chap_0
.pdf
8.4. ЗАДАЧI РОЗДIЛУ |
83 |
8.2. Дискретна випадкова величина x задана законом розподiлу
a) |
x |
2 |
4 |
5 |
6 |
b) |
x |
10 |
15 |
20 |
|
p |
0; 3 |
0; 1 |
0; 2 |
0; 4 |
p |
0; 1 |
0; 7 |
0; 2 |
|||
|
|
Побудувати многокутник розподiлу та графiк функцiї розподiлу. Знайти математичне сподiвання, дисперсiю та середнє квадратичне вiдхилення випадкової величини.
Вiдповiдь. а) m = 4; 4; d = 2; 84; = 1; 685.
8.3. Пристрiй складається з трьох незалежно працюючих елементiв. Ймовiрнiсть вiдмови кожного елементу в одному дослiдi дорiвнює 0.1. Скласти закон розподiлу числа елементiв, що вiдмовили в одному дослiдi. Побудувати многокутник розподiлу.
Вiдповiдь. |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
p |
0; 729 |
0; 243 |
0; 027 |
0; 001 |
||
|
8.4. У партiї зi 100 деталей – 10 нестандартних. Навмання вiдiбрано чотири деталi. Написати бiномний закон розподiлу дискретної випадкової величини x – числа нестандартних деталей серед чотирьох вiдiбраних та побудувати многокутник розподiлу.
Вiдповiдь. |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
p |
0; 6561 |
0; 2916 |
0; 0486 |
0; 0036 |
0; 0001 |
||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
8.5. Написати бiномний закон розподiлу дискретної випадкової величини x – числа випадань "тризуба"при двох киданнях монети.
Вiдповiдь. |
x |
0 |
1 |
2 |
|
p |
1=4 |
1=2 |
1=4 |
||
|
8.6. У партiї з 10 деталей є 8 стандартних. Навмання вiдiбрано двi деталi. Скласти закон розподiлу числа стандартних деталей серед вiдiбраних.
Вiдповiдь. |
x |
0 |
1 |
2 |
|
p |
1=45 |
16=45 |
28=45 |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
8.7. Ймовiрнiсть того, що стрiлець влучить у мiшень при одному пострiлi, дорiвнює 0,8. Стрiльцевi видають патрони до першого промаху. Потрiбно: а) скласти закон розподiлу дискретної випадкової величини x – числа патронiв, що видано стрiльцевi; б) знайти найбiльш ймовiрну кiлькiсть виданих стрiльцевi патронiв.
Вiдповiдь. |
x |
1 |
2 |
3 |
|
k |
|
|
p |
0; 2 |
0; 16 |
0; 128 |
0; 2 0; 8k 1 |
||||
|
|
|
8.8. Побудувати многокутник розподiлу та графiк функцiї розподiлу, знайти математичне сподiвання, дисперсiю та середнє ква-
84 |
РОЗДIЛ 8. ВИПАДКОВI ВЕЛИЧИНИ |
дратичне вiдхилення дискретної випадкової величини x, що задана законом розподiлу
a) |
x |
4 |
6 |
10 |
b) |
x |
0:21 |
0:54 |
0:61 |
|
p |
0:3 |
0:5 |
p |
0:1 |
0:5 |
0:4 |
||||
|
0:2 |
|
Вiдповiдь. a) m=6; d=27; = 5; 2.
8.9. Дискретна випадкова величина x приймає три можливi значення: x1 = 4 iз ймовiрнiстю p1 = 0; 5; x2 = 6 iз ймовiрнiстю p2 = 0; 3 та x3 з ймовiрнiстю p3. Знайти x3 та p3, якщо M(x) = 8. Побудувати многокутник розподiлу та графiк функцiї розподiлу.
Вiдповiдь. x3 = 21; p3 = 0; 2.
8.10. Двiчi кидають монету. Нехай – число появ герба. Знайти розподiл випадкової величини , математичне сподiвання M( ) та дисперсiю D( ).
