2. Багатоканальна смо з відмовами.

Стани системи пронумеруємо по числу зайнятих каналів (всього n каналів).

S₀ – всі канали вільні;

S₁ – зайнятий один канал, інші вільні;

∙

∙

∙

S_k – зайнято k каналів.

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

S_n – зайнято n каналів (тобто всі)

Процес, що протікає в СМО, являє собою окремий випадок загибелі й розмноження. Для знаходження граничних імовірностей стану можемо скористатися рішенням, отриманому в загальному виді для загибелі й розмноження. Після відповідних підстановок отримуємо:

Звичайно в теорії СМО відношення позначаютьі називають«наведеною інтенсивністю». Її фізичний зміст визначає середнє число заявок, що приходять у СМО за середній час обслуговування однієї заявки.

З урахуванням формули для Р₀ і Р_k можна переписати як

Ці формули називаються формулами Эрланга. Вони визначають граничні ймовірності стану системи залежно від величини .

Визначимо характеристики ефективності СМО:

- відносну пропускну здатність q;

- абсолютну пропускну здатність А;

- імовірність відмови Р_від.

Заявка одержить відмову, якщо всі канали зайняті, тобто

Цікавою характеристикою є середнє число зайнятих каналів. Позначимо його, як k.

можна одержати величину k інакше, через абсолютну пропускну здатність.

Дійсно, А – середнє число заявок, що обслуговуються за одиницю часу, а один зайнятий канал в одиницю часу в обслуговує в середньому заявок. Звідси середнє число заявок каналів можна визначити як

Повторимо розгляд попереднього приклада. ,, але замість одного каналу візьмемо три.

Одержимо:

Цікавий результат:

1. У сталому режимі в середньому в СМО буде зайнятий лише один, як і раніше, канал, але ціною двох що простоюють ми досягнемо високого рівня ефективності обслуговування 0,91 замість 0,455, тобто майже кожний з видів буде обслужений.

Контрольні запитання

1. Який граф випадкового процесу відповідає одноканальній СМО з відмовами.

2. Які основні характеристики одноканальної СМО з відмовами.

3. Який граф випадкового процесу відповідає багатоканальній СМО з відмовами.

4. Що визначають формули Ерланга.

5. Які основні характеристики багатоканальної СМО з відмовами.

Рекомендована література

1. Е.С. Вентцель. Исследование операций. «Сов. радио» М., 1972.

8. Лекція 8.

СМО з очікуванням

План лекції

1. Одноканальна СМО з очікуванням

2. Багатоканальна СМО з очікуванням

1. Одноканальна СМО з очікуванням

Потік заявок з інтенсивністю λ, один канал (обслуговуючий прилад). Інтенсивність обслуговування – μ, тобто в середньому безупинно зайнятий канал буде видавати μ обслужених заявок в одиницю часу.

Якщо заявка надходить у момент, коли канал зайнятий, вона стає в чергу й очікує обслуговування. Припустимо, що число місць очікування в черзі - m_n, якщо заявка прийшла в момент, коли всі місця в черзі зайняті, вона залишає систему.

Пронумеруємо стан системи за числом заявок, які перебувають у системі (очікують у черзі й обслуговуються).

Граф станів системи наведений вище. Стан S₀ і S₁ характерні тим, що черги немає. У стані S_m+1 m заявок чекають у черзі, одна обслуговується. Граф станів випадкового процесу відноситься до класу «загибелі й розмноження». Інтенсивності потоків, що переводять систему за стрілкою зліва направо λ , а справа наліво - μ.

Використовуючи загальне рішення, отримане нами для «загибелі й розмноження», можна записати:

P₁=(λ / μ)P₀ ;

P₂=(λ / μ)²P_0;

. . . . . . . . . . .

P_к=(λ / μ)^к_0;

_{. .. . . . . . . . . . . . . .}

P_m+1=(λ / μ)^m+1P_0;

P₀ =1/(1+(λ / μ) +(λ / μ)² +...+(λ / μ)^m+1 ).

