Рекомендована література

1. Е.С. Вентцель. Исследование операций. «Сов. радио» М., 1972.

9. Лекція 9. Багатоканальна смо з очікуванням та нетерплячими заявками

План лекції

1. Змістовна постановка задачі.

2. Вирішення задачі.

1. Змістовна постановка задачі

Дотепер ми розглядали СМО з очікуванням, обмеженим тільки довжиною черги. У цих СМО заявка, що стала в чергу, стоїть там доти, доки не буде обслужена. На практиці часто зустрічається ситуація, коли заявка, не дочекавшись обслуговування за якийсь час залишає й чергу й систему (нетерплячі заявки).

Припустимо, що є n-канальна СМО з очікуванням, у якій число місць для очікування не обмежено, але час перебування заявки в черзі обмежено деяким випадковим строком Т_об із середнім значенням t_об.

Таку ситуацію можна інтерпретувати так, що на заявку додатково діє деякий потік відходів з інтенсивністю υ=1/ t_об.

Якщо припустити, що цей потік пуассоновський, то процес, що протікає в системі марківський.

2. Вирішення задачі

Пронумеруємо стан процесу по числу заявок пов'язаних із системою, як тих що обслуговуються так і тих що стоять у черзі.

S₀ - S_n - черги немає.

S₀ – всі канали вільні;

S 1-₁- зайнятий обслуговуванням один канал;

S₂ – зайняті обслуговуванням два канали;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S_n+1 – n каналів зайнята, одна заявка в черзі;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S_n+m - всі канали зайняті, m каналів у черзі.

Граф станів випадкового процесу прийме вид:

Граф випадкового процесу також відповідає процесу «загибелі й розмноження».

Відповідно до загального рішення, підставляючи конкретні значення інтенсивності переходів, одержимо враховуючи позначення ρ= λ/μ; β=υ/μ.

Р₀ =

Р₁₌ ρ/1!* Р₀

Р₂₌ ρ^2/2!* Р₀

. . . . . .. . . . . .

Р_n= ρⁿ/n!* Р₀

Р_n+1= ρⁿ/n!* ρ/(n+ β)* Р₀

Р_n+2= ρⁿ/n!* ρ^2/(n+ β)(n+2β)* Р ₀

_{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}

Р_n+m= ρⁿ/n!* ρ^m/((n+ β)(n+2 β)...(n+m β))* Р₀

Якщо довжина черги не обмежена, то, як ми вже бачили, стаціонарний режим існує у випадку ρ< n. Але, якщо є нетерплячі заявки, які рано або пізно покинуть систему, то сталий режим при існує.

Для цього виду СМО поняття ймовірності відмови не має змісту. Кожна заявка стає в чергу й буде або обслужена, або покине систему, якщо її «терпіння» чекаючи обслуговування скінчилося.

Відносну пропускну здатність СМО q можна обчислити в такий спосіб:

У системі будуть обслужені всі заявки крім тих, які достроково покинуть систему.

Можна підрахувати, яка кількість заявок покине в середньому чергу достроково: Для цього спочатку визначимо кількість заявок, що перебувають у черзі:

r = 1 Р_n+1 + 2 Р_n+2 +...+m Р_n+m +...

На кожну заявку, що стоїть в черзі, діє потік відходів з інтенсивністю υ. Значить із середнього числа заявок r, що чекають у черзі, не дочекавшись обслуговування, υ₂ заявок будуть іти із черги в одиницю часу. І всього в одиницю часу буде обслужено:

А= λ - υ₂ заявок.

Відносна пропускна здатність

q = А/λ=(λ- υ₂₎/λ= 1-1- ?/?*r

Середнє число зайнятих каналів Z одержимо, поділивши абсолютну пропускну здатність на μ, або

Z= А/μ=(λ- υ₂ )/μ=ρ – βr.

З останньої формули можна одержати просту формулу для середнього числа заявок у черзі

r = ρ/β- Z/β,

А вхідне у формулу середнє число зайнятих каналів Z можна знайти як математичне очікування випадкової величини Z, які приймають значення

0, 1, 2, …, n с імовірностями Р_{0 ,} Р_{1 ,}... [ 1-1-( Р₀ + Р₁ +...+ Р_n-1)], відповідно.

Z = 0 Р₀ +1Р₁ + 2 Р₂ +…+n[1-(Р₀ + Р₁ +...+ Р n-1)]=

= Р₁+ 2Р₂ +...+ n[ 1-1-( Р₀ + Р₁ +... + Р_n-1)].

На останок помітимо, що при абоформули для граничних імовірностей стану СМО при ρ< n будуть аналогічні формулам для багатоканальної СМО з очікуванням. Тобто нетерплячі заявки стають терплячими.