Вiдповiдь. m=1; d=0,5.
8.11.Двiчi пiдкидають гральний кубик. Нехай – сума очок, якi випали. Знайти розподiл випадкової величини i M( ).
8.12.Монету пiдкидають до того часу, поки випаде герб. Нехай– число зроблених пiдкидань. Обчислити: а) розподiл випадкової величини ; б) pf > 1g, pf ng.
Вiдповiдь. p( > 1) = P 21n = 12 .
8.13.Стрiляють у цiль до першого влучення. Влучення при рiзних пострiлах – незалежнi подiї, ймовiрнiсть влучення при кожному пострiлi – p. Нехай – число зроблених пострiлiв. Обчислити розподiл випадкової величини .
8.14.Нехай – випадкова величина, яка набуває значень 0, 1,
. . . , n з ймовiрностями
1
P f = ig = 2n + 1:
Обчислити M( ), D( ).
Вiдповiдь. m = 0; d = n(n + 1)=3.
8.15. Випадкова величина x задана функцiєю розподiлу
F (x) = |
81=2 + (1= ) arcsin(x=2); |
якщо |
|
2 < x |
|
2; |
|
|
> |
0; |
якщо |
x 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<1; |
якщо |
x > 2: |
|
|
||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
8.4. ЗАДАЧI РОЗДIЛУ |
85 |
Знайти щiльнiсть розподiлу ймовiрностей f(x), математичне сподiвання M[x], дисперсiю D[x], а також ймовiрнiсть того, що величина x прийме значення з iнтервалу ( 1; 1).
Розв’язання. Щiльнiсть розподiлу ймовiрностей f(x) знайдемо як похiдну вiд функцiї розподiлу F (x):
f(x) = |
8 p 1 |
2 ; |
якщо |
|
2 < x |
2; |
||||
|
> |
0; |
|
|
|
якщо |
x 2; |
|
||
|
4 x |
|
|
|
|
|
||||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>0; |
|
|
|
якщо |
x > 2: |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математичне очiкування M[x] виразиться iнтегралом
+1 |
+2 |
p4 x2 ; |
||
m = M[x] = Z |
xf(x)dx = |
Z |
||
|
|
|
|
xdx |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
який дорiвнює нулевi як iнтеграл вiд непарної функцiї у симетричних межах.
Дисперсiю випадкової величини x знайдемо за формулою (8.19)
|
2 |
x2dx |
|
|
||
d = D[x] = M(x2) M2(x) = Z |
|
02 = 1: |
||||
p |
|
|
|
|||
4 |
|
x2 |
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За формулою (8.22) ймовiрнiсть попадання значення випадкової
величини на промiжок (a; b) дорiвнює p(a < x < b) = F (b) F (a). Отже, p( 1 < x < 1) = (12 + 1 arcsin(x=2)j+11 = 1=3.
8.16. Функцiя розподiлу неперервної випадкової величини (часу безвiдмовної роботи деякого пристрою) F (x) = 1 e Tx (x 0). Знайти щiльнiсть розподiлу, математичне сподiвання, дисперсiю та ймовiрнiсть безвiдмовної роботи пристрою на протязi часу x T .
Вiдповiдь.
(0; |
x < 0: |
T |
|
T 2 |
|
|
|
e |
|
|||
f(x) = |
1 |
e x=T ; |
x 0; |
m = |
1 |
|
1 |
|
|
T ) = |
1 |
|
T |
|
|
; d = |
|
; p(x |
|
|
: |
||||
86 |
РОЗДIЛ 8. ВИПАДКОВI ВЕЛИЧИНИ |
|||||
8.17. Випадкова величина x задана функцiєю розподiлу |
||||||
F (x) = |
8x2 |
; |
якщо |
0 < x 1; |
||
|
> |
0; |
|
якщо |
x 0; |
|
|
<1; |
|
якщо |
x > 1: |
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
Знайти щiльнiсть розподiлу f(x), математичне сподiвання M[x], дисперсiю D[x], а також ймовiрнiсть того, що в результатi чотирьох незалежних випробувань величина x три рази прийме значення, яке належить iнтервалу (0; 25; 0; 75).