Або з обліком , що λ / μ=S

P₁=ρP₀

P₂=ρ² P₀

_{. . . . . . . . . .}

P_к=ρ^до P₀

_{. . .. . . .. . . .}

P _m+1 = ρ^m+1P₀

P₀ =[1+ ρ+ ρ² + ... +ρ^m+1]^-1

Помітимо, що в знаменнику вираз для P₀ стоїть геометрична прогресія з першим членом рівним 1 і множником ρ. Використовуючи вираз для суми членів геометричної прогресії, одержимо:

P₀ = 1/ (( 1-1- ρ^m+2 )/( 1-1- ρ))=( 1-1- ρ)/( 1-1- ρ^m+1).

Або остаточно одержимо наступні вирази для граничних імовірностей стану:

P₀ =( 1-1- ρ)/( 1-1- ρ^m+2 )

P₁=ρP₀

P₂=ρ² P₀

_{. . . . . . . . . .}

P_к=ρ^до P₀

_{. . .. . . .. . . .}

P _m+1 = ρ^m+1P₀

Звернемо увагу на те, що вираз для P₀ буде справедливим тільки для ρ не рівне 1. При ρ =1 виникає невизначеність 0/0.

Розкриваючи невизначеність одержимо:

P₀=1/(m+2).

Визначимо характеристики СМО:

Р_отк - імовірність відмови;

q - відносна пропускна здатність:

А - абсолютна пропускна здатність;

r - середня довжина передачі;

Z - середнє число заявок пов'язаних із системою.

Очевидно, що

Р_отк = Р_m+1 = (ρ^m+1 ( 1-1- ρ ))/( 1-1- ρ^m+2 )

Відносна пропускна здатність

q= 1- Р_отк = 1-1- (ρ^m+1 ( 1-1- ρ ))/( 1-1- ρ^m+2 )

Абсолютна пропускна здатність

Середня кількість заявок, що знаходяться у черзі визначиться як

r = 1Р₂ + 2Р₃ + …+ (k - 1)P_k + ..... + m P_m+1 = 1 ρ² P₀ + ρ³ P₀ + ... + ( k-1) ρ^k P₀ + ... +m ρ^m+1P_{0 .}

якщо винести ρ²P₀ за дужки, одержимо

r = ρ²P₀ (1 + 2 ρ + ... +( k-1) ρ k-² + ... + m ρm-¹)

У розрахунках можна користуватися й цим виразом. Але можна задатися метою його спростити.

Звернемо увагу на те, що вираз в дужках не що інше як похідна від виразу

∑ = ρ + ρ² + … + ρ^k-1 + …ρ^m , а його можна перетворити по формулі суми членів геометричної прогресії :

∑ = , а потім

продиференціювавши по ρ одержимо :

то для r одержимо :

r = ρ²P₀ або підставивши вираз для P₀

r = ρ²

Середнє число заявок, пов'язаних із системою, визначиться по теоремі додавання математичних очікувань як:

θ= М(R)+M(Ω)= r+ ω , де

ω - середнє число заявок під обслуговуванням. Випадкова величина Ω може приймати тільки 2 значення 0 і 1.0 - якщо канал вільний і 1 у противному випадку.

Канал вільний з імовірністю Р₀ і зайнятий з імовірністю 1-Р₀. звідси математичне очікування не буде дорівнює:

ω=0 Р_о +1( 1-ро)=

цікавою характеристикою є також середній час очікування заявки в черзі – t_ож.

Заявка приходить у систему в деякий момент часу. З імовірністю Р₀ канал обслуговування не зайнятий і вона не буде ставати в чергу. Час очікування дорівнює нулю. З імовірністю Р₁ вона прийде в систему, коли обслуговується канал – то заявка, але перед нею немає черги й вона буде чекати початку свого обслуговування на протязі часу 1/μ, (тобто на протязі часу обслуговування однієї заявки). З імовірністю Р₂ перед нею в черзі буде стояти ще одна заявка й час очікування в середньому буде 2/μ і т.д. З імовірністю Р_к заявка, що прийшла, застане в системі К заявок і буде в середньому чекати до к/μ.

