chap_0

Р о з в’ я з о к. Скористаємося таблицею розподiлу Стьюдента Е.3. Для n 1 = 15 ступенiв вiльностi та надiйностi (1+ )=2 = 0; 95 знайдемо t = qt(0; 95; 15) = 1; 75. Отриманi значення пiдставимо у формулу (13.14). Нескладнi обчислення дадуть нам довiрчий iнтервал

(3000 8; 8; 3000 + 8; 8) = (2991; 2; 3008; 8);

який з надiйнiстю 90% мiстить невiдомий параметр m.

13.4Контрольнi питання

1.Назвiть основне завдання математичної статистики.

2.Що розумiють пiд генеральною та вибiрковою сукупнiстю?

3.Що називається статистичним рядом?

4.Зформулюйте поняття абсолютних та вiдносних частот.

5.Дайте означення полiгону, гiстограми та емпiричної функцiї

розподiлу. Як вони будуються?

6.В чому суть задачi про оцiнку параметрiв розподiлу?

7.Яка точкова оцiнка середнього значення?

8.Яка точкова оцiнка дисперсiї?

9.В чому суть iнтервальних оцiнок?

10.Що таке надiйнiсть оцiнки?

11.Як побудувати довiрчий iнтервал для оцiнки математичного

очiкування при вiдомому ?

12.Як побудувати довiрчий iнтервал для оцiнки математичного очiкування при невiдомому ?

13.Яка роль розподiлу Стьюдента при побудовi довiрчих iнтер-

валiв?

13.5Задачi роздiлу

13.1. У процесi випробування випадкова величина x прийняла такi значення: 2, 5, 7, 1, 10, 5, 9, 6, 8, 6, 2, 3, 7, 6, 8, 3, 8, 10, 6, 7, 3, 9, 4, 5, 6. Потрiбно: 1) побудувати таблицю залежностi мiж значеннями випадкової величини та їх частотами; 2) побудувати таблицю статистичного розподiлу; 3) побудувати полiгон розподiлу.

154 РОЗДIЛ 13. ОСНОВНI ПОНЯТТЯ СТАТИСТИКИ

13.2.У процесi випробування випадкова величина x прийняла такi значення: 16, 17, 9, 13, 21, 11, 7, 7, 19, 5, 17, 5, 20, 18, 11, 4, 6, 22, 21, 15, 15, 23, 19, 25, 1. Потрiбно: 1) побудувати таблицю статистичного розподiлу, розбивши вiдрiзок [0, 25] на п’ять рiвних частин; 2) побудувати гiстограму для вiдносних частот.

13.3.Дано статистичний розподiл

Знайти статистичну функцiю розподiлу i побудувати її графiк.

13.4. Знайти середнє значення, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення для статистичного розподiлу

13.5. Обчислити середнє значення, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення для статистичного розподiлу

13.6. Обчислити середнє значення, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення для такого статистичного розподiлу

13.7. Обчислити середнє значення, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення для статистичного розподiлу

13.8. Обчислити центральнi моменти перших чотирьох порядкiв для випадкової величини, що має статистичний розподiл

13.9. Обчислити центральнi моменти перших чотирьох порядкiв для випадкової величини, що має статистичний розподiл

13.10. Обчислити початковi та центральнi моменти перших чотирьох порядкiв, асиметрiю та ексцес для випадкової величини, що має статистичний розподiл

13.11. Обчислити початковi та центральнi моменти перших чотирьох порядкiв, асиметрiю та ексцес для випадкової величини, що має такий статистичний розподiл

другiй про параметри двох вiдомих розподiлiв.

Висунуту гiпотезу називають основною або нульовою. Пiсля вибору основної гiпотези решту гiпотез називають альтернативними або конкуруючими вiдносно основної. Нульову гiпотезу будемо позначати H0, а альтернативну H1.

Наприклад, якщо нульова гiпотеза допускає, що математичне очiкування випадкової величини дорiвнює 10, то альтернативна гiпотеза цей факт заперечуватиме. Коротко це можна записати так: H0 : a = 10; H1 : a 6= 10.

