chap_0

m незалежних спостережень другої, можна знайти їх виправленi вибiрковi дисперсiї s2x та s2y. Потрiбно за значеннями s2x, s2y та рiвнем значущостi перевiрити нульову гiпотезу про те, що дисперсiї випадкових величин x та y рiвнi мiж собою:

D[x] = D[y]:

Припустимо, що нульова гiпотеза прийнята, тобто дисперсiї розглядуваних випадкових величин рiвнi. Тодi, рiзниця мiж значеннями виправлених вибiркових дисперсiй s2x та s2y, вважається неiстотною й спричинена, можливо, випадковим вiдбором об’єктiв вибiрки. Наприклад, якщо результати вимiрювань деякої партiї деталей, виконаних двома приладами, мають неiстотну рiзницю мiж значеннями виправлених вибiркових дисперсiй, то вважається, що прилади мають однакову точнiсть.

Якщо ж нульова гiпотеза вiдхилена, то рiзниця мiж значеннями виправлених вибiркових дисперсiй s2x та s2y, вважається iстотною i спричинена рiзними значеннями дисперсiй розглядуваних величин x та y. Наприклад, якщо результати вимiрювань деякої партiї деталей, виконаних двома приладами, мають iстотну рiзницю мiж значеннями виправлених вибiркових дисперсiй, то вважається, що прилади мають рiзну точнiсть.

Критерiй Фiшера.

В якостi критерiя перевiрки нульової гiпотези про рiвнiсть дисперсiй D[x] = D[y] розглядуваних випадкових величин x та y беруть вiдношення їх виправлених дисперсiй, тобто випадкову величину

s2

F (x; n; m) = x : (14.9) s2y

Величина F при умовi справедливостi нульової гiпотези має розподiл Фiшера зi ступенями вiльностi k1 = n 1 та k2 = m 1, де n та m обсяги вибiрок (c. 126).

Критична область будується в залежностi вiд виду конкуруючої гiпотези.

Перший випадок. Нульова гiпотеза H0 : D[x] = D[y]. Конкуруюча гiпотеза H1 : D[x] 6= D[y].

p

0:5

Рис. 14.4. Двобiчна критична область

У цьому випадку будують двобiчну критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала заданому рiвню значущостi . Для цього, користуючись функцiєю qF ), знаходять критичнi точки F2 = qF (1 =2; n 1; m 1) та F1 = qF ( =2; n 1; m 1). Якщо значення F , обчислене за формулою (14.9), попаде в iнтервал (F1; F2), то нульову гiпотезу приймають. Якщо ж нi, то нульову гiпотезу вiдхиляють (див. рис. 14.4).

Другий випадок. Нульова гiпотеза H0 : D[x] = D[y]. Конкуруюча гiпотеза H1 : D[x] > D[y].

У цьому випадку будують правобiчну критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала . Для цього, користуючись функцiєю qF (p; k1; k2), знаходять критичну точку F2 = qF (1 ; n 1; m 1). Якщо F < F2, то нульову гiпотезу приймають. Якщо F > F2, то нульову гiпотезу вiдхиляють (див. рис. 14.5).

Третiй випадок. Нульова гiпотеза H0 : D[x] = D[y]. Конкуруюча гiпотеза H1 : D[x] < D[y].

У цьому випадку будують лiвобiчну критичну область так, щоб ймовiрнiсть попадання у неї значення критерiю дорiвнювала . Для цього, користуючись функцiєю qF (p; k1; k2), знаходять критичну точку F1 = qF ( ; n 1; m 1). Якщо F > F1, то нульову гiпотезу приймають. Якщо F < F1, то нульову гiпотезу вiдхиляють (див. рис. 14.6).

Приклад 14.6. При вимiрюваннi опору дроту двох типiв (А та В) одержано данi, наведенi нижче.

Дрiт А: 0,126; 0,131; 0,126; 0,127; 0,124; 0,130; 0,128; 0,124. Дрiт У: 0,121; 0,121; 0,124; 0,122; 0,120; 0,124; 0,125; 0,120. Стверджується, що мiж розсiюваннями опорiв дроту типiв А

та В немає рiзницi. Чи не суперечить це твердження наведеним даним?

Р о з в’ я з о к. Послiдовно знайдемо середнi значення, дисперсiї та величину критерiя Фiшера для даних вибiрок.

Вiзьмемо рiвень значущостi = 0; 1 i знайдемо критичнi точки для побудови критичної областi (перший випадок).