Вiдповiдь.
f(x) = |
82x; |
0 < x 1; m = 2 |
; d = 1 |
; p = 1 : |
|||||||
|
0; |
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 1: |
3 |
18 |
4 |
|||||||
|
<0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:
8.18. Дана функцiя розподiлу неперервної випадкової величини x
F (x) = |
8sin x; |
якщо |
0 < x =2; |
||
|
> |
0; |
якщо |
x 0; |
|
|
<1; |
якщо |
x > =2: |
||
|
> |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
Знайти щiльнiсть розподiлу f(x), математичне сподiвання M[x] та дисперсiю D[x].
Вiдповiдь.
f(x) = |
8cos x; |
0 < x =2; |
m = |
|
1; d = 3: |
|
|
0; |
x 0; |
2 |
|
|
|
|
> |
|
||||
|
< |
|
|
|
|
|
|
>0; |
x > =2: |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
8.19. Неперервна випадкова величина x задана щiльнiстю розподiлу
( |
якщо |
|
ae ax; |
x > 0 (a > 0); |
|
f(x) = |
якщо |
x 0: |
0; |
Знайти функцiю розподiлу F (x), математичне сподiвання M[x] та дисперсiю D[x], а також ймовiрнiсть того, що величина x прийме значення, яке належить промiжку (1; 2).
8.4. ЗАДАЧI РОЗДIЛУ |
87 |
Розв’язання. За вiдомою щiльнiстю f(x) розподiлу ймовiрностей випадкової величини x її функцiю розподiлу F (x) слiд шукати за
формулою
x
Z
F (x) = f(x)dx:
1
Конкретно, для даної задачi ця функцiя матиме вигляд
x
Z
F (x) = ae axdx = 1 e ax;
0
якщо x > 0, та F (x) = 0, якщо x 0. Обчислимо математичне сподiвання
+1
Z
m = M[x] = xae axdx = 1=a:
0
Знайдемо дисперсiю випадкової величини x
+1
Z
d = D[x] =M[x2] M2[x] = x2ae axdx 1=a2 =
0
=2=a2 1=a2 = 1=a2:
8.20. Неперервна випадкова величина x задана щiльнiстю розподiлу
f(x) = |
8cos x; |
якщо |
0 < x =2; |
||
|
> |
0; |
якщо |
x 0; |
|
|
<0; |
якщо |
x > =2: |
||
|
> |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
Знайти функцiю розподiлу F (x), математичне сподiвання M[x] та дисперсiю D[x], а також ймовiрнiсть того, що величина x прийме
значення, яке належить промiжку ( =4; =4).
Вiдповiдь.
F (x) = |
8sin x; |
0 < x |
|
=2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
> |
0; |
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
<1; |
x > =2: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||
|
|
1; d = |
3; p( |
|
|
|
2 |
|
||||||
m = |
|
|
|
|
< x < |
|
) = |
|
|
: |
||||
2 |
|
4 |
4 |
2 |
||||||||||
88 |
РОЗДIЛ 8. ВИПАДКОВI ВЕЛИЧИНИ |
8.21. Неперервна випадкова величина x задана щiльнiстю розподiлу
f(x) = |
8sin x; |
якщо |
0 < x =2; |
||
|
> |
0; |
якщо |
x 0; |
|
|
<0; |
якщо |
x > =2: |
||
|
> |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
Знайти функцiю розподiлу F (x), математичне сподiвання M[x] та дисперсiю D[x], а також ймовiрнiсть того, що величина x прийме значення, яке належить промiжку ( ; =4).
Вiдповiдь.
