Контрольні запитання

1. Що визначає поняття «точка регенерації».

2. Яке визначення вкладеного ланцюга Маркова.

3. Який алгоритм побудови ланцюга Маркова для класичної задачі про простій верстатів для конкретної їх кількості.

4. Чи збігаються значення граничних ймовірностей стану для вкладеного марківського ланцюга та досліджуваного не-марківського процесу.

Рекомендована література

1. Г. Вагнер. Основы исследования операций. Том 3, «Мир», М., 1973.

15. Лекція 15.

Побудова вкладеного марківського ланцюга для

приорітетних на-марківських моделей

План лекції

1. Приорітетна модель із кінцевим джерелом.

1. Приорітетна модель із кінцевим джерелом

Розглянемо такий варіант завдання про простій верстатів, при якій один з верстатів має відносний пріоритет в обслуговуванні. Будемо називати його особливим джерелом, у відмінності від інших не особливих.

Уважаємо , що час обслуговування постійний, тобто t_обс=1/=const, а надходження вимог від особливого джерела з інтенсивністю ₂ , а не особливого – з інтенсивністю ₁. потоки вимог від джерел мають пуассонівський розподіл. Заявки від не особливих джерел обслуговуються в порядку надходження.

За аналогією з попереднім випадком побудуємо матрицю для марківських переходів, що описують стан системи в момент часу, розділений інтервалами тривалістю 1/ .

При цьому стан буде описуватися вектором Z_ij=Z(i,j), де i=0,1; j=0,m, тобто кількість особливих джерел –1; число не особливих джерел -m .

Загальний вид матриці наведено в таблиці.

Матриця марківських переходів.

	00	01	02	…	0 ( m-1)	0m	10	11	12	…	1( m-1)	1m
00
01						0						0
02						0	0					0
..												0
0( m-1)	0	0	0			0						0
0m	0	0	0			0						0
10							0	0	0		0	0
11	0						0	0	0		0	0
12	0	0					0	0	0		0	0
…												0
1( m-1)	0	0	0				0	0	0		0	0
1m	0	0	0	0	0		0	0	0	0	0	0

Відповідно до цієї матриці переходів для граничних ймовірностей станів вкладеного ланцюга Маркова можна записати наступну систему рівнянь.

h₁ – імовірність того , що за час 1/ від особливого джерела надійде вимога на обслуговування;

h₀ – імовірність того, що за час 1/ від особливого джерела вимога на обслуговування не надійде.

h₀=exp(-₂), де ₂=₂/

h₁= 1-exp(-₂).

Для одержання рекурентних формул для обчислення шуканих імовірностей Z_ij підставимо вираз Z_1j в останній доданок Z_0j , одержимо:

Після деяких перетворень цей вираз перепишемо як:

Випишемо доданок, що містить Z_0(j+1) за знак суми й перепишемо перше рівняння раніше отриманої системи рівнянь із урахуванням вираження (1)

Приводячи подібність відносно Z_0(j+1) , одержимо

Як і у випадку попередньої моделі припустимо Z₀₀=q Z₀₀ і, використовуючи отримане рекурентне співвідношення, визначимо всі значення Z_0(j+) , а потім із другого рівня системи – всі значення Z_1j ; j=0,m.

Перехід до деяких значень Z_0j і Z_1j як це було виконано на попередній моделі

Шукані ймовірності P_ij легко можна обчислити по формулах перерахування, аналогічно попередньому випадку.

Імовірність P₀^* - стаціонарну ймовірність того, що заявка особливого джерела не перебуває в черзі може бути визначена як

А середня величина довжини черги не особливих джерел Е(n) як