Зазначимо, що математична статистика не дає нiяких рекомендацiй щодо вибору нульової гiпотези. Вона залежить вiд поставленої задачi i повнiстю визначається дослiдником.

Методика перевiрки статистичних гiпотез. Нехай основна гiпотеза H0 полягає в тому, що розподiлом випадкової величини x може бути розподiл G. Розглянемо метод перевiрки таких гiпотез, згiдно якого можна дiйти висновку: G може бути розподiлом випадкової величини x (гiпотеза H0 не вiдхиляється) або G не може бути розподiлом випадкової величини x (гiпотеза H0 вiдхиляється). Висновок про вiдхилення або невiдхилення гiпотези H0 роблять за результатом експерименту, тобто за вибiркою (крiм вибiрки ми не маємо нiчого, що несло б iнформацiю про розподiл величини x). Для цього використовують спецiально пiдiбрану випадкову функцiю K, розподiл якої вважається вiдомим. Така функцiя називається статистичним критерiєм або просто критерiєм i залежить вiд висунутої гiпотези.

Наприклад, розглядається гiпотеза про рiвнiсть дисперсiй для двох нормальних випадкових величин x та y. Для цього випадку використовують критерiй Фiшера, який визначається за даними вибiрками як вiдношення виправлених дисперсiй:

s2 F = x : s2y

Припустимо, що за даними вибiрок знайденi виправленi дисперсiї s2x = 20 та s2y = 5. Тодi F = 4.

Далi треба подiлити множину можливих значень величини K

на двi неперетиннi множини та . Якщо значення критерiю

S S

158 РОЗДIЛ 14. ГIПОТЕЗИ

K, обчислене за даними вибiрки, потрапить до S, то гiпотезу H0 вiдхиляють, у противному разi не вiдхиляють.

Множину S називають критичною множиною для перевiрки

гiпотези 0. Другу множину , що служить доповненням для ,

H S S

називають множиною прийняття гiпотези.

Перейдемо до питання знаходження критичної множини. Для цього розглянемо, якi можуть бути помилки при прийнятi рiшень щодо висунутих гiпотез.

Помилки першого та другого родiв. Нехай H0 нульова гiпотеза; S критична множина. Будемо перевiряти гiпотезу H0, користуючись критичною множиною S: якщо значення K потрапляє до S, то гiпотезу H0 вiдхиляємо, а якщо не потрапляє до S, то гiпотезу H0 не вiдхиляємо.

При цьому можливi такi випадки:

1.Гiпотеза H0 справджується. Значення критерiю K не потрапило до S, тому гiпотеза H0 не вiдхиляється.

2.Гiпотеза H0 не справджується. Значення критерiю K не потрапило до S, отже гiпотеза H0 не вiдхиляється.

3.Гiпотеза H0 справджується. Значення критерiю K потрапило до S, тому гiпотеза H0 вiдхиляється.

4.Гiпотеза H0 не справджується. Значення критерiю K потрапило до S, тому гiпотеза H0 вiдхиляється.

Зчотирьох випадкiв два: 1 та 4 прийнятнi, а решта (2 i 3) незадовiльнi. У випадках 2 та 3 ми припускаємося помилок. При цьому помилки у випадку 2 (гiпотеза H0 не вiдхиляється, коли вона не справджується) та у випадку 3 (гiпотеза H0 вiдхиляється, коли вона справджується) iстотно рiзняться мiж собою i мають свої назви.

Проiлюструємо вiдмiннiсть мiж названими помилками на прикладi перевiрки медичного препарату на токсичнiсть бiологiчними методами.

Щодо токсичностi препарату висуваються гiпотези: H0 препарат токсичний та H1 препарат нетоксичний. Необхiдно перевiрити гiпотезу H0 вiдхилити її або прийняти.