F (x) = |
81 |
|
cos x; 0 < x =2; |
|
||
|
> |
0; |
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<1; |
x > =2: |
p2 |
|||
|
> |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
m = 1; d = 3; p( < x < 4 ) = 1 2 :
8.22. Щiльнiсть розподiлу випадкової величини x задана рiвнiстю f(x) = C=(ex + e x) (закон гiперболiчного секанса). Знайти сталу C, функцiю розподiлу, а також ймовiрнiсть того, що у двох незалежних спостереженнях величина x прийме значення меншi за одиницю.
Вiдповiдь. C = 2 ; F (x) = 2 arctgex; p(x < 1) = F (1) = 2 arctge = 0; 7756:
8.23. Випадкова величина x має щiльнiсть розподiлу ймовiрностi
f(x) = |
81; |
5(2 |
x)2 |
; |
якщо |
1 < x |
2; |
||||
|
> |
1; |
5x2 |
; |
|
якщо |
0 < x |
1; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<0; |
|
|
|
якщо |
x |
|
0 |
або |
x > 2: |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти функцiю розподiлу F (x), математичне сподiвання M[x] та дисперсiю D[x], а також ймовiрнiсть того, що величина x прийме значення, яке належить промiжку (0; 5; 1; 5).
Вiдповiдь.
|
8x3 |
=2; |
|
0 < x |
|
1; |
|
0; |
|
|
x 0; |
|
|
F (x) = |
> |
|
|
3 |
|
|
|
>1 + (x 2) =2; 1 < x 2; |
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
x > 2: |
|
|
|
>1; |
|
|
|
|
|
>
>
:
m = 1; d = 0; 1; p(0; 5 < x < 1; 5) = 78 :
8.4. ЗАДАЧI РОЗДIЛУ |
89 |
8.24.Стержень довжиною l навмання розламали на двi частини. Знайти функцiю розподiлу довжини меншої частини.
8.25.Двi особи домовились про зустрiч на промiжку часу [0, Т]. Нехай – час, що доведеться чекати однiй з них до зустрiчi. Знайти функцiю розподiлу i обчислити M( ).
8.26.Купони в коробках перенумерованi цифрами вiд 1 до n. Для того, щоб виграти, треба набрати повний комплект купонiв iз рiзними номерами. З кожної коробки беруть один купон. Знайти математичне очiкування числа коробок, якi треба випробувати, щоб одержати повний комплект.
Вiдповiдь. n( n1 + n1 1 + + 12 + 1). Використати формулу для математичного очiкування геометричного розподiлу.
8.27. Берегова артилерiя помiчає ворожий крейсер на вiддалi 1 км вiд берега i розпочинає по ньому стрiляти, роблячи щохвилини один пострiл. Пiсля першого пострiлу крейсер починає втiкати iз швидкiстю 60 км/год. Нехай ймовiрнiсть влучення в крейсер обернено пропорцiйна квадрату вiддалi вiд берегової гармати, а саме: якщо крейсер знаходиться на вiддалi x, то ймовiрнiсть влучення дорiвнює 0; 75x 2. Ймовiрнiсть того, що при n влученнях крейсер не затоне, дорiвнює 4 n. Обчислити ймовiрнiсть того, що крейсеру вдасться втекти.
Роздiл 9
Функцiя випадкової величини
9.1Короткi теоретичнi вiдомостi
Знаходження розподiлу функцiї f( ). Нехай випадкова величина задана таким законом розподiлу
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
xn |
p |
p1 |
p2 |
p3 |
|
pn |
Для побудови таблицi розподiлу функцiї f( ) спочатку будують допомiжну таблицю
f( ) |
f(x1) |
f(x2) |
f(x3) |
|
f(xn) |
p |
p1 |
p2 |
p3 |
|
pn |
Якщо всi числа f(xk) рiзнi, то ця таблиця i буде шуканим розподiлом функцiї f( ). Якщо ж серед чисел f(xk) трапляються рiвнi, то кожнiй групi рiвних значень вiдводять один стовпчик, додаючи при цьому вiдповiднi ймовiрностi.