F1 =qF ( =2; k1; k2) = qF (0; 05; 7; 7) = 0; 3;

F2 =qF (1 =2; k1; k2) = qF (0; 95; 7; 7) = 3; 8:

Бачимо, що значення критерiю F = 1; 7 належить iнтервалу (0; 3; 3; 8), тому вважаємо, що мiж розсiюваннями опорiв дроту типiв А та В немає рiзницi.

14.6Контрольнi питання

1.З якою метою в математичнiй статистицi використовують гiпотези?

2.Яка загальна методика перевiрки статистичних гiпотез?

3.Що називається статистичним критерiєм прийняття рiшення?

4.Опишiть можливi помилки при прийняттi рiшення. Якi це помилки першого та другого родiв?

5.В чому суть гiпотез про середнє значення та про рiвнiсть середнiх значень?

6.Яка роль розподiлу Стьюдента при аналiзi гiпотез про середнi значення?

7.Назвiть практичнi задачi, де використовують гiпотези про середнi значення.

8.В чому суть гiпотези про рiвнiсть дисперсiї деякому числу?

9.Зформулюйте критерiй Пiрсона i опишiть методику його застосування.

10.В чому суть гiпотези про рiвнiсть мiж собою дисперсiй двох розподiлiв?

11.Зформулюйте критерiй Фiшера i опишiть методику його застосування.

12.Назвiть кiлька практичних задач, де важливою є оцiнка дисперсiї.

14.7Задачi роздiлу

14.1.Щоб порiвняти вiдбивну здатнiсть двох видiв фарби, провадили такий експеримент: з 10 вибраних навмання пробних зразкiв п’ять пофарбували однiєю фарбою, а решту iншою. Одержанi за допомогою оптичного приладу результати вимiрювань наведено нижче.

Фарба А: 195, 150, 205, 120, 160. Фарба В: 200, 115, 220,185,170.

Чи свiдчать цi данi про вiдмiннiсть вiдбивної здатностi фарб?

14.2.На виробництвi електричнi лiчильники, що мають обертовий диск, були вiдрегульованi так, що їх робота стала синхронною з роботою стандартного лiчильника. Перевiрка 10 лiчильникiв, яка полягала у визначеннi їхньої сталої за допомогою точних ватметрiв i секундомiрiв, дала такi результати:

Стандартний лiчильник характеризує стала 1,000. Чи можна вiдхилення вiд стандарту розглядати як випадковi, чи, навпаки, результати вказують на те, що сталi вiдрегульованих лiчильникiв систематично вiдрiзняються вiд сталої стандартного лiчильника? Вiдповiсти на це запитання, перевiривши гiпотезу про те, що 10 вимiрювань утворюють вибiрку, одержану з нормального розподiлу iз середнiм 1,000.

14.3. Порiвнюють два сорти сталi за здатнiстю до глибокого вiдпуску. Для цього виготовили по сiм зразкiв кожного сорту сталi й випробували їх за методом Ерiксона, згiдно з яким у зразок вдавлюється конус iз кульковим наконечником. Глибину проникнення кульки вимiрюють у мiлiметрах. Результати випробувань наведено нижче.

Сталь I: 10,85; 10,24; 10,48; 10,35; 11,07; 9,54; 11,18. Сталь II: 11,05; 10,07; 10,03; 10,57; 10,27; 9,97; 9,92.

Чи можна вважати, що цi сорти сталi мають однакову здатнiсть до глибокого вiдпуску?

Розв’язати поставлену задачу, сформулювавши її як задачу перевiрки статистичних гiпотез.

14.4. Маса пакунка з природним барвником має становити 50 кг, а дисперсiя розсiювання маси не повинна перевищувати 0,01 кг2. При обстеженнi 10 пакункiв одержано такi результати (маса в кiлограмах): 50,10; 50,07; 49,93; 49,81; 49,70; 49,76; 50,08; 50,18; 49,79; 51,02.

Чи свiдчать наведенi данi, що зазначенi вимоги виконуються?

14.5. Поданi нижче данi характеризують твердiсть 14 зразкiв сплаву в умовних одиницях: 12,1; 13,7; 11,0; 11,6; 11,9; 13,4; 12,2; 12,5; 11,9; 11,5; 12,9; 13,0; 10,5; 11,7.

Припустимо, що твердiсть сплаву розподiлена нормально. Чи можна вважати, що параметр a (середнє значення) нормального розподiлу дорiвнює 12,0?

