chap_0

Подiя A полягає в тому, що сума очок при двох пiдкиданнях не бiльша 7. Аналогiчно трактуються двi iншi подiї. Неважко переконатись, що A [ B = f(i; j) : i + j < 10g, B [ C = B:

Означення 2.4. Добутком двох випадкових подiй A та B називається подiя, яка настає тодi i лише тодi, коли настає кожна з даних подiй.

Добуток подiй A та B позначається так: A \ B, або AB. Вiн складається лише з тих елементарних подiй, якi спiльнi для обох подiй A та B.

Приклад 2.13 (продовження прикладу 2.12). Зрозумiло, що A \

B = f(i; j) : 4 i + j 7g; i B \ C = C.

Означення 2.5. Рiзницею випадкових подiй A та B називається подiя, яка настає тодi i лише тодi, коли настає подiя A, але не настає подiя B.

Рiзницю подiй A та B будемо позначати так AnB, або A B. Рiзниця подiй A та B складається лише з тих елементарних подiй, якi належать до A, але не належать до B.

Приклад 2.14 (продовження прикладу 2.12). Зрозумiло, що

BnA = f(i; j) : 7 < i + j < 10g, a AnB = f(i; j) : i + j < 4g.

Подiя nA називається доповненням подiї A або подiєю про-

тилежною до подiї A. Таку подiю позначають так A. Очевидно,

що подiя настає тодi i лише тодi, коли не настає подiя i що

A A

. Зазначимо, що операцiя переходу до протилежної подiї

A = A

одна з найважливiших в теорiї ймовiрностей.

f

Приклад 2.15 (продовження прикладу 2.12). Маємо A = (i; j) :

g f g [ f g i + j > 7 , B = (i; j) : i + j < 4 (i; j) : i + j 10 .

Означення 2.6. Подiї A та B називаються несумiсними, якщо A \ B = ;. Або по-iншому, несумiснi подiї A та B не можуть вiдбутись одночасно в даному дослiдi.

Приклад 2.16 (продовження прикладу 2.12). Подiї A та C є несумiсними, оскiльки AC = ;.

Наступнi дiаграми iлюструють всi цi означення операцiй з подiями.

Означення 2.7. Говорять, що подiя A тягне за собою подiю B (або, що подiя B є наслiдком подiї A, або подiя A належить до

Рiзниця подiй A n B Рiзниця подiй B n A

Рис. 2.1. Дiї над подiями

подiї B), якщо подiя B настає щоразу, коли настає подiя A. У цьому випадку пишемо A B.

Очевидно, що якщо A B, то кожна елементарна подiя, яка належить до A належить i до B. Продовжуючи приклад 2.12, бачимо, що C B.

Вище ми розглядали дiї з двома подiями. Але суму та добуток подiй можна означити для довiльної кiлькостi подiй. Так сумою випадкових подiй Ai (i = 1; 2; : : : ; n) називається подiя, яка настає тодi i лише тодi коли настає принаймi одна з даних подiй. Суму

подiй позначають [ni=1Ai або A1 + A2 + + An.

Добутком випадкових подiй Ai (i = 1; 2; : : : ; n) називається подiя яка настає тодi i лише тодi коли настає кожна з даних подiй. Добуток подiй позначають \ni=1Ai або A1A2 An.

Для операцiй з подiями виконуються тi самi властивостi що i для операцiй з множинами. Подамо без доведення вiдповiдне твердження.

Теорема 2.1. Операцiї з подiями мають такi властивостi:

1)AB = BA – комутативнiсть добутку.

2)A [ B = B [ A – комутативнiмть суми.

3)A(BC) = (AB)C – асоцiативнiсть добутку.

4)A [ (B [ C) = (A [ B) [ C – асоцiативнiсть суми.

5)A(B [C) = AB [AC – роздiльнiсть добутку вiдносно суми.

6)A [ BC = (A [ B)(A [ C) – роздiльнiсть суми вiдносно добутку.

2.3Контрольнi питання

1.Наведiть приклади стохастичних експериментiв.

2.Наведiть приклади експериментiв, якi не будуть стохастичними.

3.Наведiть приклади випадкових подiй.

4.Якi випадковi подiї називаються елементарними?

5.Що називається простором елементарних подiй?

6.Опишiть простiр елементарних подiй при пiдкиданнi двох монет та двох гральних кубикiв.

7.Екперимент полягає у вимiрюваннi двох величин, якi набувають значень з вiдрiзка [0; 1]. Опишiть простiр елементарних подiй.

8.Монету пiдкидають доти, поки вона не випаде двiчi тiєю самою стороною. Опишiть простiр елементарних подiй.

9.З цифр 1, 2, 3, 4, 5 спочатку вибирають одну; потiм з решти, якi залишились, вибирають другу. Опишiть простiр елементарних подiй при такому експериментi.

10.Якi випадковi подiї називаються достовiрними, а якi неможливими?

11.Опишiть ситуацiю, коли одна подiя сприяє iншiй.