Рiшення приймається за спецiально розробленою методикою (критерiєм), згiдно якої, дослiджуючи препарат на токсичнiсть, певну його дозу вводять пiддослiдним тваринам (мишам, кроликам) i реєструють кiлькiсть згубних наслiдкiв. Необхiдно за їх кiлькiстю зробити висновок про токсичнiсть препарату.

Як i в кожнiй задачi перевiрки статистичних гiпотез, у розглядуванiй можливi помилки:

гiпотеза H0 не справджується, але згiдно з критерiєм вона не вiдхиляється;

гiпотеза H0 справджується, але згiдно з критерiєм вона вiдхиляється.

Подивимося, якi наслiдки цих помилок у данiй конкретнiй ситуацiї.

Гiпотеза H0 не справджується, але згiдно з критерiєм не вiдхиляється. Твердження "гiпотеза H0 не справджується" у розглядуванiй задачi означає, що препарат нетоксичний (не є небезпечним для здоров’я), а твердження "H0 не вiдхиляється" означає, що препарат класифiкується як токсичний. Таким чином, нетоксичний препарат класифiкується як токсичний i повертається назад постачальнику (для перероблення або знищення). Наслiдки помилки такого роду збитки, зростання вартостi товару (цiна помилки фiнансовi збитки).

Гiпотеза H0 справджується, але згiдно з критерiєм вiдхиляється. Твердження "H0 справджується" означає, що препарат токсичний (небезпечний для здоров’я). Твердження "H0 вiдхиляється" означає, що препарат класифiкується як нетоксичний (не є небезпечним для здоров’я пацiєнтiв). Таким чином, токсичний препарат класифiкується як нетоксичний i йде на продаж. Наслiдком помилки такого роду може стати смерть пацiєнта (цiна помилки летальний кiнець).

Цей приклад наочно показує, що описанi вище помилки iстотно рiзняться за своєю цiною.

Помилка, яка полягає в тому, що гiпотеза H0 вiдхиляється, коли вона справджується, називається помилкою першого роду.

Помилка, яка полягає в тому, що гiпотеза H0 не вiдхиляється, коли вона не справджується, називається помилкою дру-

гого роду.

Ранiше вже вiдзначалося, що нульову гiпотезу дослiдник вибирає сам. Якщо вибiр нульової гiпотези можливий серед кiлькох варiантiв, то за основну гiпотезу вибирають ту, для якої важливiше уникнути помилки, що полягає у вiдхиленнi цiєї гiпотези, коли вона вiрна. Помилка першого роду це помилка, яку важливiше уникнути, помилка, цiна якої вища.

Зазначимо, що якою б не була критична множина S, значення критерiю як випадкової величини може потрапити до S, коли

гiпотеза 0 справджується (помилка першого роду), i до , коли

H S

вона не справджується (помилка другого роду). Звiдси слiдує таке твердження: у принципi неможливо побудувати критерiй для перевiрки гiпотез, який би не призводив до помилок. Тому, намагаються будувати такi критерiї, якi мiнiмiзують частоти помилок. Подивимось, як це робиться.

Нехай H0 основна гiпотеза. Припустимо для наочностi, що вона проста. Конкуруюча гiпотеза H1 також проста. Перевiряючи гiпотезу, можна припуститися помилок вище розглянутих типiв. Постає питання, про ймовiрностi цих помилок.

Ймовiрнiсть помилки першого роду дорiвнює ймовiрностi того, що значення критерiю потрапить до критичної множини S, коли гiпотеза H0 справджується, тобто p(K 2 SjH0). Ймовiрнiсть помилки другого роду дорiвнює ймовiрностi того, що значення критерiю не потрапить до критичної множини, коли конкуруюча

гiпотеза 1 вiрна, тобто 2 j 1 .

H p(K S H )

Отже, ймовiрностi помилок першого та другого родiв однозначно визначаються критичною множиною S (а отже, й частоти помилок першого i другого родiв характеризуються цiєю множиною). Тому, вибираючи S, за умови, що ймовiрнiсть помилки першого роду мала, можна знайти ймовiрнiсть помилки другого роду, яка визначається вибраною критичною множиною S. Навпаки, можна вибрати S так, щоб ймовiрнiсть помилки другого роду була мала, але при цьому ймовiрнiсть помилки першого роду визначиться знову ж таки вибраною множиною S.