14.6.На верстатi-автоматi виробляється однакова продукцiя. Критичним розмiром виробiв є зовнiшнiй дiаметр. Пiсля налагодження верстата вiдiбрали 20 виробiв. При цьому виявилося, що вибiркова дисперсiя розмiру зовнiшнього дiаметра становить 0,84 мм2. Через певний промiжок часу з метою контролю точностi роботи верстата (i, при потребi, для його налагодження) добирається вибiрка обсягом 15 виробiв. Виявилося, що вибiркова дисперсiя, обчислена за нею, дорiвнює 1,07 мм2.

Чи свiдчать наведенi данi про змiну точностi роботи верстата?

14.7.Швидкiсть полiмеризацiї перевiрили на кiлькох зразках полiмеру. Розрахункова швидкiсть полiмеризацiї становить 24% за годину. У восьми експериментах одержано такi результати: 23,6; 22,8; 25,7; 24,8; 26,4; 24,3; 23,9; 25,0.

Чи є достатнi пiдстави вважати, що розрахункова швидкiсть полiмеризацiї узгоджується з цими даними?

14.8.Щоб перевiрити, чи впливає на мiцнiсть бетону спецiальний спосiб його виготовлення, провели експеримент. З партiї сировини було взято шiсть вибiрок, причому однорiдних, наскiльки це можливо. Потiм вибiрки навмання подiлили на двi групи по три в кожнiй. Пiсля цього вибiрки з другої групи пiддали спецiальному обробленню i з кожної виготовили пробний куб. Пiсля 28-денної витримки шести пробних кубiв визначили їх опiр стиску. Одержали такi результати:

Бетон 1: 290, 311, 284. Бетон 2: 309, 318, 318.

Примiтка. Наведено граничнi значення навантаження, при яких вiдбувається руйнування зразкiв.

Чи свiдчать цi данi про наявнiсть ефекту спецiального оброблення бетону?

14.9.Щоб зменшити вихiд небажаного побiчного продукту, застосовували каталiзатори А та В. При використаннi кожного з них були одержанi вибiрки, поданi нижче. Величиною, що спостерiгалася, був вихiд небажаного продукту у вiдсотках.

Каталiзатор А: 41, 52, 29, 43, 38, 45, 52, 42, 36. Каталiзатор В: 40, 27, 59, 42, 25, 58, 42, 26, 37.

Чи можна вважати, що стабiльнiсть виходу небажаного продукту (характеризується дисперсiєю) при використаннi каталiзаторiв А та В однакова?

14.10. На комп’ютерi моделюється нормально розподiлена випадкова величина. Реалiзацiя вибiрки цiєї випадкової величини: 2,41; 2,26; 2,10; 2,53; 1,96; 1,31; 2,32; 2,66.

Чи можна стверджувати, що вибiрку одержано з нормального розподiлу iз середнiм 2,5?

Вказiвка. Скористатися критерiєм Стьюдента, спочатку сформулювавши вiдповiдну задачу перевiрки статистичних гiпотез.

14.11. В одному класi з 20 дiтей навмання були вiдiбранi 10, яким щоденно почали давати апельсиновий сiк. Решта 10 школярiв щодня одержували молоко. Через певний час зафiксували збiльшення маси дiтей у фунтах (один фунт становить 453,6 г):

Середнє збiльшення маси одного школяра становить у першiй групi 2,9 фунта, у другiй 2,4. Чи є iстотною ця рiзниця в середнiй масi дiтей?

14.12.Нижче наведено данi про вимiрювання нерiвностей поверхнi з регулярним профiлем (одного й того самого зразка чистоти) за допомогою подвiйних мiкроскопiв.

Мiкроскоп I: 0,8; 2,0; 3,1; 3,5; 2,1; 1,7; 0,9; 1,1; 3,3.

Мiкроскоп II: 0,7; 2,1; 3,1; 0,9; 3,6; 2,7; 0,8; 4,7; 0,3; 4,1; 2,8; 0,6. З’ясувати, чи можна вважати точнiсть вимiрювання кожним мiкроскопом однаковою?

14.13.На сталеливарному заводi з метою контролю вмiсту марганцю в однiй з марок сталi зробили 10 вiдливкiв iз конвертора I i стiльки ж iз конвертора II. Нижче наведено процентний вмiст марганцю в кожному вiдливку.

Конвертор I: 1,20; 1,17; 1,15; 1,21; 1,14; 1,17; 1,18; 1,21; 1,25; 1,14. Конвертор II: 1,39; 1,29; 1,28; 1,34; 1,32; 1,30; 1,28; 1,35; 1,35; 1,30.

Чи можна вважати вмiст марганцю в сталi, виплавленiй у цих конверторах, однаковим?