12.Дайте означення суми, добутку та рiзницi двох подiй.

13.Якi подiї називаються несумiсними?

14.Якi подiї називаються протилежними?

15.Чи завжди двi несумiснi подiї будуть протилежними?

16.У якому випадку сума двох подiй дорiвнює їх добутку?

17.Якi властивостi операцiй з подiями?

18.Пояснiть суть законiв де Моргана.

2.4Задачi роздiлу

h) A [ B = B , : : : i) A n B = ; , : : :

2.2. Довести що:

a)A n B = A n (A \ B),

b)A = (A \ B) [ (A n B),

c)A \ (B n C) = (A \ B) n C,

d)(A [ B) n C = (A n C) [ (B n C),

e)A n (B n C) = (A n B) [ (A \ C).

2.3. Нехай A B: Доповнити рiвностi:

a) A [ B = : : : b) AB = : : : c) A n B = : : : d) ABC = : : :

2.4. Подiя E описана за допомогою подiй A; B; C. Спростити цей

b)E = (A [ B)C [ (B [ C)A [ (C [ A)B,

c)E = (A [ B)(B [ C) для A C,

2.5.Пiдкидаємо кубик то тих пiр поки не отримаємо пiдряд одиницю та двiйку. Описати простiр елементарних подiй цього експерименту.

2.6.Нитку довжиною l розiрвано на двi частини. Описати простiр елементарних подiй цього експерименту.

2.7.З партiї, що мiстить N виробiв, серед яких є n бракованих, взято m виробiв. Описати простiр елементарних подiй. Описати подiю A: серед узятих виробiв k бракованих.

n

X

б) p(!i) = 1

i=1

Приклад 3.1 (пiдкидання симетричної монети). В цьому експериментi маємо = fЦ; Гg. Нехай p(Ц) = 1=2, p(Г) = 1=2. Зрозумiло, що властивостi а) та б) виконуються.

В цьому експериментi ймовiрнiсть можна було б означити i так: p(Ц) = 1=3, p(Г) = 2=3. I в цьому випадку властивостi а), б) виконуються. Але зрозумiло, що таке означення ймовiрностi суперечило б сутi експерименту, оскiльки, надавало б перевагу гербовi, що для симетричної монети є неправдивим.

Приклад 3.2 (пiдкидання кубика). Тепер маємо = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Вважаючи кубик симетричним, природньо покласти

p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = 1=6:

Властивостi а) та б) виконуються.

Припустимо тепер, що кубик не є симетричним i нехай, наприклад, вага гранi буде рiвна її номеру. Тепер ймовiрностi випадання граней не будуть, очевидно, однаковi i їх можна означити, наприклад, так:

6

p(1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 6=21; p(2) = 5=21; p(3) = 4=21; p(4) = 3=21 = 1=7; p(5) = 2=21; p(6) = 1=21:

Означення 3.2. Нехай подiя A = f!1; : : : ; !kg. Ймовiрнiстью подiї A називається число

Приклад 3.3 (продовження прикладу 3.2). Нехай A = f3; 6g. Якщо кубик симетричний, то маємо p(A) = 1=6 + 1=6 = 1=3.

Теорема 3.1. Для ймовiрностi виконуються такi властивостi:

29

1) p( ) = 1, p(;) = 0.

3)Якщо A та B не перетинаються, то p(A[B) = p(A)+p(B).

4)Якщо A B, то p(BnA) = p(B) p(A).

5)Якщо A B, то p(A) p(B).

6)p(A) 1 для всiх подiй A.

7)p(A [ B) = p(A) + p(B) p(AB).

8)p(A [ B) p(A) + p(B).

До в е д е н н я. Рiвнiсть p( ) = 1, то, власне кажучи, є умова б) означення, а рiвнiсть p(;) = 0 є наслiдком того, що множина ; не має жодного елемента.

Оскiльки

то маємо рiвнiсть 2.

Якщо A та B не перетинаються, то очевидно

А це є властивiсть 3.

Для доведення властивостi 4 зауважимо, якщо A B, то B = A [ (BnA) i A \ (BnA) = ;, i тому з властивостi 3 дiстаємо

p(B) = p(A) + p(BnA);

що рiвносильне пунктовi 4.

Для доведення рiвностi 5 зазначимо, оскiльки p(BnA) 0, то, як слiдує з рiвностi 4, p(B) p(A) 0, що рiвносильне пунктовi 5. Пункт 6 слiдує з попереднього, якщо B = .

Для доведення властивостi 7 зауважимо, що A [ B = B [

(AnAB) i (AnAB) \ B = ;, AB B. Тому

p(A [ B) = p(B [ (AnAB)) = p(B) + p(AnAB) = p(A) + p(B) p(AB):

Пукт 8 слiдує з попереднього i того, що p(AB) 0.

