chap_0

7.3Задачi роздiлу

7.1. Два рiвносильних шахiсти грають у шахи. Що бiльш ймовiрно: а) виграти двi партiї з чотирьох чи три партiї iз шести; б) одну партiю з двох чи двi з чотирьох; в) виграти не менше двох партiй з чотирьох чи не менше трьох партiй з п’яти (нiчиї не враховуються)?

Розв’язання. а) Грають рiвносильнi шахiсти, тому ймовiрнiсть виграшу p = 1=2, а отже, ймовiрнiсть програшу q також дорiвнює 1=2. В усiх партiях ймовiрнiсть виграшу є сталою, не має значення, у якiй послiдовностi виграються партiї. Це є пiдставою для застосування формули Бернуллi

Pn(k) = Cnkpkqn k:

Обчислимо ймовiрнiсть того, що двi партiї з чотирьох будуть ви-

гранi: P4(2) = C42 0; 52 0; 52 = 6=16 = 3=8:

Обчислимо ймовiрнiсть того, що три партiї iз шести будуть ви-

гранi: P6(3) = C63 0; 53 0; 53 = 5=16:

P4(2) > P6(3), отже, виграти двi партiї з чотирьох бiльш ймовiрно, нiж три iз шести.

б) Обчислимо ймовiрнiсть того, що одна партiя з двох буде вигра-

на: P2(1) = C21 0; 5 0; 5 = 1=2:

Ймовiрнiсть того, що вигранi двi партiї з чотирьох, обчислена ра-

нiше – P4(2) = 3=8.

P2(1) > P4(2), отже, виграти одну партiю з двох бiльш ймовiрно, нiж двi з чотирьох.

в) Обчислимо ймовiрнiсть того, що виграно не менше двох партiй

з чотирьох: P4(2) + P4(3) + P4(4) = 3=8 + C43 0; 53 0; 5 + 0; 54 або 1 (P4(0) + P4(1)) = 1 (0; 54 + C41 0; 5 0; 53) = 11=16:

Обчислимо ймовiрнiсть того, що виграно не менше трьох партiй з п’яти: P5(3)+P5(4)+P5(5) = C53 0; 53 0; 52 +C54 0; 54 0; 5+0; 54 = 1=2:

1=2 < 11=16, отже, виграти не менше двох партiй з чотирьох бiльш ймовiрно, нiж виграти не менше трьох партiй з п’яти.

7.2. Монету кидають 5 разiв. Знайти ймовiрнiсть того, що "тризуб"випаде: а) менше двох разiв; б) не менше двох разiв.

Вiдповiдь. а) 3/16; б) 13/16.

7.3.Витрати електроенергiї на протязi доби не перевищують установленої норми з ймовiрнiстю p = 3=4. Знайти ймовiрнiсть того, що у найближчi 6 дiб витрати енергiї не будуть перевищувати норми протягом 4 дiб. Вiдповiдь. 0,3.

7.4.У сiм’ї п’ятеро дiтей. Знайти ймовiрнiсть того, що серед цих дiтей: а) два хлопчики; б) бiльше двох хлопчикiв; в) не бiльше двох хлопчикiв; г) не менше двох та не бiльше трьох хлопчикiв. Ймовiрнiсть народження хлопчика прийняти рiвною 0,51.

Вiдповiдь. а) 0,31; б) 0,48; в) 0,52; г) 0,62.

7.5.Два баскетболiсти незалежно один вiд одного виконують по 4 кидки м’яча у кошик. Ймовiрностi попадання баскетболiстами при одному кидку дорiвнюють вiдповiдно 0,8 та 0,6. Знайти ймовiрнiсть того, що в обох баскетболiстiв буде однакова кiлькiсть попадань. Вiдповiдь. 0,2517.

7.6.Знайти ймовiрнiсть того, що подiя A вiдбудеться рiвно 70 разiв у 243 випробуваннях, якщо ймовiрнiсть появи цiєї подiї у кожному випробуваннi дорiвнює 0,25.

Розв’язання. За умовою n = 243; k = 70; p = 0; 25; q = 0; 75. Зважаючи на те, що n = 243 – велике число, використаємо локальну теорему Лапласа:

Обчислимо значення аргумента x:

За таблицею Е.1 (с. 243) знайдемо значення функцiї '(1; 37) = 0; 1561. Остаточно маємо: P243(70) = 0; 1561=6; 75 = 0; 0231:

7.7. Ймовiрнiсть враження мiшенi при одному пострiлi дорiвнює 0,8. Знайти ймовiрнiсть того, що при 100 пострiлах мiшень буде вражена 75 разiв. Вiдповiдь. 0,04565.