З імовірністю Р_m+1 , то виявиться, що в черзі m заявок і ще одна обслуговується, заявка не чекає й залишає систему, тобто

t_оч= Р₁(1/μ)+ Р₂ (2/μ)+...+ Р_k (k/μ)+...+ Р_m (m/μ)

Підставляючи вираз для одержимо:

t_оч = або

t_оч =

Якщо порівнювати вирази, отримані для r і t , виявиться що:

t_оч = 1/ρμ= r/λ

Інакше кажучи, середній час очікування дорівнює середньому числу заявок у черзі, діленому на інтенсивність потоку заявок.

Представляє також інтерес середній час перебування заявки в системі t_сист .

Ця випадкова величина складається із двох доданків:

Т_оч – очікування заявки в черзі;

Т_обсл. - часу обслуговування, т.т

Т_сист = Т_ож + Т_обсл

По теоремі додавання математичних очікувань:

t_сист = t_оч + t_обсл

Випадкова величина Т_обсл дорівнює часу обслуговування, якщо заявка обслуговується й дорівнює нулю, якщо вона одержує відмову, тобто вона дорівнює:

t_обсл = q*1/μ= q/ μ.

Звідси

t_сист= r/λ+ q/ μ

Приклад:телефонна станція має один канал обслуговування, але має три місця для запам'ятовування номера запиту. Якщо в черзі вже перебуває три запити, черговий запит одержує відмову.

Нехай потік заявок має інтенсивність λ =1 (один у мінуту). Тривалість розмови 1,25 хв. у середньому . Визначимо:

- імовірність відмови;

- відносну й абсолютну пропускну здатності;

- середнє число дзвінків, що коштують у черзі;

- середнє число «дзвінків», що перебувають на станції (включаючи ті, що обслуговуються);

- середній час очікування в черзі.

Наведена інтенсивність:

μ= 1/1,25=0,8;

ρ= λ/μ= 1/0,8=1,25.

Р₀ = ( 1-1,25)/( 1-3,05)=0,122;

Р₁ = 1,25 * 0,122=0,152;

Р₂ = 1,25²* 0,122=0,191;

Р₃ = 1,25³* 0,022;

Р₄ = 1,25⁴*0,122=0,297.

Р_отк =0,297

q = 1-1- Р_{отк =}0,703

А= λ q= 0,703 разм./хв.

R =

Середній час очікування в черзі

t_ож = r/λ =1,56 хв.

Якщо звернутися до обчислювальної системи має сенс розглянути випадок, коли . Для цього звернемося до формул для граничних імовірностей стану. При цьому звернемо увагу на те, що знаменник у вираженні для Р₀ буде являти собою суму нескінченного числа членів геометричної прогресії. ця сума сходиться тільки тоді, коли прогресія нескінченно спадаюча, т.т якщо . Т.т. це умова, коли в СМО існує граничний сталий режим.

При такого режиму не існує й черга приросте нескінченно.

Припустимо, що ρ=λ/μ<1.

Спрямуємо в раніше виведених формулах . Одержимо:

Р₀ = 1-1- ρ

Р₁ = ρ( 1-1- ?)

Р₂ = ρ²( 1-1- ρ)

. . . . . . . . . ..

Р_к = ρ^до ( 1-1- ρ)

При відсутності обмежень по довжині черги кожна заявка, що прийшла в систему, буде обслужена. Тому q=1, А= λ q= λ.

Середнє число заявок у черзі при буде

r = ρ^2/( 1-1- ?)

Середнє число заявок у системі при

θ= r + ρ=

Середній час очікування в черзі t_ож при

t_ож = 1/μ* ρ /( 1-1- ρ)

Середній час перебування заявки в СМО дорівнює середньому часу очікування плюс середній час обслуговування - 1/ μ

t_сист = 1/μ* ρ /( 1-1- ρ)+ 1/ μ = 1/ ( 1-1- ρ) μ