Так, таблиця Е.2 на с. 244 мiстить значення функцiї (11.5).

Теорема 11.2. Якщо випадкова величина x розподiлена нормально з математичним очiкуванням m i середнiм квадратичним вiдхиленням , то ймовiрнiсть того, що значення випадкової величини x належатиме вiдрiзку [ ; ], визначається формулою

Правило трьох сигм. Поклавши у формулi (11.6) = m 3 ,

= m + 3 , отримаємо

p(m 3 x m + 3 ) = p(jx mj 3 ) =

=(3) ( 3) = 2 (3) = 0; 9973:

Цей результат називають правилом трьох сигм. Суть його полягає у тому, що з досить великою ймовiрнiстю, а саме 0,9973, можна вважати, що значення нормально розподiленої величини лежить у промiжку m 3 x m + 3 .

Приклад 11.1. Завод виготовляє стальнi кульки для пiдшипникiв. Кожна кулька повинна мати один i той же дiаметр d (проектована довжина). Проте, в силу ряду причин, неминучих у масовому виробництвi, фактична довжина дiаметра дещо вiдрiзнятиметься вiд d. Позначимо через x рiзницю мiж фактичним i проектованим

d +

d

Рис. 11.5. Модель перевiрки кульок на вiдповiднiсть стандарту

значеннями дiаметра. Величина x (похибка дiаметра) має нормальний розподiл iз математичним очiкуванням 0 i деяким середнiм квадратичним вiдхиленням , що характеризує середню точнiсть виготовлення кульок.

Кожна кулька, зiйшовши з конвеєра, проходить контроль, суть якого полягає в тому, що кульки проходять через сита з отворами, дiаметри яких d + " i d " (" > 0). Кульки, що проходять через бiльшi отвори, але застрягають у менших вважаються стандартними, решта – бракуються (рис. 11.5). Знайти ймовiрнiсть того, що випадково взята з конвеєра кулька буде бракованою.

Р о з в’ я з о к. Умовою, що кулька витримає контроль служить нерiвнiсть " < x < ". Скориставшись формулою (11.6) будемо мати

Отже, ймовiрнiсть того, що кулька випадково взята з конвеєра буде бракована дорiвнює 1 2 " .

11.2Рiвномiрний закон розподiлу

Щiльнiсть рiвномiрного розподiлу випадкової величини x визначається рiвнiстю

дiлу:

На рис. (11.6) поданi графiки цих функцiй.

Основнi параметри рiвномiрного розподiлу:

Математичне очiкування m = M[x] = a+2 b ;

Дисперсiя d = D[x] = (a12b)2 ;

Середнє квадратичне вiдхилення = b a .

p

2 3

Приклади на застосування рiвномiрного розподiлу поданi в роздiлi 3.5, де розглядаються геометричнi ймовiрностi.

11.3Показниковий закон розподiлу

Щiльнiсть показникового закону розподiлу для числа > 0 задається формулою

На рис. 11.8 показанi графiки цiєї функцiї для кiлькох значень .

Неважко обчислити i саму функцiю розподiлу F (x), скориставшись означенням F (x) = R1x f(t) dt:

Основнi параметри показникового закону розподiлу:

Математичне очiкування m = M[x] = 1 ;

Дисперсiя d = D[x] = 12 ;

Середнє квадратичне вiдхилення = (x) = 1 .

Ймовiрнiсть попадання значень випадкової величини x в iнтервал ( ; ) дорiвнює

Статистичний змiст параметра полягає в наступному, – це середнє число подiй за одиницю часу, а 1= – це промiжок часу мiж двома послiдовними подiями.

Показниковий розподiл часто зустрiчається в теорiї масового обслуговування, теорiї надiйностi тощо. Нехай t – час безвiдмовної роботи деякого елемента, а – iнтенсивнiсть вiдмов (середнє число вiдмов за одиницю часу). Тодi час t роботи елемента можна вважати неперервною випадковою величиною, розподiленою за показниковим законом iз функцiєю розподiлу

яка визначає ймовiрнiсть вiдмови елемента за час x. Протилежна ймовiрнiсть

називається функцiєю надiйностi. Функцiя надiйностi визначає ймовiрнiсть безвiдмовної роботи елемента за час x. Графiк цiєї функцiї показаний на рис. 11.9.