7.8. Ймовiрнiсть народження хлопчика дорiвнює 0,51. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 100 новонароджених виявиться 50 хлопчикiв. Вiдповiдь. 0,0782.

7.9. Монета кинута 2N разiв (N – велике число). Знайти ймовiр- p

нiсть того, що "тризуб"випаде рiвно N разiв. Вiдповiдь. 0; 5642= N.

7.10.Взуттєвики вважають, що бiля 30 вiдсоткiв жiнок носять взуття 36-го розмiру. З якою ймовiрнiстю спiвробiтники магазину можуть очiкувати, що з 300 покупцiв 75 мають намiри придбати взуття саме 36-го розмiру? Вiдповiдь. 0,01.

7.11.Проведено 20 пострiлiв по цiлi. Ймовiрнiсть влучення при одному пострiлi 0,7. Обчислити: а) ймовiрнiсть того, що буде принаймнi одне влучення; б) ймовiрнiсть того, що буде не бiльше двох влучень; в) найбiльш iмовiрне число влучень.

7.12.Батарея зробила 14 пострiлiв по об’єкту, ймовiрнiсть влучення в який дорiвнює 0,2. Обчислити: а) найбiльш iмовiрне число влучень i його ймовiрнiсть; б) ймовiрнiсть знищення об’єкту, якщо для знищення потрiбно не менше 4 влучень. Вiдповiдь. а) 2; 3; 0,25;

б) 0,302.

7.13.Знайти ймовiрнiсть: а) появи принаймнi однiєї шiстки при пiдкиданнi 6 гральних кубикiв; б) появи принаймнi двох шiсток при пiдкиданнi 12 кубикiв; в) появи принаймнi трьох шiсток при пiдкиданнi 18 кубикiв. Вiдповiдь. а) 0,665; б) 0,618.

7.14.Пiдручник виданий тиражем у 100000 примiрникiв. Ймовiрнiсть того, що пiдручник брошурований невiрно, дорiвнює 0,0001. Знайти ймовiрнiсть того, що тираж мiстить рiвно п’ять бракова-

них книжок. Вiдповiдь. 0,0375.

7.15. Пристрiй складається з 1000 елементiв, що працюють незалежно один вiд одного. Ймовiрнiсть вiдмови будь-якого елементу на протязi часу t дорiвнює 0,002. Знайти ймовiрнiсть того, що за час t вiдмовлять рiвно три елементи.

4. Якщо випадковi величини незалежнi, то математичне очiкування добутку дорiвнює добутку їх математичних очiкувань:

Дисперсiя випадкової величини. Математичне очiкування квадрата вiдхилення називається дисперсiєю:

Середнє квадратичне вiдхилення. Корiнь квадратний з дисперсiї називається середнiм квадратичним вiдхиленням:

p

Властивостi дисперсiї

1. Дисперсiя сталої величини c дорiвнює нулю:

D[c] = 0:

2. При множеннi випадкової величини x на стале число c дисперсiя множиться на c2:

3. Дисперсiю зручно обчислювати за формулою

4. Якщо випадковi величини x та y незалежнi, то дисперсiя суми дорiвнює сумi дисперсiй:

5. Для довiльних величин x та y дисперсiя суми дорiвнює сумi їх дисперсiй плюс подвоєний кореляцiйний момент:

Основна властивiсть кореляцiйного моменту – якщо величини x та y незалежнi, то їх кореляцiйний момент дорiвнює нулю.

7. Якщо випадковi величини x та y незалежнi, то дисперсiя їх добутку визначається формулою

Початковi моменти. Початковi моменти k-го порядку визначаються такими рiвностями

Центральнi моменти. Центральнi моменти k-го порядку визначаються формулою

Бачимо, що початковий момент першого порядку служить математичним очiкуванням, а центральний момент 2-го порядку – дисперсiєю дискретної випадкової величини x.