Приклад. Розглянемо випадкову величину x
x |
1 |
0 |
1 |
p |
1=3 |
1=3 |
1=3 |
|
|
|
|
90
9.1. КОРОТКI ТЕОРЕТИЧНI ВIДОМОСТI |
91 |
Потрiбно знайти розподiл для x2 та x3.
Очевидно, що x2 та x3 матимуть вiдповiдно такi розподiли
x2 |
0 |
1 |
p |
1=3 |
2=3 |
x3 |
1 |
0 |
1 |
p |
1=3 |
1=3 |
1=3 |
Приклад. Знайдемо функцiю sin( 2 ) випадкової величини , яка задана таблицею
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
n |
|
|||
p |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
2 |
|
22 |
|
|
23 |
|
|
2n |
|
|||
8
>0; при парному n;
<
Розв’язання. Оскiльки sin( 2 ) = 1; при n = 4k + 1;
>
: 1; при n = 4k + 3;
то розподiл для функцiї sin( 2 ) матиме вид |
0 |
1 |
1 |
, |
|
p0 |
p1 |
||||
|
p 1 |
|
де ймовiрностi обчислюються як суми нескiнченно спадних геометричних прогресiй:
p0 |
= |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
+ = |
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
; |
|
|
||||||||||
22 |
24 |
26 |
4(1 41 ) |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
p1 |
= |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
+ = |
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
8 |
|
; |
|
|||||||||
2 |
|
25 |
|
29 |
2(1 |
1 |
) |
|
15 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
p 1 |
= |
1 |
|
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
+ = |
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
23 |
27 |
211 |
|
8(1 |
1 |
) |
15 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Нехай неперервна випадкова величина має щiльнiсть розподiлу '(x). Розглянемо питання як знайти щiльнiсть розподiлу для функцiї f( ). Припустимо, що на iнтервалi можливих значень величини функцiя y = f(x) зростає й має неперервну похiдну. Тодi iснує обернена функцiя x = g(y), яка також зростає i має неперервну похiдну. При цих умовах щiльнiсть розподiлу (y) для функцiї = f( ) виразиться формулою
(y) = '(g(y))dgdy(y): (9.1)
92 РОЗДIЛ 9. ФУНКЦIЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ
Якщо ж функцiя y = f(x) буде спадною, то у формулi слiд поставити знак мiнус:
(y) = '(g(y)) |
dg(y) |
: |
(9.2) |
||||
|
|
|
|||||
dy |
|
||||||
Формули 9.1 та 9.2 можна об’єднати в одну: |
|
||||||
(y) = '(g(y)) |
|
|
dy |
|
: |
|
|
|
|
dg(y) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад. Випадкова величина x має щiльнiсть розподiлу
'(x) = p1 e x22 :
2
Знайти щiльнiсть розподiлу для x3.
Дляpфункцiї y = x3 iснує однозначна обернена функцiя x = g(y) = 3 y. Скориставшись формулою (9.1) будемо мати
dg(y) |
1 |
1 |
py2 |
|
|
|
|
3 |
|
(y) = '(g(y)) = p p e 2 : dy 3 2 3 y2
Приклади знаходження розподiлу для немонотонної функцiї y = f(x) розглянутi в наступних задачах цього роздiлу.
Знаходження математичного очiкування та дисперсiї функцiї. Нехай – дискретна випадкова величина, яка своє значення xk приймає з iмовiрнiстю pk. Математичне очiкування для функцiї f( ) виразиться формулою
n |
|
X |
(9.3) |
m = M[f( )] = f(xk)pk: |
k=1
З а у в а ж е н н я. Для знаходження математичного очiкування функцiї f( ) достатньо знати закон розподiлу аргументу . Закон розподiлу функцiї f( ) у даному випадку не використовується.
Для неперервного випадку буде мати мiсце аналогiчна форму-
ла
Z
m = M[f( )] = f(x)'(x)dx; (9.4)