3.1Класичне означення ймовiрностi

Припустимо, що всi результати експерименту S рiвноможливi, тобто p(!) = 1=n для кожної елементарноi подiї ! 2 . Якщо подiя A складається з k елементарних подiй, то згiдно з формулою (3.1) маємо

Iнодi цю формулу записують так

p(A) = число елементарних подiй, якi сприяють подiї A: число всiх елементарних подiй

Це є класичне означення ймовiрностi, автором якого є Лаплас. Приклад 3.4. Пiдкидаємо два рази симетричний кубик. Знайти ймовiрнiсть подiї A, яка полягає в тому, що сума очок дорiвнює 5, тобто A = f(i; j) : i + j = 5g.

Ро з в’ я з о к. Всiх можливих результатiв пiдкидання є 36,

арезультати (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) сприяють подiї A. Тому

p(A) = 364 = 19:

Багато задач на застосування формули (3.2) можна звести до трьох нижченаведених схем.

а) Вибiр iз поверненням. Припустимо, що в деякому ящику є n рiзних предметiв a1,a2,. . . ,an. З ящика навмання беруть один предмет, реєструють його, потiм кладуть назад у ящик. Якщо здiйснити k таких виймань, то можна отримати певну впорядковану послiдовнiсть предметiв, яку зручно записати у виглядi

рядка (a1; a2; : : : ; ak). Такий рядок називається вибiркою обсягу k iз множини X, що має n предметiв. Число рiзних вибiрок об’єму

kдорiвнює nk. Вважaтимемо, що всi nk вибiрок рiвноймовiрнi, iншими словами, ймовiрнiсть довiльної конкретної вибiрки дорiвнює 1=nk.

До схеми випадкового вибору з поверненням можна звести велике число дослiдiв. Наприклад, пiдкидання монети можна уявити як випадковий вибiр iз поверненням елементiв iз множини X={герб, цифра}. Дворазове пiдкидання кубика можна уявити як послiдовний випадковий вибiр з поверненням двох елементiв iз множини X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Вияснення дня народження

kвипадкових студентiв можна звести до послiдовного вибору з поверненням k елементiв iз множини X ={1, 2, 3,. . . , 365}.

б) Вибiр без повернення. В цьому випадку вийнятий предмет не кладеться назад у ящик i наступнi виймання здiйснюються з меншого числа предметiв. Унаслiдок k таких виймань отримаємо упорядкований рядок довжиною k без повторень. Число таких рядкiв дорiвнює

Akn = n(n 1)(n 2) : : : (n k + 1):

Як i в попередньому пунктi вважaтимемо, що всi Akn вибiрок рiвноймовiрнi, iншими словами, ймовiрнiсть довiльної такої вибiрки дорiвнює 1=Akn.

в) Наступна схема вiдiграє суттєву роль у демографiї, статистицi населення, статистичному контролi якостi продукцiї тощо. Розглянемо множину, що складається з M + N предметiв, причому M предметiв мають деяку властивiсть A, а решта N предметiв її не мають. З множини взяли навмання k предметiв. Яка ймовiрнiсть того, що серед цих k (k = m + n) предметiв m предметiв мають властивiсть A, a n – її не мають? Наступна формула дає вiдповiдь на це питання

Приклад 3.5. У партiї з N деталей – M бракованих. Навмання беруть n деталей. Знайти ймовiрнiсть того, що серед них буде m бракованих.

Р о з в’ я з о к. Елементарним наслiдком дослiду є вибiр певних n деталей iз загальної кiлькостi N деталей. Число таких наслiдкiв дорiвнює кiлькостi комбiнацiй з N по n, тобто CNn .

Подiя A є виймання n деталей, iз яких m бракованих. Сприятливим випадком для подiї A є поява групи з n деталей, в якiй n m якiсних деталей та m бракованих. Кiлькiсть таких груп дорiвнює CNn mM CMm , бо групу з m бракованих деталей можна утворити CMm способами, а групу з n m якiсних деталей CNn mM – способами. При цьому будь-яка група якiсних деталей може комбiнуватися з будь-якою групою бракованих.

Шукана ймовiрнiсть подiї A дорiвнює вiдношенню числа наслiдкiв, якi сприяють цiй подiї, до числа усiх елементарних наслiдкiв

Cn m Cm

P (A) = N M M ;

CNn

що спiвпадає з формулою (3.3).

3.2Статистичне означення ймовiрностi

Припустимо, що при n-кратному випробуваннi подiя A настала m разiв. Число

називають вiдносною частотою настання подiї A. Практика показує, що при багаторазовому повтореннi дослiду вiдносна частота має властивiсть сталостi, тобто в досить довгих серiях випробувань числа (A) групуватимуться навколо деякого числа p(A), яке i вважають iмовiрнiстю подiї A. Наприклад, при багаторазовому пiдкиданнi монети вiдноснi частоти появи герба групуватимуться навколо числа 12 , а при багаторазовому пiдкиданнi кубика вiдноснi частоти появи одиницi групуватимуться навколо числа 16 . Для першого випадку кажуть, що iмовiрнiсть появи герба дорiвнює 12 , а для другого –, що iмовiрнiсть появи одиницi дорiвнює 16 .