Коефiцiєнт асиметрiї. Коефiцiєнт асиметрiї це нормований центральний момент третього порядку, що служить характеристикою змiщеностi (зсуву) вершини графiка щiльностi розподiлу:

Ексцес. Ексцес є нормований центральний момент четвертого порядку, який служить характеристикою гостроверхостi (чи плосковерхостi) вершини графiка щiльностi розподiлу:

8.2Неперервна випадкова величина

Математичнене очiкування неперервної випадкової величини. Вважатимемо, що вiдома щiльнiсть розподiлу f(x) неперервної випадкової величини x. Число m ( при умовi, що воно iснує )

1

називається математичним очiкуванням неперервної випадкової величини x.

Дисперсiя неперервної випадкової величини. Ця велична визначається як математичне очiкування квадрата вiдхилення:

Зазначимо, що означення та основнi властивостi дискретної випадкової величини легко переносяться i на неперервнi величини. Покажемо це на прикладi перенесення формули (8.6):

d = D[x] = M[x2] M2[x] =

= x2f(x)dx @ xf(x)dxA : (8.20)

1 1

Початковi та центральнi моменти k-го порядку обчислюються за формулами

якi служать аналогами вiдповiдних формул для дискретного випадку (див. формули 8.15 та 8.16 на с.78).

Якщо вiдома функцiя розподiлу F (x), то ймовiрнiсть попадання значень випадкової величини x у промiжок (a; b) визначається формулою

Якщо ж вiдома щiльнiсть розподiлу f(x), то ймовiрнiсть попадання значень випадкової величини x у промiжок (a; b) дорiвнюватиме

8.3Контрольнi питання

1.Що називається випадковою величиною?

2.Якi випадковi величини називаються дискретними, а якi – не-

перервними?

3.Якими законами розподiлу можна задати дискретну випадкову величину, а якими – неперервну?

4.Якi властивостi щiльностi функцiї розподiлу?

5.Чи може щiльность функцiї розподiлу приймати значення бiль-

ше одиницi?

6.Що таке функцiя розподiлу випадкової величини? Якi вона має властивостi?

7.Чи може функцiя розподiлу бути спадною на деяких промiж-

ках?

8.Чи може функцiя розподiлу приймати значення бiльше одиницi?

9.Який зв’язок мiж iнтегральною та диференцiальною функцiя-

ми розподiлу ймовiрностей?

10.Як побудувати многокутник розподiлу?

11.Як побудувати функцiю розподiлу для дискретного випадку?

12.Що таке гiстограма? Як вона будується?

13.Як знайти ймовiрнiсть попадання значення випадкової вели-

чини на заданий промiжок за допомогою функцiї розподiлу?

14. Як знайти ймовiрнiсть попадання значення випадкової величини на заданий промiжок за допомогою щiльностi функцiї розподiлу?

Рис. 8.1. Многокутник розподiлу

15.Якi числовi характеристики випадкової величини Ви знаєте? Як вони обчислюються?

16.Що таке щiльнiсть розподiлу ймовiрностей випадкової величини? Якi вона має властивостi?

8.4Задачi роздiлу

8.1. Дискретна випадкова величина x задана законом розподiлу

Побудувати многокутник розподiлу та графiк функцiї розподiлу. Знайти математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення випадкової величини.

Розв’язання. Побудуємо прямокутну систему координат, причому по осi абсцис будемо вiдкладати можливi значення xk, а по осi ординат – вiдповiднi ймовiрностi pk. Побудуємо точки M1(1; 0; 2), M2(3; 0; 1), M3(6; 0; 4) та M4(8; 0; 3). З’єднуючи цi точки вiдрiзками прямих, отримаємо шуканий многокутник розподiлу (рис.8.1). Значення функцiї розподiлу в точцi x обчислюються за формулою

X

F (x) = pk:

(kjxk<x)

Рис. 8.2. Графiк функцiї розподiлу

Скориставшись цiєю формулою, неважко переконатись, що функцiя розподiлу даної випадкової величини та її графiк (рис. 8.2) мають такий вигляд:

>

>

>

>

:

Математичне сподiвання дискретної випадкової величини x дорiвнює сумi попарних добуткiв усiх можливих значень xk та вiдповiдних ймовiрностей pk :

M(x) = 1 0; 2 + 3 0; 1 + 6 0; 4 + 8 0; 3 = 5; 3:

Пiдставивши у формулу

D(x) = M(x2) M2(x);

конкретнi значення, обчислимо дисперсiю випадкової величини

M(x2) = 12 0; 2 + 32 0; 1 + 62 0; 4 + 82 0; 3 = 34; 7:

D(x) = 34; 7 5; 32 = 6; 61:

p

Середнє квадратичне вiдхилення = D = 2; 571.