14.14.Для зменшення дисперсiї вiдбивної здатностi фарби внесено змiни в технологiю її виготовлення. Щоб переконатися, що такi змiни справдi дають ефект, виготовили 10 пробних зразкiв. Нижче наведено данi (у вiдносних одиницях) про вiдбивну здатнiсть фарби, виготовленої при використаннi звичайної (А) та нової (В) технологiй, одержанi за допомогою спецiального оптичного приладу.

Технологiя А: 40, 45, 195, 65, 145. Технологiя В: 110, 55, 120, 50, 80.

Чи свiдчать цi данi про змiну дисперсiї вiдбивної здатностi фарби?

14.15.Дослiдження, що проводилися протягом кiлькох рокiв пiсля того, як у практицi лижного спорту почала застосовуватися технiка ковзнової ходи, дають пiдставу припустити, що вона, за умов спецiально пiдготовленої траси, забезпечує на дистанцiї 15 км у чоловiкiв виграш порiвняно з традицiйною технiкою в середньому 2 хв. Нижче наведено результати (у хвилинах) змагань (дистанцiя 15 км) двох груп лижникiв: однi проходили дистанцiю традицiйною ходою, а iншi - ковзною.

Традицiйна хода: 37,02; 36,74; 37,82; 38,12; 36,91; 37,98; 38,21; 37,51; 37,56; 38,03.

Ковзна хода: 35,81; 35,61; 35,02; 35,53; 35,84; 35,12; 36,12; 36,49; 35,62; 36,28.

Чи можна за результатами цих змагань дiйти висновку, що середня рiзниця результатiв становить 2 хв?

14.16.Значення незмiщеної оцiнки дисперсiї вибiрки А становить 55,4 кг2, а вибiрки В 87,3 кг2. Чи можна стверджувати, що вибiрки одержано iз сукупностi з одним i тим самим значенням дисперсiї, якщо їх обсяги становлять вiдповiдно 15 та 12?

Якi припущення при цьому необхiдно зробити?

14.17.Дослiджувалась корозiйна стiйкiсть нержавiючої сталi 18Cr10Ni2Mo (сталь, що мiстить 18 % хрому, 10 % нiкелю, 2 % молiбдену). Експеримент проводили на 12 зразках. Перш нiж дослiдити їх на корозiйну стiйкiсть, визначили якiсть сталi, iз якої були виготовленi зразки (вiдповiднiсть стандарту). Вмiст хрому

(у масових вiдсотках) у дослiджуваних зразках був такий: 17,4; 17,9; 17,6; 18,1; 17,6; 18,9; 16,9; 17,5; 17,8; 17,4; 24,6; 21,0. Перевiрити, чи можна на пiдставi наведених даних стверджувати, що вмiст хрому в сталi становить 18 %?

14.18. У лабораторiї, де вивчається вплив довкiлля на людину, для визначення кiмнатної температури, за якої найбiльш комфортно почувають себе чоловiки й жiнки, були обстеженi 10 чоловiкiв i стiльки само жiнок. Одержанi значення температури найбiльшої комфортностi (за Фаренгейтом) наведено нижче.

Чоловiки: 74, 71, 77, 76, 72, 75, 73, 74, 75, 72. Жiнки: 75, 77, 78, 79, 77, 73, 78, 78, 80, 76.

Чи свiдчать цi данi про те, що температура, за якої людина почуває себе комфортно, для чоловiкiв та жiнок однакова?

t F = (9=5)t C + 32;

де t F температура за Фаренгейтом, t C температура за Цельсiєм.

14.19.Готується гумова сумiш, iз якої потiм виготовляються зразки для випробувань. Очiкувана (розрахункова) мiцнiсть на згин гуми в умовних одиницях становить 11.

Чи можна за наведеними нижче даними дiйти висновку, що одержано гуму з очiкуваною мiцнiстю на згин?

Мiцнiсть на згин: 10,3; 11,1; 11,8; 12,0; 10,8; 13,6; 12,0; 12,5; 11,6; 12,2; 12,3; 12,5; 12,6; 13,7; 13,3; 10,5.

14.20.На двох верстатах одного класу точностi виготовляють однакову продукцiю. Критичним розмiром виробу є його зовнiшнiй дiаметр. Нижче наведено значення оцiнок зовнiшнього дiаметра та оцiнок його дисперсiї, обчисленi за вибiрками обсягом 15 та 10, одержаними вiдповiдно з верстатiв А i В:

Чи можна за цими даними дiйти висновку, що зовнiшнiй дiаметр виробiв, виготовлених на верстатах А та В, однаковий?