Приклад 11.2. Час t роботи радiолампи має показниковий розподiл. Знайти ймовiрнiсть безвiдмовної роботи лампи на протязi 600 год., якщо середнiй час роботи лампи – 400 год.

Р о з в’ я з о к. За умовою задачi математичне очiкування величини t дорiвнює 400 год. Тому = m1 = 4001 . За формулою надiйностi R(x) = e x маємо

R(600) = e 600400 = e 1;5 = 0; 2231:

Можемо сказати: ймовiрнiсть того, що лампа пропрацює не менше 600 год. дорiвнює 22%.

11.4Бiномний розподiл

Нехай проводиться певне число n незалежних дослiдiв. В кожному з цих дослiдiв з однiєю i тiєю ж ймовiрнiстю p може наступити деяка подiя А. Розглядається випадкова величина x – число настання подiї у n дослiдах. Вiдповiдна таблиця розподiлу для x матиме вигляд

Cnk – число сполук iз n елементiв по k, q = 1 p.

Закон розподiлу заданий цiєю таблицею називається бiномним. Така назва пов’язана з вiдомою властивiстю бiнома Ньютона:

nn

Основнi параметри бiномного розподiлу:

Математичне очiкування m = M[x] = np;

Дисперсiя d = D[x] = npq;

Середнє квадратичне вiдхилення = pnpq.

На рис. 11.10 показанi графiки бiномного розподiлу для n = 10 i рiзних значень ймовiрностi p. Кожний графiк являє собою дискретну множину точок (для наочностi точки послiдовно з’єднанi ламаною лiнiєю).

Бiномний розподiл при n > 30 можна апроксимувати нормальним розподiлом iз параметрами m = np, = pnpq. Сказане означає, що при достатньо великих n бiномнi ймовiрностi можна знаходити за наближеною формулою

з указаними значеннями параметрiв m та (див. локальну теорему Лапласа на с. 70).

На рис. 11.11 показанi графiки бiномного та нормального розподiлiв для рiзних значень n та p. Цi графiки наочно iлюструють факт наближення бiномного розподiлу до нормального.

11.5Розподiл Пуассона

Основнi параметри розподiлу Пуассона.

Математичне очiкування m = M[x] = ;

Дисперсiя d = D[x] = ;

pСереднє квадратичне вiдхилення = .

Характерною особливiстю розподiлу Пуассона є рiвнiсть дисперсiї i математичного очiкування.

Розподiл Пуассона заслуговує особливої уваги тому, що серед дискретних розподiлiв вiн часто зустрiчається на практицi. Укажемо на тiсний зв’язок розподiлу Пуассона з бiномним розподiлом. Якщо у виразi для бiномних ймовiрностей

Pn(k) = Cnk pk qn k (p + q = 1; k = 0; 1; 2; : : : ; n)

зафiксувати значення k i спрямувати число дослiдiв n до нескiнченностi, а ймовiрнiсть p – до нуля, причому так, щоб їх добуток зоставався сталим (np = = const), то будемо мати

Це спiввiдношення показує, що при описаному граничному переходi таблиця бiномного розподiлу переходить у таблицю розподiлу Пуассона (рис. 11.13). Це дає можливiсть зводити обчислення бiномних ймовiрностей для великих n i малих p до простiшої формули, а саме (11.15). Для того щоб похибка такої апроксимацiї була незначною, n має бути не меншим кiлькох десяткiв, а добуток np – лежати мiж 1 та 10. Сказане пояснює часто вживану i другу назву для розподiлу Пуассона – закон рiдкiсних явищ.

На рис. 11.12 показанi графiки функцiї Pk = kk! e для рiзних значень . Кожний графiк являє собою дискретну множину точок (для наочностi точки послiдовно з’єднанi ламаною лiнiєю).