Отже, вибрати S так, щоб одночасно були контрольованi ймовiрностi помилок першого та другого родiв (а разом iз ними i ча-

14.2. ГIПОТЕЗИ ПРО РIВНIСТЬ СЕРЕДНIХ ЗНАЧЕНЬ 161

стоти помилок першого та другого родiв), не вдасться. Тому будемо дiяти так. Оскiльки важливiше уникнути помилки першого роду (її цiна вища), перша вимога буде така: ймовiрнiсть помилки першого роду p(K 2 SjH0) має бути малою. Це означає, що, у довгiй серiї експериментiв, гiпотезу H0, коли вона вiрна, будемо вiдхиляти зрiдка.

Таким чином, перша вимога щодо критерiю буде такою: фiксуємо мале > 0 i вибираємо критичну множину S так, щоб ймовiрнiсть помилки першого роду визначалася умовою

p(K 2 SjH0) :

Якщо ця основна вимога задовольняється бiльш як одним способом, то остаточний вибiр критерiю здiйснюється так, щоб ймовiрнiсть вiдхилення гiпотези H0, коли вона не вiрна, була максимальною, для чого множину S вибираємо якомога ширшою.

Зазначимо, що число , яке обмежує зверху ймовiрнiсть помилки першого роду, називається рiвнем значущостi, а ймовiрнiсть p(K 2 SjH1) вiдхилити основну гiпотезу, коли справджується альтернативна гiпотеза H1, називається потужнiстю критерiя S.

З а у в а ж е н н я. Питання про те, яким має бути рiвень значущостi, не є статистичною задачею. Здебiльшого за рiвень значущостi приймають числа 0,10; 0,05; 0,01; 0,001. Чим серйознiшi наслiдки помилки першого роду, тим меншим має бути рiвень значущостi.

14.2Гiпотези про рiвнiсть середнiх значень

Розглянемо двi нормально розподiленi випадковi величини x та y. Провiвши n незалежних спостережень однiєї величини та m незалежних спостережень другої, можна знайти їх вибiрковi середнi значення x та y. Цi значення, як правило, будуть рiзнитися мiж собою x 6= y. Виникає питання: iстотно чи неiстотно рiзняться мiж собою вибiрковi середнi значення?

На поставлене питання можна дати вiдповiдь у термiнах перевiрки статистичних гiпотез. Припустимо, що дисперсiї величин x

та y рiвнi мiж собою D[x] = D[y]. На практицi така ситуацiя можлива, коли порiвнюються середнi розмiри двох партiй деталей виготовлених на одному i тому ж станку. Природно допустити, що дисперсiї контрольованих розмiрiв однаковi. Середнi ж розмiри аналiзуються з метою перевiрки налагодженостi станка.

В припущеннi, що дисперсiї розглядуваних величин рiвнi, сформулюємо основну гiпотезу H0 : M[x] = M[y] (математичнi очiкування величин x та y рiвнi). Прийняття цiєї гiпотези означає, що вибiрковi середнi значення неiстотно рiзняться мiж собою. Вiдхилення ж основної гiпотези трактують на користь альтернативної, тобто середнi значення вже iстотно рiзняться мiж собою.

Критерiй Стьюдента 1. Розглянемо послiдовнiсть формул, де вважається, що двi групи незалежних величин x1; x2; : : : ; xn та y1; y2; : : : ; ym пiдлягають одному i тому ж нормальному законовi розподiлу:

Критерiєм перевiрки основної гiпотези служить випадкова вели-

sm+n mn

яку називають критерiєм Стьюдента для перевiрки гiпотези про рiвнiсть середнiх значень.

Доведено, що величина t має розподiл Стьюдента з m + n 2 ступенями вiльностi (c. 124).

Щоб скористатись цим критерiєм, потрiбно його реалiзувати (тобто обчислити) на основi конкретних значень двох вибiрок