Контрольні запитання

1. Яке визначення поняття «потік подій».

2. Які потоки називаються регулярними, стаціонарними, потоками без післядії, ординарними.

3. Як записати рівняння Колмогорова для безперервних марківських ланцюгів.

4. Що таке «граничні ймовірності станів».

5. Як отримати рівняння для визначення граничних ймовірностей станів.

Рекомендована література

1. Е.С. Вентцель. Исследование операций. «Сов. радио» М., 1972.

5.Лекція 5.

Модель загибелі та розмноження

План лекції

1. Визначення процесу «загибелі та розмноження».

2. Граф процесу загибелі та розмноження у загальному вигляді. Граничні ймовірності станів моделі.

1. Визначення процесу «загибелі та розмноження»

Розглянемо як приклад один дуже типовий вид безперервного Марковського ланцюга, що відповідає так званому процесу «загибелі й розмноження», якому можна поставити у відповідність цілий ряд процесів, що протікають реально.

Марковськаий ланцюг називається процесом «загибелі й розмноження», якщо її граф стану має такий вигляд:

Всі стани в такому графі як би можна витягнути в один ланцюжок, у якій кожне із середніх станів (S₂, …, S_n-1) зв'язано прямим й зворотним зв'язком з кожним із сусідніх станів, а крайні стани (S₁, S_n) тільки із сусіднім станом.

Приклад: Пристрій складається з 3-х однакових вузлів, кожне з яких може виходити з ладу. Вузол, що відмовив, негайно починає відновлюватися. Стан системи пронумеруємо по числу вузлів, що відмовили.

S₀ – всі три справні;

S₁ – один вузол відмовив;

S₂ – два вузли відмовили;

S₃ – всі три відмовили й відновлюються.

Відповідний граф має вигляд:

2. Граф процесу загибелі та розмноження у загальному вигляді. Граничні ймовірності станів моделі.

Розглянемо граф випадкового процесу загибелі й розмноження в загальному виді й одержимо необхідні співвідношення.

Для стану S₁ маємо:

λ₁₂P₁=λ₁₂P₂

Для S₂

λ₂₃P₂+λ₂₁P₂= λ₁₂P₂+λ₃₂P₃

Підставивши перше рівняння в друге й, виконуючи скорочення одержимо:

λ₂₃P₂=λ₃₂P₃

і далі аналогічно

λ₃₄P₃=λ₄₃P₄

Одним словом для графа процесу загибелі й розмноження завжди справедливо:

λk-_{1, k}P_k-1=λ_{k, k-1}P_k, де k=2, n

Отже, граничні ймовірності стану задовольняють наступним рівнянням:

λ₁₂P₁= λ₂P₂;

λ₂₃P₂= λ₃₂P₃;

λ₃₄P₃= λ₄₃P₄;

……………

λk-_{1, k}P_k-1= λ_{k, k-1}P_k;

……………

λn-_{1, n}P_n-1= λ_{n, n-1}P_n;

з урахуванням умови нормування

∑P_i=1; i=1, n

ⁱ

Систему рівнянь можна вирішити методом послідовних підстановок:

P₂=(λ_12/ λ₂₁₎P₁;

Потім

P₃=(λ_23/ λ₃₂₎P₂= (λ₂₃ λ_12/ λ₃₂λ₂₁₎P₁;

І т.д. у загальному випадку:

P_k=(λk-_{1, k} λk-_{2, k-1}…λ₁₂/λ_k,k-1λ_k-1,k-2…λ₂₁)P₁;при k=2, n

Підставимо значення всіх імовірностей, виражених через P₁ у нормовану умову й одержимо

Інші ймовірності виражаються, як ми бачимо через P₁:

P₂=(λ_12/ λ₂₁₎P₁;

P₃=(λ₂₃ λ_12/ λ₃₂ λ₂₁₎P₁;

……………......

P_k=(λk-_{1, k} … λ₁₂ / λ_{k, k-1} … λ₂₁)P₁;

……………........

P_n=(λn-_{1, n} … λ₁₂ / λ_{n, n-1} … λ₂₁)P₁;

Завдання відшукування граничних імовірностей стану.

Розглянемо приклад із трьома вузлами приладу конкретно. Будемо вважати середній час роботи кожного вузла t_б. Час ремонту вузла t_p. Будемо вважати потоки відмов і відновлення найпростішими. Знайдемо середню продуктивність приладу, якщо при трьох працюючих вузлах вона дорівнює 100%, при двох – 50%, а при одному й менш – 0%. Нехай t_б=10 годин, t_p=5 годин.

Тоді t_p/t_б=0,5 і

P₀=1 / (1+3/2+3/4+1/8)=8/27

P₁=12/27, P₂=6/27, P₃=1/27

Середня продуктивність приладу дорівнює:

100%*P₀+50%*P₁=(800/27+600/27)%=51,9%